Calculatrice de rendement d’obligation

Prix de marché = Σ [ coupon × (1 + i)^−k ] + valeur nominale × (1 + i)^−n, résolue en i (k = 1 … n ; coupon = valeur nominale × taux de coupon ÷ périodes par an ; n = années jusqu’à l’échéance × périodes par an)

Prix de marché

Ce que l’obligation coûte aujourd’hui, et la seule grandeur que cette page reçoit au lieu de la calculer

Coupon

Valeur nominale × taux de coupon ÷ périodes par an — soit 20 sur l’obligation par défaut, versés deux fois par an

Valeur nominale

La somme remboursée à l’échéance, et la base à partir de laquelle le coupon est calculé

Années jusqu’à l’échéance

Le temps qu’il reste, saisi en années puis multiplié par les périodes par an pour donner le nombre de versements à venir

Rendement à l’échéance (i)

L’inconnue que cette page résout : le taux annuel qui actualise chaque versement restant jusqu’au prix de marché

Servez-vous-en dès qu’un prix d’obligation vous est communiqué et que son coupon ne suffit pas à le comparer à quoi que ce soit. Le taux de coupon est figé pour toute la vie de l’obligation et ne dit rien de ce que vous payez pour l’obtenir : une ancienne obligation à 4 % et une obligation neuve à 4 % ont le même taux de coupon et des rendements sans rapport si l’une coûte 922,05 et l’autre 1 000. Lisez le rendement à l’échéance comme le rendement que vous obtiendriez réellement en gardant le titre jusqu’au bout et en réinvestissant chaque coupon à ce même taux, et lisez le rendement courant à côté comme le chiffre honnête de la seule année en cours : si les deux sont éloignés, le prix est loin du pair, et l’essentiel de votre rendement vient du retour du prix vers le pair plutôt que des coupons. Le cas qui justifie la page est un prix proche ou supérieur à la somme de tout ce que l’obligation versera un jour — là, le rendement courant ressemble encore à un coupon tandis que le rendement à l’échéance est nul ou négatif.

1. 1 000 de valeur nominale, 4 % de coupon, 10 ans, semestriel, au prix de 922,05

   1. Le coupon vaut 1 000 × 4 % ÷ 2 = 20, versé 20 fois sur les dix ans
   2. À un rendement de 5 %, le taux par période est de 5 % ÷ 2 = 2,5 %
   3. Valeur actuelle des 20 coupons : 20 × (1 − 1,025⁻²⁰) ÷ 0,025 = 311,78
   4. Valeur actuelle de la valeur nominale : 1 000 × 1,025⁻²⁰ = 610,27
   5. Les deux s’additionnent : 311,78 + 610,27 = 922,05, soit exactement le prix saisi, donc le rendement est de 5 %
   6. Rendement courant : les 40 versés chaque année ÷ 922,05 = 4,34 % — les 77,95 de décote que cette obligation rembourse en plus de ses coupons sont précisément ce qu’il laisse de côté

   C’est le cas par défaut de la page du prix d’obligation lu à l’envers, et le parcourir dans ce sens est le contrôle le moins coûteux que les deux pages font bien la même arithmétique : l’autre page a évalué l’obligation à 5 % et trouvé 922,05, celle-ci reçoit 922,05 et rend 5. Notez aussi que les deux rendements diffèrent de 0,66 point sur une obligation dont le prix n’est que 7,8 % sous le pair — l’écart grandit vite quand le prix baisse, ce que l’exemple suivant montre.

2. La même obligation à 728,19 — un rendement de 8 %

   1. Le coupon reste de 20 tous les six mois, le prix est donc la seule chose qui a bougé
   2. À un rendement de 8 %, le taux par période est de 4 %
   3. Valeur actuelle des 20 coupons : 20 × (1 − 1,04⁻²⁰) ÷ 0,04 = 271,8066
   4. Valeur actuelle de la valeur nominale : 1 000 × 1,04⁻²⁰ = 456,3869
   5. Ensemble : 271,8066 + 456,3869 = 728,1935, qui s’arrondit aux 728,19 saisis
   6. Rendement courant : 40 ÷ 728,19 = 5,49 %, contre un rendement à l’échéance de 8 %

   Les 2,51 points qui séparent 5,49 de 8 sont les 271,81 que cette obligation rembourse au-delà de ce qu’elle coûte, et c’est toute la raison pour laquelle une obligation à forte décote ne se juge ni sur son coupon ni sur son rendement courant. Ne lire que le rendement courant ici sous-estime le rendement d’environ un tiers.

3. Une obligation à coupon zéro : 1 000 de valeur nominale, aucun coupon, au prix de 610,27

   1. Mettez le taux de coupon à zéro : l’obligation ne verse rien du tout avant l’échéance
   2. 1 000 × 1,025⁻²⁰ = 610,27, donc à un rendement de 5 % la totalité du prix est la valeur nominale actualisée
   3. Il n’y a aucun coupon à diviser, le rendement courant est donc nul — une obligation à coupon zéro n’a pas de rendement courant au sens utile
   4. Les 389,73 de décote constituent tout le rendement, et ils arrivent d’un coup à l’échéance

   La preuve la plus nette que le rendement n’est ni le coupon ni le rendement courant : cette obligation verse 0 % et rapporte 5, et aucune colonne autre que le rendement à l’échéance ne le dit. C’est aussi ce qui permet à la page de donner un rendement pour une obligation dont le rendement courant ne veut rien dire, ce qui est l’essentiel du travail d’un desk obligataire.

Voici la version propre d’un rendement d’obligation, et un règlement réel est plus compliqué sur quatre points précis. La page évalue une obligation dont le prochain coupon tombe une période pleine plus tard : elle ne traite donc pas le coupon couru, alors qu’entre deux dates de coupon l’acheteur doit au vendeur la part déjà écoulée du coupon en cours, que la facture ajoute au prix affiché. C’est pour cette raison que le prix ici est un prix à coupon couru exclu et non un prix plein. Elle suppose que chaque coupon restant porte sur une période pleine, si bien qu’une obligation dont la première ou la dernière période est incomplète sort de son domaine. Elle traite le taux de coupon comme un taux annuel réparti également sur les périodes de l’année, sans accumuler selon un décompte de jours réel, et ne distingue pas les conventions 30/360 et exact/exact qui gouvernent le règlement effectif. Le rendement à l’échéance qu’elle affiche suppose que chaque coupon est réinvesti à ce même taux jusqu’au terme : c’est la définition retenue, et aussi la réserve d’usage, car réinvestir plus bas donne un rendement réalisé plus faible. La précision de la réponse est bornée par le prix que vous avez saisi — un prix à deux décimales fixe le rendement à environ un millième de point, et un centime de plus le déplace. À l’autre extrémité, un prix supérieur à la somme de tout ce que l’obligation versera n’a aucun rendement positif, et la page le dit au lieu d’imprimer un nombre négatif. Rien ici ne modélise le risque de défaut, la liquidité, la fiscalité, une clause de remboursement anticipé ni un fonds d’amortissement, et aucun montant ne porte de devise : lisez-les dans celle que vous saisissez.

Qu’est-ce que le rendement à l’échéance ?

C’est le taux annuel unique auquel tous les paiements que l’obligation vous doit encore — chaque coupon restant et la valeur nominale à l’échéance — s’actualisent jusqu’au prix qu’elle coûte aujourd’hui. C’est le rendement que vous obtiendriez en achetant à ce prix et en gardant le titre jusqu’au bout, et c’est le seul qui permette de comparer des obligations ayant des coupons et des prix différents. Sur le cas par défaut, une obligation de 1 000 de valeur nominale payant 4 % deux fois par an, à dix ans de l’échéance et au prix de marché de 922,05, le rendement à l’échéance est de 5 %.

Comment calcule-t-on le rendement à l’échéance d’une obligation ?

On écrit l’équation de prix — le prix de marché égale les coupons actualisés plus la valeur nominale actualisée — puis on cherche le taux qui la rend vraie. Cette équation ne se réarrange pas pour isoler le taux dès qu’il reste plus d’une période : la réponse s’obtient en essayant des taux et en resserrant l’intervalle. Pour l’obligation par défaut, 5 % donnent 311,78 de coupons plus 610,27 de valeur nominale, soit 922,05, exactement le prix. En pratique actuarielle française, ce taux porte aussi le nom de taux de rendement actuariel.

Pourquoi le rendement à l’échéance diffère-t-il du rendement courant ?

Parce qu’ils ne mesurent pas la même chose. Le rendement courant est le coupon annuel divisé par le prix, et il s’arrête là : 40 ÷ 922,05 = 4,34 %. Le rendement à l’échéance compte en plus les 77,95 que cette obligation rembourse au-dessus de son prix, répartis sur les dix années jusqu’au terme, d’où les 5 %. L’écart est faible pour une obligation proche du pair et important pour une obligation très en dessous : à un prix de 728,19, le rendement courant est de 5,49 % contre un rendement à l’échéance de 8 %.

Qu’est-ce qu’une obligation à décote ?

Une obligation qui coûte moins que la valeur nominale qu’elle rembourse, ce qui arrive lorsque le rendement exigé par le marché dépasse le taux de coupon qu’elle sert. L’obligation par défaut est une obligation à décote : elle coûte 922,05 et rembourse 1 000, soit une décote de 77,95, et une partie de votre rendement arrive sous forme de cet écart de prix plutôt que de revenu de coupon. Plus la décote est profonde, plus la part du rendement total qui en provient est grande — à 728,19, l’obligation rembourse 271,81 de plus qu’elle ne coûte.

Que signifie un rendement supérieur au taux de coupon ?

Que vous l’achetez sous le pair, et donc que le taux de coupon sous-estime ce que vous allez gagner. Une obligation à 4 % évaluée de façon à rapporter 8 % verse exactement les mêmes 40 par an qu’une obligation à 4 % évaluée de façon à rapporter 4 % ; la différence est que la première coûte 728,19 et rembourse 1 000. Chaque fois que le rendement à l’échéance dépasse le taux de coupon, le prix est nécessairement sous la valeur nominale, et chaque fois qu’il est en dessous, le prix est au-dessus.

Le rendement à l’échéance peut-il être négatif ?

Pas sur cette page, et pas pour une obligation que vous achèteriez. Un rendement négatif signifie payer aujourd’hui plus que l’obligation ne rendra jamais — plus que la valeur nominale augmentée de tous les coupons à venir — et cela existe réellement sur certains marchés souverains, mais cette page ne l’affiche pas. Si vous saisissez un prix de marché supérieur à la somme de tout ce que l’obligation versera, elle s’arrête et le dit plutôt que d’imprimer un taux négatif, car le nombre serait arithmétiquement défini et financièrement trompeur.

Quel rendement faut-il utiliser pour comparer deux obligations ?

Le rendement à l’échéance, parce que c’est le seul qui tienne compte de ce que vous payez. Deux obligations au même taux de coupon de 4 % et à la même échéance ne sont pas le même placement si l’une coûte 922,05 et l’autre 1 000, et le taux de coupon ne peut pas vous le dire. Le rendement courant sert de contrôle sur la part du rendement qui est du cash encaissé cette année plutôt qu’une plus-value de prix — et quand les deux chiffres sont éloignés, cet écart répond à une question qu’il vaut mieux se poser avant d’acheter.

• 31 CFR Part 356, Appendix B — Formulas and Tables : les facteurs de valeur actuelle et la formule de prix que cette page résout à l’envers — Règlement du département du Trésor des États-Unis, via le Code électronique des règlements fédéraux (États-Unis)
• Understanding Pricing and Interest Rates — pourquoi le prix d’un titre évolue en sens inverse de son rendement — Département du Trésor des États-Unis, Bureau du service fiscal (TreasuryDirect), États-Unis
• Current Yield — glossaire Investor.gov (le rapport entre les intérêts payés et le prix de marché, chiffre imprimé à côté du rendement à l’échéance) — Commission des opérations de bourse des États-Unis, Investor.gov (États-Unis)