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CalcMax

Calculatrice d’angle double

Intervalle : -1 000 000 ° – 1 000 000 °

Résultat

60,00 °

Angle double 2θ

Sinus de 2θ
0,8660
Cosinus de 2θ
0,5000
Tangente de 2θ
1,7321

Une calculatrice d’angle double prend un angle, le double, et donne le sinus, le cosinus et la tangente du résultat. La sortie n’est le double de rien — c’est tout l’intérêt de la page. Doubler un angle ne double pas son sinus : le sinus de soixante degrés vaut 0,866 tandis que deux fois le sinus de trente degrés vaut 1, et ces deux nombres n’ont rien à voir l’un avec l’autre. Ce qui se passe réellement quand un angle double est décrit par les formules de duplication, et ce ne sont pas des multiplications. Le sinus d’un angle doublé est le double du produit du sinus et du cosinus de l’angle de départ — deux rapports multipliés entre eux, et non un rapport multiplié par deux. Le cosinus d’un angle doublé est le carré du cosinus moins le carré du sinus, ce qui explique aussi qu’on puisse l’écrire un moins deux fois le sinus au carré, ou deux fois le cosinus au carré moins un. La tangente d’un angle doublé est deux fois la tangente de départ sur un moins son carré. Lues de gauche à droite, ces formules disent où tombe un angle doublé ; lues à l’envers, ce sont les formules de l’angle moitié, ce qui explique qu’un angle comme vingt-deux virgule cinq degrés vaille la peine d’être connu — son double est quarante-cinq, un angle dont les trois rapports sont exacts. Deux limites découlent des formules plutôt que de la page. Tout est défini partout où la tangente de départ l’est, sauf aux angles dont le double est un angle droit ou les trois quarts d’un tour : à quarante-cinq et à cent trente-cinq degrés la tangente doublée n’a pas de valeur, et la page refuse ces deux angles purement et simplement. Et c’est l’angle qui est doublé, pas la lecture, si bien qu’un angle au-delà d’un tour complet est doublé puis ramené dans l’intervalle — sept cent cinquante degrés donnent quinze cents degrés et se lisent comme soixante. Le tableau ci-dessous couvre douze angles et montre les quatre colonnes, y compris les deux lignes où la colonne de tangente porte un tiret.

L’angle doublé et ses trois rapports en douze angles

θ (degrés)2θ (degrés)sin(2θ)cos(2θ)tan(2θ)
00010
15300.50.8660.5774
22.5450.70710.70711
30600.8660.51.7321
459010—
601200.866-0.5-1.7321
751500.5-0.866-0.5774
901800-10
120240-0.866-0.51.7321
135270-10—
150300-0.8660.5-1.7321
165330-0.50.866-0.5774

Lisez d’abord la deuxième colonne : c’est la seule qui se comporte comme un doublement se comporte d’ordinaire, en montant de deux chaque fois que la première monte de un. Les trois colonnes qui suivent ne le font pas. Comparez la ligne des trente degrés avec celle des quinze : le sinus passe d’un demi à 0,866 et le cosinus fait l’inverse, et aucune des deux lectures n’est le double de l’autre — elles échangent leurs places, parce que doubler un angle fait avancer le point d’un quart de tour de plus sur le cercle plutôt que de mettre quoi que ce soit à l’échelle. Les deux tirets se trouvent à quarante-cinq et à cent trente-cinq degrés, les deux angles dont le double est un angle droit ou les trois quarts d’un tour, et ils sont dans la colonne de tangente seulement ; le sinus et le cosinus de ces deux lignes sont des nombres ordinaires. Remarquez aussi les lignes à zéro et à quatre-vingt-dix : sur les deux, le sinus de l’angle doublé vaut zéro, et le cosinus bascule entre un et moins un. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (0.7071 plutôt que 0,7071), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte.

Formule

sin 2θ = 2 sin θ cos θ cos 2θ = cos²θ − sin²θ tan 2θ = 2 tan θ ÷ (1 − tan²θ)

θ
L’angle dont vous partez, en degrés ou en radians. Il peut être négatif et dépasser un tour complet, et ce que la page double est cet angle, jamais le nombre qu’il produit
2θ
L’angle doublé. Il est donné en premier, en degrés, parce que tout le reste de la page se lit à cet angle-là plutôt qu’à celui que vous avez saisi
sin θ, cos θ
Le sinus et le cosinus de l’angle de départ. La formule les multiplie l’un par l’autre au lieu de doubler l’un des deux, ce qui explique que la réponse ne soit le double de rien

Prenez cette page quand l’angle va être doublé et que vous voulez savoir où il tombe sans dérouler les formules à la main — une rotation appliquée deux fois, une phase qui avance de deux pas, une longueur d’onde ou une période lue à fréquence double. Les formules de duplication reproduites plus bas sont les trois mêmes identités que la calculatrice applique, la page sert donc aussi de contrôle sur un calcul fait à la main. Si ce que vous avez est la lecture doublée et que vous voulez retrouver l’angle de départ, c’est le sens de l’angle moitié, et ce n’est pas une fonction que cette page assure. Et si vous voulez les trois rapports à l’angle que vous avez saisi plutôt qu’à son double, la page de trigonométrie fait exactement cela et les deux concordent partout où elles sont définies.

Exemples détaillés

  1. Un angle de 30 degrés, qui double en 60

    1. Deux fois trente degrés font soixante degrés, tout se lit donc là
    2. Le sinus de 60 vaut √3/2, soit environ 0,866, et le cosinus de 60 vaut un demi
    3. La tangente est leur rapport, √3, soit environ 1,7321

    L’angle avec lequel la page se charge, et celui qui montre pourquoi la page existe. Le sinus de trente degrés vaut 0,5, donc son double vaudrait 1 — mais le sinus de soixante degrés vaut 0,866, et aucun doublement du premier nombre ne produit le second. La formule explique d’où vient 0,866 : deux fois 0,5 fois 0,866, le produit du sinus et du cosinus de trente. L’angle doublé est plus grand que l’angle de départ dans un rapport de deux ; le rapport trigonométrique, lui, ne l’est pas.

  2. Un angle de 22,5 degrés, qui double en 45

    1. Deux fois vingt-deux virgule cinq font quarante-cinq degrés
    2. À quarante-cinq degrés le point est sur la droite y = x, donc le sinus et le cosinus sont égaux
    3. Des lectures égales signifient que la tangente vaut exactement un, sans aucun arrondi

    Vingt-deux virgule cinq est la moitié de quarante-cinq, ce qui fait de cette ligne la formule de l’angle moitié lue dans le sens où on la veut d’ordinaire. Quarante-cinq est l’un des rares angles dont les trois rapports sont exacts, et il est hors de portée du tableau habituel, si bien qu’on y arrive par un double plutôt que par une valeur apprise par cœur. Les deux rapports valent 0,7071 parce qu’à cet angle les deux coordonnées sont égales, et la tangente vaut un exactement plutôt que 0,9999.

  3. Un angle de 90 degrés, qui double en 180

    1. Deux fois quatre-vingt-dix font cent quatre-vingts degrés, soit un demi-tour
    2. Le point est sur l’axe des abscisses négatif, donc le cosinus vaut moins un et le sinus vaut zéro
    3. La tangente est zéro divisé par moins un, c’est-à-dire zéro

    La seule ligne où l’angle doublé atteint un extrême : le cosinus y prend sa plus petite valeur possible, moins un. Rien ne défaille sur cette page à quatre-vingt-dix degrés, alors même que quatre-vingt-dix est l’angle que la page de trigonométrie refuse — la tangente n’est pas lue là, elle est lue à cent quatre-vingts, où elle se tient parfaitement et vaut zéro. Déplacer la lecture vers un autre angle suffit à la sortir d’un pôle.

  4. Un angle au-delà d’un tour complet, 750 degrés

    1. Sept cent cinquante degrés, c’est trente degrés plus deux tours complets
    2. En doublant, on obtient quinze cents degrés, soit soixante degrés plus quatre tours complets
    3. Quatre tours complets ne changent rien, la lecture est donc la même qu’à soixante

    Les quatre colonnes sont identiques à celles de la ligne des trente degrés, et elles doivent l’être : sept cent cinquante et trente sont le même angle, ils ont donc le même double et les mêmes trois rapports à cet endroit. Rien ici ne traite un grand angle comme un cas particulier — l’angle doublé est ramené dans l’intervalle avant d’être lu, et les tours complets sont écartés. Cinq degrés sous un million se comporte de la même façon, pour la même raison.

Limites

Trois choses que cette page ne fait pas. Premièrement, la tangente de l’angle doublé est refusée à quarante-cinq, à cent trente-cinq, et à tout angle dont le double est un angle droit ou les trois quarts d’un tour — y compris les versions négatives et celles qui dépassent un tour. Le refus emporte tout l’angle avec lui, même si le sinus et le cosinus de l’angle doublé y sont des nombres parfaitement ordinaires. Deuxièmement, les lectures sont données à quatre décimales, et la plupart sont irrationnelles : le sinus exact d’un angle de trente degrés doublé est racine de trois sur deux, et 0,866 est l’endroit où cela retombe après arrondi. Le cosinus se comporte plus mal que le sinus ici — la formule soustrait deux carrés, et les deux sont presque égaux au voisinage de quarante-cinq degrés, si bien que le petit résultat obtenu est la différence de deux nombres plus grands. Troisièmement, la page ne s’inverse pas. Avec un sinus de 0,866 pour un angle doublé, cet angle doublé peut valoir soixante ou cent vingt, et l’angle de départ peut être n’importe lequel des angles infiniment nombreux qui doublent vers l’un ou l’autre — retrouver un angle à partir d’un rapport demande une décision que cette page ne prend pas.

Questions fréquentes

Le sinus d’un angle doublé est-il le double du sinus de l’angle ?
Non, et c’est l’erreur autour de laquelle la page est construite. Le sinus de trente degrés vaut 0,5, mais le sinus de soixante degrés vaut 0,866, et non 1. Doubler un angle n’est pas mettre ses rapports à l’échelle. Le sinus d’un angle doublé vaut en réalité deux fois le produit du sinus et du cosinus de l’angle de départ — une multiplication de deux lectures différentes plutôt que le double d’une seule.
Pourquoi la page refuse-t-elle 45 degrés ?
Parce que quarante-cinq double en quatre-vingt-dix, et que la tangente de quatre-vingt-dix degrés n’a pas de valeur. Le sinus et le cosinus à quatre-vingt-dix vont très bien — un et zéro —, mais la page donne aussi la tangente, et une réponse partielle présentée comme complète vaut moins que rien. Le même refus couvre cent trente-cinq degrés, qui double en deux cent soixante-dix, et tout angle à un demi-tour de l’un ou de l’autre.
Quelles sont les trois formules de duplication ?
Le sinus d’un angle doublé est deux fois le produit du sinus et du cosinus de l’angle de départ. Le cosinus d’un angle doublé est le carré du cosinus moins le carré du sinus, ce qui peut aussi s’écrire un moins deux fois le sinus au carré ou deux fois le cosinus au carré moins un — les trois formes donnent le même nombre, et il faut prendre celle dont vous avez déjà le rapport de départ. La tangente d’un angle doublé est deux fois la tangente de départ divisée par un moins le carré de cette tangente.
Pourquoi 22,5 degrés valent-ils la peine d’être connus ?
Parce que son double est quarante-cinq, et que quarante-cinq est l’un des rares angles dont les rapports sont exacts — un demi de racine de deux pour le sinus et le cosinus, et exactement un pour la tangente. Vingt-deux virgule cinq ne figure sur aucun tableau standard, mais c’est la moitié d’un angle qui y figure, si bien qu’on l’atteint en lisant une formule de duplication à l’envers. Cette lecture à l’envers, c’est précisément ce que sont les formules de l’angle moitié.
L’angle peut-il être négatif ou plus grand qu’un tour complet ?
Oui, et les deux cas sont traités de la même façon : l’angle est doublé et le résultat est ramené dans l’intervalle, si bien que sept cent cinquante degrés se lit exactement comme trente et que moins trente se lit exactement comme trois cent trente. Les tours complets sont écartés parce qu’ils ne changent rien à l’endroit où pointe l’angle doublé. La seule chose à surveiller est que la lecture est toujours donnée dans l’intervalle qui va de zéro à un tour complet.
Puis-je saisir l’angle en radians ?
Oui — un sélecteur d’unité se trouve à côté du champ, et l’angle doublé est donné en degrés dans tous les cas, puisque c’est l’unité que déclare la sortie. Un tiers de pi radian et soixante degrés sont le même angle et donnent les mêmes quatre nombres. Comme toujours, vérifiez l’unité que suppose la source à laquelle vous vous comparez, car la plupart des tableaux publiés entendent des degrés.

Références

Calculatrices liées

Calculatrice de trigonométrieSinus, cosinus et tangente d’un angle, en degrés ou radians.Calculatrice de cercle trigonométriqueSinus, cosinus et tangente d’un angle sur le cercle.Calculatrice de cosinusCosinus d’un angle en degrés ou en radians.Calculatrice de cotangenteCotangente d’un angle en degrés ou en radians.Calculatrice d’angle moitiéIdentités d’angle moitié pour sinus, cosinus et tangente.