Calculatrice de percentile

Position = (n − 1) × p, où p est le centile exprimé en fraction ; la réponse est la valeur à cette position, obtenue par interpolation linéaire entre les deux observations voisines

xᵢ

Une valeur de l’ensemble de données. Les centiles utilisent la position et non la taille, donc une seule lecture extrême déplace légèrement les voisins mais ne peut pas tirer la réponse comme elle tire une moyenne

n

Le nombre de valeurs de la liste, plafonné à 200 ici. C’est lui qui fixe la position maximale : au 100e centile la position vaut n − 1, c’est-à-dire la dernière valeur de la liste triée

p

Le centile demandé, exprimé en fraction : 90 devient 0,9. Il peut valoir n’importe quoi de 0 à 100, décimales comprises — le 97,5e centile est aussi valide ici que le 50e

position

L’endroit où regarder dans la liste triée, compté à partir de 0 : (n − 1) × p. Avec 8 valeurs, le 90e centile se trouve à la position 6,3 — trois dixièmes du chemin entre la 7e valeur et la 8e

Y₍ₖ₎ and Y₍ₖ₊₁₎

Les deux observations qui encadrent cette position. Ce sont les deux nombres imprimés à côté du résultat, et la réponse se trouve toujours entre eux — ou exactement sur l’un des deux quand la position est un nombre entier

Recourez à un centile quand la question porte sur le rang plutôt que sur la grandeur : comment une lecture se situe par rapport à toute une distribution. Les courbes de croissance, les notes d’examen, les budgets de latence, les déciles de revenu et les intervalles de référence cliniques sont tous des centiles, et la médiane en est un aussi, puisque c’est simplement le 50e. C’est également le bon outil pour un seuil que vous devez justifier — « nous alertons au-dessus du 95e centile du trafic normal » est une règle qui se recalcule et s’audite. Deux choses à ne pas confondre. D’abord, un centile n’est pas un pourcentage : être au 90e centile ne veut pas dire 90 % de bonnes réponses, mais que 90 % du groupe a obtenu un résultat inférieur ou égal au vôtre. Ensuite, le rang centile va dans la direction opposée du centile : cette page répond à « quelle valeur se trouve au rang p », pas à « à quel rang se trouve telle valeur ». Les deux ne sont inverses l’un de l’autre que lorsque la valeur que vous nommez est justement l’un des points de données. La convention employée ici est celle de Hyndman–Fan de type 7, la valeur par défaut de la fonction quantile de R et de celle de NumPy avec method="linear". C’en est une parmi plusieurs ; le manuel d’introduction d’OpenStax utilise i = k/100 × (n + 1) et prévient lui-même qu’une brève recherche fait apparaître plusieurs formules. Deux logiciels afficheront donc des centiles légèrement différents pour la même liste, et ni l’un ni l’autre n’a tort.

1. Le 90e centile de huit valeurs : 7,6

   1. Tri : 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 — huit valeurs, donc n − 1 = 7
   2. Position : 7 × 0,90 = 6,3, en comptant à partir de 0
   3. La position 6,3 se situe entre la valeur de la position 6, qui vaut 7, et celle de la position 7, qui vaut 9
   4. Trois dixièmes du chemin de 7 vers 9 : 7 + 0,3 × (9 − 7) = 7,6

   7,6 ne fait pas partie des huit nombres, et c’est normal : un centile est une position sur l’échelle des données, pas un membre de l’ensemble. Les deux voisins sont imprimés à côté de la réponse parce que c’est l’interpolation que l’on rate le plus souvent — avec 7 et 9 sous les yeux, n’importe qui voit que 7,6 est à 30 % du trajet, ce qui est exactement ce que signifie une position de 6,3.

2. Une position qui tombe pile sur une valeur : le 25e centile de 1 à 5

   1. Tri : 1, 2, 3, 4, 5 — cinq valeurs, donc n − 1 = 4
   2. Position : 4 × 0,25 = 1, un nombre entier
   3. La position 1 porte la valeur 2, et il n’y a rien à interpoler
   4. Les deux valeurs voisines valent 2 et la réponse vaut 2

   Quand la position est un nombre entier, les deux voisins se confondent en un seul et les deux lignes impriment le même nombre — c’est la façon qu’a le panneau de dire qu’aucune interpolation n’a eu lieu. C’est aussi le cas où les conventions s’accordent : toutes les formules en circulation renvoient 2 ici, et les désaccords vivent tous entre les points.

3. Une seule valeur : tous les centiles valent cette valeur

   1. Tri : 42 — une valeur, donc n − 1 = 0
   2. Position : 0 × 0,90 = 0
   3. L’unique valeur occupe la position 0, donc tout centile de 0 à 100 renvoie cette valeur
   4. Réponse : 42

   Avec une seule valeur il n’y a rien à interpoler et rien dont on puisse être un centile, donc l’outil renvoie cette valeur quel que soit le centile saisi plutôt que de refuser de répondre. Remarquez que les bornes ne demandent aucun traitement particulier non plus : le 0e centile est la plus petite valeur et le 100e la plus grande, et c’est la même formule de position qui les produit toute seule.

Un centile ne dit rien de la façon dont les valeurs sont réparties, et il ne vaut que par la liste qui le porte : avec dix valeurs le 90e centile est une interpolation entre deux d’entre elles, et quelques valeurs de plus ne le déplacent presque pas. La réponse dépend aussi de la convention, et plusieurs circulent — cette page emploie celle de Hyndman–Fan de type 7, la valeur par défaut de R et de NumPy, tandis que d’autres textes utilisent une formule d’indice différente, si bien qu’un centile calculé ailleurs peut légitimement différer un peu. Cette page ne va par ailleurs que dans un sens : elle transforme un centile en valeur. La question inverse — à quel centile se situe telle valeur — est un autre calcul, qui n’est pas proposé ici et qui demanderait sa propre page. Les centiles ne sont pas non plus des pourcentages : être au 90e centile est une affirmation sur le groupe, pas une note de 90 sur 100. La liste est plafonnée à 200 valeurs, et un jeton comme « 1,500 » est refusé plutôt que deviné, parce qu’une virgule entre deux chiffres est un séparateur décimal dans certains pays et un séparateur de milliers dans d’autres. Tout est calculé à partir des nombres exactement tels qu’ils sont saisis, sans aucun arrondi appliqué avant l’interpolation.

Comment calcule-t-on un centile ?

Pour calculer un centile, triez la liste, puis cherchez la position (n − 1) × p, où n est le nombre de valeurs et p le centile exprimé en fraction. Pour le 90e centile de huit valeurs la position vaut 7 × 0,9 = 6,3, donc la réponse se situe à trois dixièmes du chemin entre la 7e valeur et la 8e. Si la position est un nombre entier, elle tombe sur une valeur et il n’y a rien à interpoler. L’effectif, les deux valeurs voisines et le résultat sont tous imprimés ci-dessus, de sorte que l’arithmétique se vérifie d’un seul coup d’œil.

Que signifie exactement le 90e centile ?

Cela signifie que 90 % des valeurs se situent au plus à ce niveau et qu’environ 10 % se situent au moins à ce niveau. C’est une affirmation sur le rang, pas sur la proportion de réponses justes : être au 90e centile d’un examen ne veut pas dire avoir répondu correctement à 90 % des questions. La confusion est assez répandue pour que le manuel de statistique d’OpenStax la signale explicitement — le 90e centile de notes d’examen signifie que 90 % des notes sont égales ou inférieures à la vôtre.

Pourquoi une autre calculatrice donne-t-elle un centile légèrement différent ?

Parce que plusieurs formules circulent, et qu’elles ne s’accordent pas entre les points de données — jamais sur les points eux-mêmes. Cette page emploie la convention de Hyndman–Fan de type 7, la valeur par défaut de la fonction quantile de R et de celle de NumPy : position (n − 1) × p avec interpolation linéaire. Le manuel d’introduction d’OpenStax utilise au contraire i = k/100 × (n + 1) et écrit noir sur blanc qu’une brève recherche fait apparaître plusieurs formules. Ni l’une ni l’autre n’est fausse ; un centile est une convention, et les deux valeurs voisines sont imprimées ici pour que vous voyiez exactement quelle paire a servi.

Que sont les deux nombres supplémentaires sous le résultat ?

Ce sont les deux observations entre lesquelles la réponse a été interpolée — les valeurs immédiatement inférieure et supérieure à la position demandée. Avec elles à l’écran, le résultat cesse d’être une boîte noire : 7,6 à côté de 7 et 9 se voit comme trois dixièmes du trajet. Quand votre centile tombe exactement sur un point de données, la position est un nombre entier, il n’y a rien à interpoler, et les deux lignes impriment la même valeur.

Que sont le 0e et le 100e centile ?

La plus petite et la plus grande valeur de la liste, et ils ne demandent aucun cas particulier : mettez p = 0 dans la formule de position et vous obtenez 0, la première valeur ; mettez p = 100 et vous obtenez n − 1, la dernière. Les centiles inférieurs à 0 ou supérieurs à 100 sortent du domaine accepté par le champ et sont refusés plutôt que ramenés de force, de sorte qu’une faute de frappe comme 900 est signalée au lieu d’être discrètement renvoyée comme le maximum.

Puis-je plutôt trouver le rang centile d’une valeur ?

Pas sur cette page — elle ne travaille que dans un sens, en transformant un centile en valeur. La question inverse, savoir à quel centile se situe une valeur donnée, est un calcul différent avec sa propre formule, et faire les deux dans un même outil obligerait à afficher tantôt un résultat tantôt l’autre, ce que le panneau de résultats ne sait délibérément pas faire. Si vous avez besoin du rang, comparez votre valeur à la liste triée à la main, ou servez-vous de la page des quartiles pour les quatre points de coupure les plus courants.

• Measures of the Location of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.3 (defines quartiles and percentiles, warns that the 90th percentile is not a score of 90%, and notes that several formulas for the k-th percentile are in circulation) — OpenStax, Rice University
• Centiles — définitions et méthodes (les centiles d’une variable sont les valeurs-seuils qui, une fois la population ordonnée selon cette variable, la partitionnent en 100 sous-populations de taille égale ; on les note p01, p02, … p99) — Insee (Institut national de la statistique et des études économiques)
• quantile — R stats package reference (documents the nine quantile types; type 7 is the default and is the convention used here) — The R Project for Statistical Computing
• numpy.quantile — NumPy reference (the method="linear" default is the same interpolation rule) — NumPy
• GB/T 3358.1-2009, Statistics — Vocabulary and symbols, Part 1 (the Chinese national vocabulary standard covering percentiles and the other measures of location; the record page notes that no online full text is offered) — State Administration for Market Regulation, China