Calculatrice de la loi normale

z = (valeur − moyenne) / écart type → en dessous = Φ(z), au-dessus = 1 − Φ(z), dans la bande = 2Φ(|z|) − 1

valeur

La mesure sur laquelle porte la question — une observation isolée, et non la moyenne de plusieurs. Elle est comparée à la moyenne et à l’écart type de la distribution à laquelle on la rapporte

moyenne

Le centre de la loi normale, noté μ. Toutes les probabilités du panneau sont exprimées par rapport à lui : une moyenne de 0 transforme la valeur elle-même en score z dès que l’écart type vaut 1

écart type

La dispersion de la distribution, notée σ, et elle doit être strictement positive. C’est l’unité dans laquelle la distance est mesurée, ce qui permet à une seule table de score z de servir pour des distributions de toutes tailles

z

Le nombre d’écarts types qui séparent la valeur de la moyenne. Positif au-dessus de la moyenne, négatif en dessous, et nul lorsque la valeur est la moyenne elle-même

Φ

La fonction de répartition de la loi normale centrée réduite : la part de la courbe située à gauche d’un z donné. Elle n’a pas de forme fermée élémentaire, d’où le calcul plutôt que la lecture d’une table

À utiliser chaque fois que la question porte sur une position plutôt que sur un nombre brut : à quel point une mesure est inhabituelle pour le procédé qui l’a produite, quelle part d’une population dépasse un seuil, ou quelle proportion d’une fenêtre de spécification couvre un procédé centré. C’est aussi la porte d’entrée habituelle vers une table de la loi normale : passer d’abord par le score z est ce qui permet à une seule table de s’appliquer à toutes les distributions. Préférez la calculatrice de score z voisine lorsque le score z est le but en soi et que les probabilités ne sont pas nécessaires ; revenez ici lorsque ce sont les aires qui vous intéressent, car un score z dit à quelle distance se trouve une valeur, mais pas quelle part de la courbe se trouve là avec elle.

1. Une valeur un écart type au-dessus de la moyenne

   1. On retranche la moyenne : 115 − 100 = 15
   2. On divise par l’écart type : 15 / 15 = 1, le score z vaut donc 1
   3. La part d’une courbe normale en dessous de z = 1 est d’environ 84,13 %, ce qui en laisse 15,87 % au-dessus
   4. La part comprise à moins d’un écart type de part et d’autre de la moyenne est d’environ 68,27 %, et les deux valeurs unilatérales ne sont que ce qui reste à chaque extrémité

   Les trois nombres sont le même fait dit de trois façons, et c’est celui du milieu qui se lit de travers : 84,13 % en dessous signifie qu’une valeur située un écart type au-dessus de la moyenne dépasse environ cinq sixièmes de la distribution, tandis que 15,87 % de celle-ci reste au-dessus. Notez aussi que la part dans la bande n’est pas la somme des deux probabilités unilatérales : c’est la bande centrale seule, donc toujours la plus petite des trois pour une valeur proche de la moyenne, et elle tend vers 100 % à mesure que la valeur s’en va vers la queue.

2. Une valeur exactement à la moyenne

   1. On retranche la moyenne : 100 − 100 = 0
   2. Diviser 0 par une dispersion positive donne 0, le score z vaut donc 0
   3. Une courbe normale est symétrique : exactement la moitié se trouve sous la moyenne et l’autre moitié au-dessus
   4. Une bande de largeur nulle autour de la moyenne ne contient rien de la distribution, la part dans la bande vaut donc 0 %

   La part de 0 % dans la bande n’est pas l’arrondi d’un petit nombre : elle est exacte, et c’est le seul cas où la largeur de la bande est véritablement nulle. Cela fait de cet exemple le contrôle le plus net du sens de la bande : la part dans la bande mesure la distance jusqu’à la valeur de chaque côté, donc à la moyenne il n’y a aucune distance. C’est aussi le cas qui montre la symétrie sur laquelle repose tout le reste du panneau, puisque les deux probabilités unilatérales se partagent exactement en deux.

3. Une valeur très loin dans la queue supérieure

   1. On retranche la moyenne : 200 − 100 = 100
   2. On divise par l’écart type : 100 / 15 ≈ 6,67 écarts types au-dessus de la moyenne
   3. La part au-dessus de z = 6,67 vaut environ 1,3 × 10⁻¹¹ — de l’ordre d’un cas sur plusieurs dizaines de milliards
   4. À deux décimales, cette part s’affiche 0,00 % et la part en dessous 100,00 %

   Le 0,00 % du dessus est le seul nombre de cette page qui a l’air d’un bug sans en être un : la part réelle est d’environ 1,3 sur cent milliards, ce que deux décimales de pourcentage ne peuvent pas imprimer. Deux choses en découlent. Lisez 0,00 % comme « plus petit que la précision affichée » et non comme une impossibilité, et souvenez-vous que le panneau porte plus d’information que les chiffres imprimés — la queue est calculée par sa propre voie précisément pour que ce cas donne un zéro net au lieu du 0,01 ou du 0,02 que produirait une soustraction à partir de la queue inférieure. Notez enfin que la part dans la bande a atteint 100 %, puisqu’une bande allant jusqu’à 6,67 écarts types de chaque côté couvre désormais la quasi-totalité de la courbe.

4. Une valeur un écart type en dessous de la moyenne

   1. On retranche la moyenne : 85 − 100 = −15
   2. On divise par l’écart type : −15 / 15 = −1, le score z est donc négatif
   3. La part en dessous de z = −1 est d’environ 15,87 %, et la part au-dessus d’environ 84,13 %
   4. La bande à moins d’un écart type reste de 68,27 %, comme pour z = +1, parce que la bande est symétrique

   Comparer cet exemple au premier est le moyen le plus rapide de voir ce que le signe fait et ne fait pas : les deux probabilités unilatérales s’échangent, et la part dans la bande ne bouge pas du tout. C’est parce que la bande mesure une distance à la moyenne dans les deux sens, donc elle ne peut pas dire de quel côté se trouve la valeur — exactement ce qu’on veut lorsque la question est de savoir quelle part d’une distribution reste proche de son centre, et exactement pourquoi le panneau imprime aussi les valeurs unilatérales plutôt que la seule bande.

Tous les nombres de cette page sont des propriétés d’une loi normale, et non de vos données. Un score z se calcule pour n’importe quel jeu de valeurs, quelle que soit sa forme, mais les probabilités affichées ne sont les bonnes que si la distribution est réellement normale : avec une dispersion asymétrique ou à queue longue, les valeurs très éloignées sont plus fréquentes que ne le dit la courbe normale, et ce sont les estimations de queue qui souffrent en premier. Une moyenne et un écart type ne rendent pas une distribution normale, et ils ne permettent pas non plus de dire si elle l’est. Deux réserves encore. Les très petites probabilités ne s’impriment pas à deux décimales : une valeur très loin dans la queue affiche 0,00 % là où la vérité est un petit nombre strictement positif. Et la valeur saisie est traitée comme une observation unique confrontée à une moyenne et à une dispersion supposées connues ; les nombres ne tiennent donc pas compte de l’incertitude sur la moyenne ou sur l’écart type, ce qui compte lorsqu’ils ont été estimés sur un petit échantillon.

Qu’apporte le score z si j’ai déjà la probabilité ?

C’est le seul des quatre nombres qui circule d’une distribution à l’autre. Une probabilité est liée à la courbe précise que vous avez saisie, alors qu’un score z de 1 désigne la même distance au centre dans toutes les lois normales : des notes d’examen dont l’écart type vaut 15, des pièces d’usine mesurées au centième de millimètre, ou une mesure dans une unité quelconque. C’est ce qui rend une seule table de score z utilisable partout : convertissez d’abord en score z, puis lisez l’aire sur la courbe centrée réduite.

Pourquoi la probabilité au-dessus affiche-t-elle 0,00 % pour une très grande valeur ?

Parce que deux décimales de pourcentage ne peuvent pas imprimer la petitesse réelle du nombre. Une valeur située 6,67 écarts types au-dessus de la moyenne laisse environ 1,3 × 10⁻¹¹ de la courbe au-dessus d’elle — de l’ordre d’un cas sur plusieurs dizaines de milliards —, soit une part bien réelle et strictement positive, simplement très en dessous de la précision affichée. Lisez 0,00 % comme une part plus petite que ce que cet affichage peut montrer, et non comme une impossibilité. Le panneau calcule cette queue par sa propre voie au lieu de la déduire de la queue inférieure, et c’est pourquoi il affiche un zéro net plutôt que le petit nombre non nul qu’une soustraction produirait.

Est-ce la même chose que la règle empirique ?

Oui, et le tableau de cette page est cette règle écrite en distances plutôt qu’en pourcentages. La règle empirique dit qu’environ 68 % d’une loi normale tombe à moins d’un écart type de la moyenne, environ 95 % à moins de deux, et environ 99,7 % à moins de trois ; convertir chacune de ces bornes en distance au centre est exactement ce que font les lignes du tableau. Une différence mérite d’être notée : la règle est habituellement citée comme trois pourcentages arrondis, alors que les parts données ici sont calculées avec la même fonction de répartition que la calculatrice, si bien qu’une valeur tombant exactement sur une borne reçoit la même réponse des deux côtés.

Que se passe-t-il si l’écart type est nul ?

Il est refusé plutôt que renseigné. Diviser par une dispersion nulle ne donne pas une probabilité qui se trouverait valoir 1 : cela décrit une distribution sans aucune dispersion, où chaque observation est la moyenne et où la notion de distance au centre ne veut plus rien dire. Le panneau signale une erreur au lieu de renvoyer un 0 % ou un 100 % qui aurait l’air plausible. Les dispersions négatives sont refusées pour la même raison : un écart type est une distance, il ne peut donc pas être négatif, et utiliser silencieusement sa valeur absolue masquerait une erreur de saisie.

Puis-je m’en servir sur des données qui ne sont pas normales ?

Vous pouvez calculer le score z pour n’importe quel jeu de valeurs, car une moyenne et un écart type existent pour n’importe quelles données. Ce sont les probabilités qui portent l’hypothèse : ce sont des aires sous une courbe normale, et une distribution asymétrique ou à queue longue ne leur correspondra pas. L’écart se voit d’abord dans les queues, où la part réelle au-delà d’une grande distance est généralement plus forte que ne l’annonce la courbe normale ; c’est pourquoi les 0,3 % de la règle empirique au-delà de trois écarts types doivent être lus comme une propriété du modèle normal, et non comme une promesse sur vos mesures.

Pourquoi la valeur est-elle traitée comme une observation unique et non comme la moyenne d’un échantillon ?

Parce que c’est exactement ce que sont les trois probabilités : la part de la distribution en dessous, au-dessus et autour d’une valeur unique. Lire la moyenne d’un échantillon par rapport à la même moyenne et à la même dispersion est un autre calcul, et la dispersion qu’il faudrait alors est l’erreur type de la moyenne, et non la dispersion des observations individuelles — les deux diffèrent d’un facteur égal à la racine carrée de la taille de l’échantillon, si bien que prendre l’une pour l’autre donne une réponse qui a l’air raisonnable et qui est fausse. Si la valeur que vous saisissez est elle-même une moyenne, entrez l’erreur type à la place de l’écart type.

• 1.3.6.6.1. Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the density, the role of the mean and standard deviation, and the standard normal as the reference case) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 1.3.6.7.1. Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the cumulative function behind every probability on this page, and the z-table it is read from) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 6.1 The Standard Normal Distribution — Introductory Statistics 2e (the z-score as a standardised value, and the areas a normal table records) — OpenStax, Rice University
• 6.2 Using the Normal Distribution — Introductory Statistics 2e (reading probabilities off a normal curve, including the complements this page reports as below and above) — OpenStax, Rice University