Calculatrice d’angle moitié

sin(θ/2) = √((1 − cos θ) / 2) cos(θ/2) = √((1 + cos θ) / 2) tan(θ/2) = (1 − cos θ) / sin θ = sin θ / (1 + cos θ)

θ

L’angle dont vous partez, en degrés ou en radians. Il peut être négatif et dépasser un tour complet, et il est ramené dans l’intervalle avant que quoi que ce soit soit divisé

θ/2

L’angle moitié, toujours donné dans l’intervalle qui va de zéro à un demi-tour. Tous les autres nombres de la page sont lus là plutôt qu’à l’angle que vous avez saisi

cos θ

Le cosinus de l’angle entier. C’est la seule entrée dont les formules du sinus et du cosinus aient besoin — les deux racines sont construites à partir de lui, ce qui explique qu’une lecture à un angle ingrat puisse malgré tout être exacte

sin θ

Le sinus de l’angle entier, utilisé par les deux formes fractionnaires de la tangente. C’est le diviseur, il ne doit donc pas être nul — et les angles où il s’annule sont exactement ceux où la moitié tombe sur un angle droit

Prenez cette page quand l’angle va être divisé par deux et que vous voulez les trois rapports à la moitié sans dérouler les formules à la main — un oscillateur à la moitié de la fréquence d’excitation, l’angle entre deux miroirs, une corde vue depuis la moitié de l’angle au centre, un pas qui vaut la moitié d’un tour complet ou le quart d’un tour. Les formules de l’angle moitié reproduites plus bas sont les trois mêmes identités que la calculatrice applique, la page sert donc aussi de contrôle sur un calcul fait à la main. Deux voisines couvrent le reste. Si ce que vous avez est l’angle plutôt que sa moitié, les formules de duplication vont dans l’autre sens, et les deux pages concordent partout où elles sont définies. Et si vous voulez les trois rapports à l’angle qui est dans le champ plutôt qu’à sa moitié, la page de trigonométrie les lit là et rien n’est divisé.

1. Un angle de 30 degrés, qui se divise en 15

   1. La moitié de trente degrés fait quinze degrés, tout se lit donc là
   2. La formule du sinus : le cosinus de trente vaut 0,866, donc un moins ce nombre donne 0,134, la moitié de 0,134 vaut 0,067, et sa racine carrée vaut 0,2588
   3. Le cosinus est la même racine avec un plus à l’intérieur : un plus 0,866 font 1,866, la moitié vaut 0,933, et sa racine carrée vaut 0,9659
   4. La tangente est leur rapport, 0,2588 divisé par 0,9659, soit 0,2679 — et la forme fractionnaire confirme : 0,134 divisé par 0,5 font 0,268

   L’angle avec lequel la page se charge, et celui qui montre l’erreur que la page vise. Le sinus de trente degrés vaut 0,5, donc sa moitié vaudrait 0,25 — mais le sinus de quinze degrés vaut 0,2588, un peu plus que la moitié. Les deux lectures sont assez proches pour que la réponse fausse paraisse plausible, et c’est exactement pour cela que la page l’imprime. Remarquez aussi que l’angle entier a ici un cosinus exact, une moitié de racine de trois, et que l’angle moitié est malgré tout sorti irrationnel : diviser un angle par deux fait sortir du tableau habituel plutôt que d’y entrer.

2. Un angle de 90 degrés, qui se divise en 45

   1. La moitié de quatre-vingt-dix degrés fait quarante-cinq
   2. Le cosinus de quatre-vingt-dix vaut zéro, donc les deux formules se réduisent à la racine carrée d’un demi, soit 0,7071
   3. Les deux racines donnent ici le même nombre parce que ce qu’elles contiennent est identique : un moins zéro et un plus zéro
   4. Des lectures égales signifient que la tangente vaut exactement un, sans aucun arrondi

   La seule ligne où un angle célèbre sort d’un angle qui ne l’est pas pour cela. Quarante-cinq degrés est l’un des rares angles dont les trois rapports s’écrivent exactement — le sinus et le cosinus valent tous deux une moitié de racine de deux, et la tangente vaut un. On y arrive par une formule d’angle moitié plutôt que par un tableau appris par cœur, et cette ligne est ce chemin. C’est aussi la ligne où le sinus et le cosinus sont égaux, ce qui n’arrive qu’à quarante-cinq et à deux cent vingt-cinq sur tout le tableau.

3. Un angle de 400 degrés, qui revient à 40

   1. Quatre cents degrés, c’est quarante degrés plus un tour complet
   2. Un tour complet ne change rien à l’endroit où pointe l’angle, la lecture est donc prise à quarante
   3. La moitié de quarante fait vingt, donc les trois rapports sont ceux de vingt degrés : 0,342, 0,9397 et 0,364

   Saisissez quarante degrés dans le même champ et les quatre nombres sont identiques — c’est tout l’intérêt de cette ligne. Diviser avant de ramener dans l’intervalle donnerait ici deux cents degrés et là vingt, deux réponses différentes à la même question, ce qui explique que l’ordre soit fixé dans l’autre sens. Il en va de même pour sept cent cinquante degrés, dont la moitié donne la lecture d’un angle de quinze degrés.

4. Un angle de moins 30 degrés, qui se divise en 165

   1. Moins trente degrés, c’est trois cent trente degrés, à un tiers de tour d’un tour complet
   2. La moitié de trois cent trente fait cent soixante-cinq
   3. Cent soixante-cinq est dans le deuxième quadrant, donc son sinus est positif et son cosinus négatif
   4. La tangente est par conséquent négative, moins 0,2679

   La ligne qui prend les lecteurs en défaut. Un angle négatif ne se divise pas en une moitié négative, parce que l’angle est d’abord ramené dans l’intervalle ; la moitié d’un angle négatif est un angle de la moitié haute du cercle. Le sinus vaut ici le même 0,2588 que sur la ligne des trente degrés, et ce n’est pas une coïncidence — quinze et cent soixante-cinq sont des images miroir par rapport à l’axe des ordonnées, ils partagent donc un sinus et leurs cosinus sont opposés. La tangente change de signe en même temps que le cosinus.

Trois choses que cette page ne fait pas. Premièrement, la tangente est refusée à cent quatre-vingts degrés, à cinq cent quarante, à moins cent quatre-vingts, et à tout angle que ceux-là représentent à un tour complet près, parce que la moitié de chacun est un angle droit et que la tangente n’y a pas de valeur. Le refus emporte toute la lecture avec lui, même si le sinus et le cosinus à la moitié y sont des nombres ordinaires — un et zéro. Deuxièmement, les trois rapports sont donnés à quatre décimales et la plupart sont irrationnels ; l’angle moitié imprimé est une autre affaire, puisque diviser un nombre entier de degrés par deux donne au pire un demi-degré et que deux décimales suffisent à le contenir exactement. Troisièmement, la page ne se remonte pas. La moitié d’un angle est partagée par tout ce qui se trouve à un tour complet de lui et par rien d’autre, si bien qu’une lecture de vingt degrés vous dit que l’angle de départ valait quarante, ou quatre cents, ou n’importe lequel des angles infiniment nombreux entre les deux — et une moitié de cent quatre-vingt-quinze degrés viendrait d’un angle de départ hors de l’intervalle que le champ accepte, cette direction n’a donc aucune réponse ici.

Le sinus de la moitié d’un angle vaut-il la moitié du sinus de l’angle ?

Non, et c’est l’erreur autour de laquelle cette page est construite. Le sinus de trente degrés vaut 0,5, donc sa moitié vaut 0,25 — mais le sinus de quinze degrés vaut 0,2588. Les deux nombres sont assez proches pour que la réponse fausse paraisse raisonnable, et c’est pourquoi la page imprime la bonne avec les étapes. Le sinus de la moitié d’un angle vaut en réalité la racine carrée de un moins le cosinus de l’angle entier, le tout sur deux : une racine de cosinus, et non une fraction de sinus.

Quelles sont les trois formules de l’angle moitié ?

Le sinus de la moitié d’un angle est la racine carrée de un moins le cosinus de l’angle entier, le tout sur deux. Le cosinus de la moitié d’un angle est la même racine avec un plus à l’intérieur au lieu d’un moins. La tangente de la moitié d’un angle s’écrit de trois façons — un moins le cosinus sur le sinus, le sinus sur un plus le cosinus, ou la racine carrée de un moins le cosinus sur un plus le cosinus — et les trois donnent le même nombre. Les formes fractionnaires sont en général celles qu’il faut prendre, puisqu’elles évitent complètement la racine carrée.

Pourquoi un angle négatif ne donne-t-il pas une moitié négative ?

Parce que l’angle est ramené dans l’intervalle avant d’être divisé, et non après. Moins trente degrés, c’est trois cent trente degrés, et la moitié de trois cent trente fait cent soixante-cinq. Diviser d’abord donnerait moins quinze, qui est un angle réel, mais il n’est pas dans l’intervalle que la sortie déclare et il serait en désaccord avec le reste de la page sur lequel des deux angles miroir il s’agit. La lecture est toujours celle de la moitié haute du cercle.

Pourquoi la page refuse-t-elle 180 degrés ?

Parce que la moitié de cent quatre-vingts fait quatre-vingt-dix, et que la tangente de quatre-vingt-dix degrés n’a pas de valeur. Le sinus et le cosinus à quatre-vingt-dix vont très bien — un et zéro —, mais la page donne la tangente en même temps qu’eux, et une réponse partielle présentée comme complète vaut moins que rien. Le même refus couvre cinq cent quarante degrés et moins cent quatre-vingts, qui sont le même angle que cent quatre-vingts, ainsi que tout angle à un tour complet de ceux-là.

En quoi est-ce différent des formules de duplication ?

Ce sont les trois mêmes relations lues dans des sens opposés. Les formules de duplication partent d’un angle et donnent le sinus, le cosinus et la tangente à son double ; la formule de l’angle moitié part d’un angle et donne les trois rapports à sa moitié. La différence qui compte est l’endroit où va l’arrondi. Doubler vous garde sur des degrés entiers, si bien que la lecture au double de trente vaut exactement soixante ; diviser vous fait souvent sortir du tableau, si bien que la moitié de trente vaut quinze et que ses lectures sont irrationnelles.

Puis-je saisir l’angle en radians ?

Oui — un sélecteur d’unité se trouve à côté du champ, et l’angle moitié est donné en degrés dans tous les cas, puisque c’est l’unité que déclare la sortie. Un sixième de pi radian et trente degrés sont le même angle et donnent les mêmes quatre nombres. La seule chose à surveiller est que l’unité s’applique à l’angle que vous saisissez et non à la moitié, qui est toujours montrée en degrés.

• Half-Angle Formulas — the three identities this page applies, with the sign questions the page resolves by keeping the half in the upper half of the circle — Wolfram MathWorld (United States)
• Double-Angle Formulas — the same relations read the other way, and the page these identities are usually met from first — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — the definitions of sine, cosine and tangent, and where each of them has no value — Wolfram MathWorld (United States)
• Sine, Cosine and Tangent — the ratios in a right triangle, from first principles — Math is Fun (United Kingdom)