Calculatrice de score z

z = (x − μ) ÷ σ

x

La valeur à situer — la mesure, la note, le relevé que vous voulez placer sur l’échelle

μ

La moyenne du groupe auquel la valeur appartient. C’est la soustraction qui transforme une valeur absolue en une distance au milieu

σ

L’écart type de ce même groupe. C’est la division par cet écart type qui rend la réponse comparable d’une échelle à l’autre : un score z de 1,5 veut dire la même chose que les données soient en points ou en millimètres. Il doit être supérieur à zéro

x − μ

La distance à la moyenne, imprimée à part et en valeur absolue pour que l’écart se lise dans les unités d’origine avant d’être remis à l’échelle

z

Le score z : négatif quand la valeur est sous la moyenne, positif quand elle est au-dessus. Le signe porte la direction, la grandeur porte le caractère plus ou moins inhabituel de la valeur

Servez-vous-en pour comparer des valeurs venues d’échelles différentes, ce qui est toute la raison d’être de cette mesure : une note de 85 dans une classe dont la moyenne est 75 n’est pas la même performance qu’un 85 dans une classe de moyenne 90, et les scores z le disent directement. C’est aussi la façon habituelle de situer un relevé unique par rapport à une population de référence, et la première étape de la plupart des règles de détection des valeurs aberrantes. Si vous disposez des données brutes plutôt qu’une moyenne et un écart type, obtenez-les d’abord sur la page de l’écart type puis revenez — cette page ne les estimera pas à votre place. Gardez à l’esprit ce que les noms de bandes signifient : les pourcentages qui les sous-tendent viennent de la règle empirique, celle des 68-95-99,7, et cette règle décrit une loi normale. N’importe quelle valeur peut avoir un score z ; seule une distribution normale a 68 % de ses valeurs à moins d’un écart type.

1. Une note à un écart type au-dessus de la moyenne de la classe

   1. Distance à la moyenne : 85 − 75 = 10 points
   2. Division par l’écart type : 10 ÷ 10 = 1
   3. Le score z vaut 1, positif parce que 85 est au-dessus de 75

   Un score z d’exactement 1 tombe dans la première bande et non dans la seconde : la règle empirique parle de la proportion de valeurs comprises à moins d’un écart type, donc la borne compte comme intérieure, et c’est 68 % qui lui est attaché. Les dix points de distance et le score z de 1 sont le même fait, l’un dans les unités de l’examen et l’autre en unités de dispersion — c’est exactement ce que la division vous achète.

2. Exactement trois écarts type d’écart

   1. Distance : 105 − 75 = 30
   2. Division : 30 ÷ 10 = 3
   3. La bande est celle qui se termine à 3, parce que la règle parle des valeurs au-delà de trois écarts type

   C’est la borne qui compte le plus, et celle que l’on rate le plus souvent. Être exactement à trois écarts type de la moyenne n’est pas la même chose qu’être au-delà de trois, et le chiffre de 0,3 % appartient au second cas. Dans la pratique la distinction est pointilleuse — les mesures réelles tombent rarement pile dessus — mais c’est elle qui sépare les bandes, et le tableau ci-dessous indique où se situe chaque borne.

3. Sous la moyenne, là où le signe bascule

   1. Distance : 65 − 75 = −10, donc la valeur est dix points sous la moyenne
   2. Division : −10 ÷ 10 = −1
   3. Le score z est négatif ; sa grandeur est la même que dans le premier exemple, parce que la valeur est à la même distance de la moyenne

   Le signe est la direction et la grandeur est la grandeur. Une valeur dix points sous la moyenne et une valeur dix points au-dessus ont pour scores z −1 et +1, qui sont aussi inhabituels l’un que l’autre — c’est pourquoi la bande se choisit sur la valeur absolue de z, et pourquoi le panneau rapporte la distance comme un nombre positif. Lisez les deux ensemble : le signe dit de quel côté, la distance dit à quelle distance.

Un score z ne vaut que par la moyenne et l’écart type que vous lui donnez : cette page prend les deux comme acquis et n’a aucun moyen de les vérifier, si bien qu’une moyenne saisie depuis la mauvaise colonne rend toutes les réponses fausses sans le moindre signe d’alerte. Les pourcentages derrière les bandes décrivent une loi normale, et les données réelles en sont souvent une autre — sur des données asymétriques, un score z élevé peut simplement signaler que la distribution a une longue queue plutôt qu’une valeur aberrante. Il existe en outre un piège de petit échantillon qui vaut la peine d’être connu : la section Detection of Outliers de NIST rappelle que le plus grand score z possible dans un échantillon de n valeurs vaut au plus (n − 1) ÷ √n, si bien qu’avec moins d’une dizaine de valeurs un score z ne peut pas atteindre 3 et qu’une règle empirique fixée à trois écarts type ne se déclenchera jamais. Enfin, l’écart type doit être supérieur à zéro : un groupe dont toutes les valeurs sont identiques n’a aucune dispersion par rapport à laquelle mesurer, et la page signale un échec plutôt que de rendre une réponse.

Quelle est la formule du score z ?

z = (x − μ) ÷ σ : soustrayez la moyenne à la valeur, puis divisez par l’écart type. Une note de 85 face à une moyenne de 75 avec un écart type de 10 donne (85 − 75) ÷ 10 = 1. La soustraction place la valeur sur une échelle centrée sur zéro, et la division la remet à l’échelle en unités de dispersion, ce qui rend deux échelles différentes comparables.

À combien d’écarts type ma valeur se situe-t-elle de la moyenne ?

C’est exactement ce que rapporte le score z : sa grandeur est le nombre d’écarts type, et son signe dit de quel côté de la moyenne se trouve la valeur. Un score z de 2,5 signifie deux écarts type et demi au-dessus de la moyenne ; −0,4 signifie quatre dixièmes d’écart type en dessous. Le panneau imprime aussi la distance brute, de sorte que l’écart se lise dans les unités d’origine à côté de sa version remise à l’échelle.

À partir de quand un score z est-il élevé ?

Sous une loi normale, environ 68 % des valeurs tombent à moins d’un écart type, 95 % à moins de deux et 99,7 % à moins de trois — c’est la règle empirique. Un score z au-delà de 2 est donc peu courant et un score au-delà de 3 est rare, ce qui explique que trois écarts type soit la ligne habituelle pour un candidat au statut de valeur aberrante. Prenez ces chiffres comme une lecture et non comme un verdict : ils décrivent une loi normale, et une distribution asymétrique peut produire de grands scores z pour des valeurs parfaitement ordinaires.

Un score z est-il la même chose qu’un centile ?

Non, bien que les deux soient liés. Un score z est une distance exprimée en écarts type ; un centile est une position dans la liste ordonnée des valeurs. Passer de l’un à l’autre demande la forme de la distribution — sous une loi normale, un score z de 1,645 se situe au 95e centile, mais cette correspondance ne vaut que pour une loi normale. Le score z, lui, ne demande aucune hypothèse de ce genre, et c’est pourquoi il est affiché ici et pas le centile.

Et si l’écart type est nul ?

Alors il n’y a rien par quoi diviser, et la page signale un échec au lieu d’un nombre. Un écart type nul signifie que toutes les valeurs du groupe sont identiques, donc aucune valeur n’est à une distance quelconque de la moyenne et la question n’a pas de réponse. Afficher une infini ou une erreur comme résultat serait pire que de le dire : une division par zéro ne produit ici aucune lecture sensée, et la page préfère vous en informer.

Puis-je l’employer sur n’importe quel jeu de données, normal ou non ?

Le score z lui-même, oui : soustrayez la moyenne et divisez par l’écart type, et vous obtenez une mesure valide de la position relative quelle que soit la forme des données. Ce sont les noms de bandes qui demandent de la prudence. Les pourcentages 68-95-99,7 sont des propriétés d’une loi normale, et un jeu de données à longue queue attribuera des scores z bien au-delà de 3 à des valeurs qui ne sont pas vraiment inhabituelles pour cette distribution. Servez-vous des bandes comme d’une invitation à regarder la valeur, pas comme d’un verdict sur celle-ci.

• The Standard Normal Distribution — Introductory Statistics 2e, section 6.1 (the z-score as the number of standard deviations from the mean, and the Empirical Rule: about 68%, 95% and 99.7% within one, two and three standard deviations) — OpenStax, Rice University
• écart réduit — Grand dictionnaire terminologique (le rapport de l’écart individuel x à l’écart type s ; c’est le nom français du score z, dont la fiche donne l’équivalent anglais standard score) — OQLF — Office québécois de la langue française
• Detection of Outliers — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.17 — National Institute of Standards and Technology (NIST)