Calculatrice de rendement à l’échéance

Cours net pour 100 = Σ (Coupon par période ÷ (1 + y ÷ m)^t) + 100 ÷ (1 + y ÷ m)^(m × n)

Cours net pour 100

Ce que vous payez pour chaque 100 de nominal, coupons courus exclus ; le rendement est le taux qui actualise tous les versements restants jusqu’à exactement ce nombre

Taux de coupon

Le coupon en pourcentage du nominal par an, versé en m fractions égales ; zéro est autorisé et décrit une obligation qui ne paie rien jusqu’à l’échéance

m

Le nombre de coupons versés chaque année (annuel, semestriel, trimestriel ou mensuel) ; la même obligation affichée à deux fréquences, ce sont deux rendements différents

n

Le nombre d’années restantes jusqu’au remboursement du nominal, en nombre entier, si bien que le nombre de versements restants est m × n

y

Le rendement à l’échéance : le taux annuel nominal, composé m fois par an, qui résout l’équation — c’est la convention qu’affichent les salles de marché

Rendement annuel effectif

Le même taux reformulé en un seul facteur annuel, (1 + y ÷ m)^m − 1 ; il est toujours supérieur à y dès que m dépasse un, et l’écart est la capitalisation

Rendement courant

Une année de coupons divisée par le cours net, sans tenir compte du gain ou de la perte au retour vers le nominal — ce qui explique précisément qu’il diffère du rendement à l’échéance sur toute obligation qui ne cote pas au pair

Servez-vous-en pour comparer sur une même échelle des obligations de coupons et de maturités différents, ce à quoi sert le rendement affiché : une obligation à 2 % de coupon cotée 92 et une obligation à 8 % de coupon cotée au pair peuvent se classer par ce nombre alors qu’elles ne se classent pas par leur coupon. Servez-vous-en pour vérifier un prix qu’on vous a annoncé, ou pour voir ce qu’un prix implique du taux que le marché exige. C’est le mauvais outil à trois endroits. Il suppose que vous conservez l’obligation jusqu’à l’échéance et que chaque coupon est réinvesti au même taux, ce qu’aucun marché ne promet — une obligation détenue pendant une baisse des taux rapportera moins que ce que son rendement à l’échéance annonçait. C’est un taux nominal composé à la fréquence du coupon, donc une obligation semestrielle et une obligation mensuelle affichées au même rendement ne paient pas la même chose sur une année ; c’est à cela que sert le rendement annuel effectif placé à côté. Et il ne dit rien du risque de crédit : un rendement nettement au-dessus de la courbe souveraine de même maturité, c’est le marché qui chiffre une vraie probabilité de ne pas être remboursé.

1. Une obligation à 4 % sur dix ans à 92,205 pour 100

   1. Coupons par an : 4,00 pour 100 de nominal, versés en 2,00 deux fois par an, donc 20 versements de 2,00
   2. Cherchez le taux qui actualise 20 versements de 2,00 plus 100 à la fin jusqu’à 92,205 : 2,5 % par semestre
   3. Affichez-le comme le font les salles de marché, en doublant le taux semestriel : 5,000 % par an
   4. Reformulez-le en un facteur annuel : 1,025 × 1,025 − 1 = 5,0626 % effectif
   5. Rendement courant, qui ignore la remontée vers le pair : 4,00 ÷ 92,205 = 4,34 %

   C’est le cas par défaut de la page, et les deux dernières lignes en sont tout l’objet. Le 5,000 % affiché et le 5,0626 % sont le même taux écrit sous deux conventions, et le second est ce que l’argent fait réellement sur une année — 0,0626 n’est pas un arrondi, c’est la capitalisation semestrielle. Le rendement courant de 4,34 % est le plus petit des trois et celui qu’on cite le plus souvent dans un journal, parce que c’est le seul qu’on puisse calculer de tête ; c’est aussi le seul qui ne remarque pas que vous achetez l’obligation 7,795 en dessous du nominal et qu’elle vous sera remboursée à 100.

2. Une obligation à coupon zéro à 61,027 rapporte 5 % et un rendement courant nul

   1. Le taux de coupon est nul, donc chaque coupon de l’équation vaut 0,00 et seul le 100 à l’échéance subsiste
   2. 100 ÷ 1,025^20 = 100 ÷ 1,638616 = 61,027
   3. Affichez-le comme le font les salles de marché : 2,5 % par semestre, doublé à 5,000 % par an
   4. Reformulez-le en un facteur annuel : 1,025 × 1,025 − 1 = 5,0625 % effectif
   5. Rendement courant : 0,00 ÷ 61,027 = 0,00 %

   Une obligation à coupon zéro est le cas où les deux conventions se séparent le plus nettement, parce qu’il n’y a aucun coupon pour brouiller l’arithmétique : le rendement entier est l’écart de 38,973 entre le prix et le nominal, et il arrive d’un seul coup. Le rendement affiché est 5,000 % et le rendement annuel effectif 5,0625 %, et la différence entre les deux est la totalité de la capitalisation. Le rendement courant est exactement nul — un lecteur qui filtre les obligations sur le rendement courant ne verra jamais celle-ci, ce qui est l’argument le plus clair pour ne pas filtrer ainsi.

3. Un cours à une décimale : 95,5 donne 4,566 %

   1. Coupons : 20 versements de 2,00, avec 100 remboursés à la fin
   2. Résolvez le taux semestriel qui actualise ce flux jusqu’à 95,5 : 2,2828 % par semestre
   3. Doublez-le pour le rendement affiché, imprimé à trois décimales : 4,566 % par an
   4. Rendement annuel effectif : 1,022828 × 1,022828 − 1 = 4,6177 %
   5. Rendement courant : 4,00 ÷ 95,5 = 4,19 %

   Les prix du marché sont affichés à une fraction de point, pas en nombres entiers, et le rendement qui en ressort n’est presque jamais un chiffre rond — c’est pourquoi cette page imprime trois décimales pour le rendement affiché et quatre pour le rendement effectif. Les trois chiffres gardent malgré tout leur ordre : le rendement annuel effectif est au-dessus du rendement affiché, et le rendement courant en dessous des deux, parce qu’à 95,5 l’obligation s’achète encore à un prix inférieur au nominal et que les 4,5 de remontée vers le pair appartiennent à qui la détient jusqu’au bout.

Trois choses que ce nombre n’est pas. Ce n’est pas une promesse : le rendement à l’échéance suppose que chaque coupon est réinvesti au même taux jusqu’à l’échéance, et si les taux baissent entre-temps vous gagnerez moins que ce qu’il annonçait — cet écart s’appelle le risque de réinvestissement et aucun rendement affiché ne peut le faire disparaître. C’est un taux nominal composé à la fréquence du coupon, donc il n’est pas comparable entre des obligations qui paient à des fréquences différentes tant que vous ne regardez pas le rendement annuel effectif placé à côté. Et il utilise le cours net, coupons courus exclus, ce qui est correct pour valoriser une obligation entre deux dates de coupon mais signifie que le prix affiché ici n’est pas la somme que vous décaissez. Le rendement courant placé à côté est une mesure plus simple avec un angle mort précis : comme il ignore l’écart entre le prix et le nominal, il sous-estime le rendement d’une obligation achetée en dessous du pair et surestime celui d’une obligation achetée au-dessus, et sur une obligation à coupon zéro il vaut zéro quelle que soit ce que l’obligation rapporte. Enfin, rien ici ne connaît le risque de crédit, la fiscalité ni les clauses de remboursement anticipé ; une obligation qui peut être remboursée par anticipation n’atteindra peut-être jamais l’échéance que cette page suppose.

Comment calcule-t-on le rendement à l’échéance ?

C’est le taux qui actualise tous les versements restants — chaque coupon et le nominal à la fin — jusqu’au prix que vous payez. Aucun réarrangement de la formule ne le donne directement, on le trouve donc par recherche : essayez un taux, valorisez l’obligation à ce taux, et resserrez l’intervalle jusqu’à ce que le prix corresponde. Sur une obligation à 4 % sur dix ans à 92,205 pour 100, payée deux fois par an, la réponse est 2,5 % par semestre, affiché 5,000 % par an.

Pourquoi le cours net pour 100 de nominal plutôt qu’un montant en valeur absolue ?

Parce que la valeur nominale s’élimine de l’équation, si bien qu’un cours pour 100 rend deux obligations différentes comparables d’un coup d’œil et supprime un champ qui ne pourrait jamais être rempli que de travers. Une obligation à 92,205 vaut 92,205 % du nominal, que ce nominal soit de 100 ou de 1 000 000. Saisir à la place le prix en valeur absolue — 922,05 pour la même obligation — ne produit pas de message d’erreur ; cela produit un rendement négatif, parce que l’arithmétique vous oblige à rendre le 100 que l’équation suppose.

Quelle différence entre le rendement à l’échéance et le rendement annuel effectif ?

Deux conventions pour écrire le même taux. Le rendement à l’échéance affiché est nominal : c’est le taux par période multiplié par le nombre de périodes, donc 2,5 % deux fois par an s’écrit 5,000 %. Le rendement annuel effectif le reformule comme le facteur de croissance sur une année pleine, 1,025 × 1,025 − 1 = 5,0626 %, qui est ce que l’argent fait réellement. Ils ne sont égaux que lorsque le coupon est versé une fois par an. Sur des versements trimestriels, les mêmes 5,000 % affichés valent 5,0945 % effectifs, et sur des versements mensuels 5,1162 % — plus les intérêts se composent souvent, plus l’écart est large.

Pourquoi le rendement courant diffère-t-il du rendement à l’échéance ?

Parce que le rendement courant ne compte que les coupons. C’est une année de coupons divisée par le prix, et il ne dit rien du fait qu’une obligation achetée sous le nominal sera remboursée au nominal, qui est une part réelle du rendement. Dans l’exemple par défaut, le coupon est de 4,00 pour un cours de 92,205, donc le rendement courant est 4,34 %, tandis que le rendement à l’échéance est 5,000 % — les 0,66 point manquants sont les 7,795 de remontée vers le pair, étalés sur dix ans. Sur une obligation cotée exactement à 100 les deux concordent, et sur une obligation à coupon zéro le rendement courant est nul quelle que soit ce que l’obligation rapporte.

La fréquence des coupons change-t-elle la réponse ?

Elle change le nombre affiché même quand l’obligation vaut exactement la même chose. Dix ans de coupons à 4 % font 40,00 pour 100 au total quelle que soit la façon dont ils sont versés, mais l’actualisation diffère : la même obligation valorisée pour rapporter 5 % par an coûte 92,278 avec des versements annuels, 92,168 en trimestriel et 92,143 en mensuel. Deux raisons. Le taux nominal affiché est un taux par période multiplié par le nombre de périodes, donc le même rendement effectif s’écrit avec un nombre nominal plus grand à mesure que la capitalisation est plus fréquente. Et des versements qui arrivent plus tôt valent plus, donc une obligation mensuelle vaut légèrement plus qu’une annuelle au même taux affiché.

Que signifie un rendement à l’échéance supérieur au taux de coupon ?

Que l’obligation cote en dessous du nominal, donc qu’une partie de votre rendement est le gain réalisé lorsqu’elle est remboursée à 100. Dans l’exemple par défaut, le coupon est de 4 % et le rendement de 5,000 % parce que le cours est 92,205. L’inverse est vrai aussi : une obligation cotée au-dessus du nominal rapporte moins que son coupon, parce que vous encaissez une perte au retour vers le pair. Le cas extrême est la première ligne du tableau de référence, où un cours de 140 pour 100 est exactement la somme de tous les versements restants sans aucune actualisation — le rendement est de 0 %, et tout cours supérieur n’a aucune réponse positive ou nulle.

• Understanding Pricing and Interest Rates — why a note or bond sells at a discount or a premium, and what the quoted yield means — U.S. Department of the Treasury, Bureau of the Fiscal Service (TreasuryDirect), United States
• Yield — Investor.gov glossary, for the rate a bond's payments imply at a given price — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)
• Bonds — Investor.gov glossary, for the coupon, the face value and the maturity date that the equation is built out of — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)
• 31 CFR Part 356, Appendix B — Formulas and Tables: the present value formula the Treasury uses to price its own notes and bonds from a yield — U.S. Department of the Treasury rule, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)