Calculatrice de prix d’obligation
Résultat
Prix de l’obligation
- Coupon par période
- 20,00
- Rendement courant
- 4,34 %
- Prime ou décote
- -77,95
Une obligation est une promesse de payer : un montant fixe à chaque période jusqu’à l’échéance, puis la valeur nominale qui revient. En calculer le prix n’est donc pas un calcul particulier — c’est la valeur actuelle de ces versements, et c’est pourquoi cette page et la page de valeur actuelle font la même arithmétique, à ceci près que les flux y sont engendrés par les clauses de l’obligation au lieu d’être saisis par vous. Vous entrez la valeur nominale, le taux de coupon annuel, le rendement à l’échéance auquel vous voulez évaluer, les années entières restantes et la fréquence de versement du coupon, et la page renvoie le prix de l’obligation plus trois lectures qui le rendent interprétable. La relation entre prix et rendement est ce qu’il faut retenir : quand le rendement dépasse le taux de coupon, le prix sort en dessous de la valeur nominale, quand les deux sont égaux il tombe exactement sur la valeur nominale, et quand le rendement est inférieur au taux de coupon il passe au-dessus. Une obligation de 1 000 de valeur nominale versant 4 % avec dix ans devant elle et un rendement de 5 % s’évalue à 922,05, soit une décote de 77,95 ; la même obligation évaluée à un rendement de 4 % vaut exactement 1 000. La troisième lecture est le rendement courant, le coupon annuel divisé par le prix que vous payez, soit 4,34 % dans le cas décoté — au-dessus du coupon de 4 %, puisque vous avez acheté le flux de revenus à bon compte. Notez que le coupon affiché est celui d’une période et non d’une année : une obligation semestrielle à 4 % sur 1 000 de valeur nominale verse 20, et la même obligation à coupon annuel afficherait 40.
1 000 de valeur nominale, coupon de 4 %, 10 ans, semestriel, pour sept rendements
| Rendement à l’échéance (%) | Prix de l’obligation | Rendement courant (%) | Prime ou décote |
|---|---|---|---|
| 0 | 1400 | 2.86 | 400 |
| 2 | 1180.46 | 3.39 | 180.46 |
| 3 | 1085.84 | 3.68 | 85.84 |
| 4 | 1000 | 4 | 0 |
| 5 | 922.05 | 4.34 | -77.95 |
| 6 | 851.23 | 4.7 | -148.77 |
| 8 | 728.19 | 5.49 | -271.81 |
L’obligation est identique sur chaque ligne et seul le rendement bouge, ce qui fait de ce tableau l’image nette de la seule relation qui vaut la peine d’être retenue : prix et rendement évoluent en sens inverse. La quatrième ligne est le pivot. Le rendement y vaut 4 %, exactement le taux de coupon, et le prix est de 1 000 avec une prime ou décote nulle — au-dessus de cette ligne l’obligation coûte plus qu’elle ne rembourse, en dessous elle coûte moins, et la décote s’approfondit jusqu’à 271,81 pour un rendement de 8 %. La première ligne est l’autre qui mérite une pause : à un rendement nul rien n’est actualisé, donc le prix est la valeur nominale plus les vingt coupons, exactement 1 400, ce qui est le maximum que l’obligation pourrait jamais valoir. Surveillez aussi la colonne du rendement courant : elle monte à mesure que le prix baisse, parce qu’elle divise les mêmes 40 par an par un nombre de plus en plus petit. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (1180.46 plutôt que 1 180,46), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte — et les milliers ne sont pas groupés (1400 plutôt que 1 400).
Formule
Prix de l’obligation = Σ [ coupon × (1 + i)^−k ] + valeur nominale × (1 + i)^−n (k = 1 … n ; i = rendement ÷ périodes par an ; n = années × périodes par an)
- Valeur nominale
- Le montant remboursé à l’échéance et la base sur laquelle le coupon est calculé, qui doit être supérieur à zéro
- Taux de coupon
- Le taux annuel que l’obligation verse sur sa valeur nominale ; il est réparti également sur les périodes de versement de l’année plutôt que couru au jour le jour
- Rendement à l'échéance
- Le taux annuel auquel vous actualisez chaque versement — le rendement que l’obligation offre au prix qui vous est demandé
- Années jusqu'à l'échéance
- Les années entières restantes ; le nombre de versements est ce nombre multiplié par le nombre de coupons versés chaque année
- Fréquence du coupon
- Le nombre de fois par an que le coupon est versé : annuel, semestriel, trimestriel ou mensuel
- Coupon par période
- Valeur nominale multipliée par le taux de coupon et divisée par le nombre de versements annuels — le montant par période, et non par an
- Rendement courant
- Le coupon annuel divisé par le prix, qui n’est pas le rendement à l’échéance parce qu’il ignore le gain ou la perte à l’échéance
- Prime ou décote
- Le prix moins la valeur nominale : positif quand l’obligation coûte plus qu’elle ne rembourse, négatif quand elle coûte moins
Servez-vous-en pour vérifier un prix qu’on vous a annoncé, pour voir ce qu’une variation du rendement ferait à une obligation que vous détenez déjà, ou pour comprendre pourquoi la même obligation apparaît à deux prix différents à deux endroits. C’est aussi l’arithmétique qui sous-tend un fait qui surprend : le prix d’une obligation que vous détenez déjà évolue en sens inverse de son rendement, de sorte qu’un investisseur qui garde jusqu’à l’échéance est insensible à une hausse des taux tandis que celui qui doit vendre ne l’est pas. Évaluez la même obligation à plusieurs rendements et le schéma devient concret — le tableau de référence ci-dessous promène l’obligation depuis un rendement nul, où elle vaut la valeur nominale plus tous les coupons qu’elle versera jamais, jusqu’au point où le rendement égale le taux de coupon et où le prix est exactement au pair, puis jusqu’à un rendement de 8 % où le prix est nettement en décote.
Exemples détaillés
1 000 de valeur nominale, coupon de 4 %, 10 ans, évaluée à un rendement de 5 %
- Coupon par période : 1 000 × 4 % ÷ 2 = 20
- Périodes : 10 ans × 2 = 20, et le rendement par période est 5 % ÷ 2 = 2,5 %
- Valeur actuelle des 20 coupons : 20 × (1 − 1,025⁻²⁰) ÷ 0,025 = 311,78
- Valeur actuelle de la valeur nominale : 1 000 × 1,025⁻²⁰ = 610,27
- Prix : 311,78 + 610,27 = 922,05, soit une décote de 77,95
- Rendement courant : 40 ÷ 922,05 = 4,34 %
C’est le cas par défaut de la page, et c’est celui où le rendement dépasse le taux de coupon : l’obligation se vend donc en dessous de sa valeur nominale. La décote n’est pas une sanction, c’est le mécanisme qui porte votre rendement des 4 % que verse le coupon aux 5 % que le marché offre : vous payez 922,05 un flux qui vaut 1 000 à l’échéance, et les 77,95 gagnés à la fin comblent la différence. Notez que le coupon affiché vaut 20, soit le montant semestriel, et que le rendement courant de 4,34 % dépasse le taux de coupon de 4 % parce que le prix payé est inférieur au pair.
La même obligation évaluée au pair : rendement égal au taux de coupon
- Coupon par période : 1 000 × 4 % ÷ 2 = 20
- Rendement par période : 4 % ÷ 2 = 2 %
- Valeur actuelle des 20 coupons : 20 × (1 − 1,02⁻²⁰) ÷ 0,02 = 327,03
- Valeur actuelle de la valeur nominale : 1 000 × 1,02⁻²⁰ = 672,97
- Prix : 327,03 + 672,97 = 1 000,00 exactement
Quand le rendement égale le taux de coupon, les deux valeurs actuelles sont forcées de totaliser la valeur nominale, et cette ligne est l’axe autour duquel tout le tableau pivote — au-dessus elle coûte plus qu’elle ne rembourse, en dessous elle coûte moins. C’est aussi la ligne qui montre que le rendement courant n’est pas la même chose que le rendement à l’échéance : les deux valent 4 % ici, mais à tout autre prix ils divergent, parce que le rendement courant ignore le gain ou la perte encaissé au remboursement.
Payer deux fois par an plutôt qu’une change légèrement le prix
- Coupon par période : 1 000 × 4 % ÷ 1 = 40, versé dix fois
- Rendement par période : 5 % ÷ 1 = 5 %
- Valeur actuelle des dix coupons : 40 × (1 − 1,05⁻¹⁰) ÷ 0,05 = 308,87
- Valeur actuelle de la valeur nominale : 1 000 × 1,05⁻¹⁰ = 613,91
- Prix : 308,87 + 613,91 = 922,78, soit une décote de 77,22
Même obligation, même rendement, même échéance, un chiffre changé. Verser le coupon une fois par an au lieu de deux donne 922,78 au lieu de 922,05, parce que l’argent reçu plus tard est actualisé plus loin. L’écart est faible ici, mais la ligne du coupon ne l’est pas : elle affiche 40 contre 20 dans le cas semestriel, et les deux sont le montant par période. C’est le chiffre le plus mal lu de cette page, et c’est pourquoi son libellé le précise.
Limites
C’est la version propre de l’évaluation obligataire, et un règlement réel est plus désordonné de trois façons précises. La page évalue une obligation dont le prochain coupon tombe dans une période pleine, de sorte qu’elle ne traite pas le coupon couru : entre deux dates de coupon, le vendeur a droit à la part du coupon en cours déjà écoulée, et une facture réelle l’ajoute par-dessus le prix annoncé. C’est donc un prix à coupon couru exclu, et non un prix coupon couru inclus. Elle suppose que chaque coupon restant couvre une période pleine, si bien qu’une obligation à première ou dernière période irrégulière, ce qui est courant sur les émissions nouvelles, sort de son périmètre. Elle n’évalue que les obligations à taux fixe : une obligation que l’émetteur peut rembourser par anticipation, ou que vous pouvez lui revendre, a un prix qui dépend de ces options autant que du rendement. Au-delà de cela, le calcul travaille en années entières et en périodes régulièrement espacées plutôt qu’en dates de calendrier réelles, de sorte qu’il ne coïncide pas au centime près avec les conventions de décompte des jours qui régissent les transactions. Il ignore l’impôt sur le coupon et sur la plus-value, il ignore les frais de transaction, et il ne dit rien du risque de crédit — le rendement que vous saisissez est pris comme donné, et une obligation qui pourrait ne pas être remboursée devrait être évaluée à un rendement plus élevé.
Questions fréquentes
- Comment calculer le prix d’une obligation ?
- Actualisez chaque versement que l’obligation fera au rendement à l’échéance, puis additionnez le tout. Pour une obligation de 1 000 de valeur nominale versant 4 % deux fois par an avec dix ans devant elle, évaluée à un rendement de 5 % : les vingt coupons de 20 valent 311,78 aujourd’hui, la valeur nominale de 1 000 en vaut 610,27, et le prix est de 922,05.
- Pourquoi le prix est-il inférieur à la valeur nominale ?
- Parce que le rendement auquel vous évaluez dépasse le taux de coupon que verse l’obligation. Elle ne verse que 4 % de sa valeur nominale, donc personne ne vous en donnera 1 000 quand 5 % est disponible ailleurs ; le prix baisse jusqu’à ce que le coupon plus le gain réalisé à l’échéance totalisent un rendement de 5 %. L’écart entre le prix et la valeur nominale est la décote, et le même mécanisme en sens inverse produit une prime lorsque le taux de coupon dépasse le rendement.
- Quelle différence entre le rendement courant et le rendement à l’échéance ?
- Le rendement courant est le coupon annuel divisé par le prix que vous payez : sur le cas par défaut, c’est 40 divisé par 922,05, soit 4,34 %. Le rendement à l’échéance est le taux que vous gagneriez en gardant l’obligation jusqu’au bout, et il tient compte des 77,95 que vous gagnez quand une obligation payée 922,05 rembourse 1 000. Sur une obligation évaluée au pair les deux sont égaux ; quand l’obligation est en décote, le rendement courant est le plus faible des deux, et il est le plus élevé des deux quand l’obligation est en prime.
- Le coupon affiché est-il par an ou par période ?
- Par période. Une obligation de 1 000 de valeur nominale avec un coupon de 4 % verse 40 par an au total, et ces 40 sont répartis sur le nombre de versements que compte l’année : 20 deux fois par an, 10 quatre fois par an, 40 une fois par an. Le champ de cette page est le montant d’un seul versement, ce qui explique que la même obligation à 4 % affiche 20 dans le cas semestriel et 40 dans le cas annuel.
- Pourquoi la fréquence de versement change-t-elle le prix ?
- Parce que l’argent versé plus tôt peut être replacé plus tôt : une obligation qui vous paie plus vite vaut donc légèrement plus au même rendement. Sur l’obligation par défaut, payer deux fois par an donne 922,05 et payer une fois par an donne 922,78, soit 73 centimes d’écart ; des versements trimestriels puis mensuels ramènent le prix un peu plus bas encore, à 921,68 puis 921,43. L’effet est faible à ces taux mais il grandit avec le coupon et avec la maturité.
- Que se passe-t-il si le rendement à l’échéance est nul ?
- Chaque coefficient d’actualisation vaut 1 et le prix est simplement la somme de tout ce que l’obligation versera jamais : la valeur nominale plus tous les coupons. Sur une obligation de 1 000 de valeur nominale versant 4 % deux fois par an avec dix ans devant elle, cela fait 1 000 plus vingt versements de 20, soit exactement 1 400. Ce cas vaut la peine d’être connu parce que la formule écrite sous forme fermée doit le traiter à part, alors que l’arithmétique de cette page n’en a pas besoin.
Références
- 31 CFR Part 356, Appendix B — Formulas and Tables : les coefficients de valeur actuelle et la formule de prix des bons et obligations du Trésor — Règlement du département du Trésor des États-Unis, via le Code électronique des règlements fédéraux (États-Unis)
- Understanding Pricing and Interest Rates — pourquoi le prix d'un bon ou d'une obligation évolue en sens inverse de son rendement — U.S. Department of the Treasury, Bureau of the Fiscal Service (TreasuryDirect), États-Unis
- Current Yield — glossaire Investor.gov (le rapport entre les intérêts versés sur une obligation et son prix de marché) — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (États-Unis)