¿Cómo se calcula la tasa interna de retorno de un bono?

Es el tipo que descuenta todos los pagos que quedan —cada cupón y el valor nominal al final— hasta el precio que estás pagando. No hay forma de despejarlo de la fórmula, así que se busca: se prueba un tipo, se pone precio al bono con él y se estrecha el intervalo hasta que el precio cuadre. En un bono a diez años con un cupón del 4 % a 92,205 por 100, pagado dos veces al año, la respuesta es un 2,5 % por semestre, que se cotiza como 5,000 % al año.

¿Por qué el precio es por 100 de nominal y no un importe?

Porque el valor nominal se cancela en la ecuación, así que cotizar por 100 hace comparables dos bonos distintos de un vistazo y elimina un campo que solo se podría rellenar mal. Un bono a 92,205 está al 92,205 % de su valor nominal tanto si el nominal es 100 como si es un millón. Escribir en su lugar el precio en dinero —922,05 para el mismo bono— no da un mensaje de error: da un rendimiento por debajo de cero, porque la aritmética te obliga a devolver el 100 que la ecuación da por supuesto.

¿Qué diferencia hay entre la TIR y la rentabilidad anual efectiva?

Dos convenios para escribir el mismo tipo. La TIR que se cotiza es nominal: es el tipo por periodo multiplicado por el número de periodos, así que un 2,5 % dos veces al año se escribe 5,000 %. La rentabilidad anual efectiva lo reescribe como el factor de crecimiento de un año completo, 1,025 × 1,025 − 1 = 5,0626 %, que es lo que el dinero hace de verdad. Coinciden solo cuando el cupón se paga una vez al año. Con pagos trimestrales ese mismo 5,000 % cotizado es 5,0946 % efectivo, y con pagos mensuales 5,1162 %: cuanto más a menudo capitaliza, más ancha es esa distancia.

¿Por qué la rentabilidad corriente es distinta de la TIR?

Porque la rentabilidad corriente solo cuenta los cupones. Es un año de cupones dividido entre el precio, y no dice nada del hecho de que un bono comprado por debajo del valor nominal se va a devolver al valor nominal, que es una parte real del retorno. En el caso por defecto el cupón es 4,00 contra un precio de 92,205, así que la rentabilidad corriente es 4,34 %, mientras que la TIR es 5,000 %: los 0,66 puntos que faltan son los 7,795 de vuelta a la par, repartidos entre diez años. En un bono que cotiza exactamente a 100 las dos coinciden, y en un bono cupón cero la rentabilidad corriente es cero gane lo que gane el bono.

¿La frecuencia del cupón cambia el resultado?

Cambia el número que se cotiza aunque el bono valga exactamente lo mismo. Diez años de cupones del 4 % son 40,00 por cada 100 en total se paguen como se paguen, pero el descuento es distinto: el mismo bono puesto a un rendimiento del 5 % al año cuesta 92,278 con pagos anuales, 92,168 con trimestrales y 92,143 con mensuales. Por dos razones. La cotización nominal es el tipo por periodo multiplicado por los periodos, así que el mismo retorno efectivo se escribe como un número nominal mayor cuanto más a menudo capitaliza. Y los pagos que llegan antes valen más, así que un bono mensual vale algo más que uno anual al mismo tipo cotizado.

¿Qué significa una TIR por encima del cupón?

Que el bono está cotizando por debajo del valor nominal, así que parte de tu retorno es la ganancia que realizas cuando te lo devuelven a 100. En el caso por defecto el cupón es del 4 % y la TIR es 5,000 % porque el precio es 92,205. Lo contrario también se cumple: un bono que cotiza por encima del valor nominal rinde menos que su cupón, porque pierdes algo mientras vuelve a la par. El caso extremo es la primera fila de la tabla de abajo, donde un precio de 140 por 100 es exactamente la suma de todos los pagos que quedan sin descuento ninguno: la TIR es 0 %, y cualquier precio por encima no tiene solución no negativa.

Calculadora de TIR de un bono

Resultado

5,000 %

Rentabilidad al vencimiento

Rentabilidad anual efectiva (%): 5,0626 %
Rentabilidad corriente: 4,34 %
Cupones totales por cada 100 de nominal: 40,00

La tasa interna de retorno de un bono, es decir, el rendimiento hasta el vencimiento, es el único tipo que hace que todo lo que un bono te va a pagar —cada cupón y el valor nominal al final— sume exactamente el precio que pagas hoy por él. Esta página toma ese precio tal y como lo imprimen las mesas de bonos, por 100 de nominal, así que el valor nominal no hay que escribirlo nunca y por tanto no se puede escribir mal. Al lado de la TIR la página imprime la rentabilidad anual efectiva, que es lo que rinde de verdad un año capitalizado dos veces; las dos se llaman rentabilidad y no son el mismo número, así que la página te muestra los dos para que la distancia quede a la vista. También imprime la rentabilidad corriente, que es el cupón dividido entre el precio y nada más. Un bono comprado por debajo del valor nominal rinde más que su cupón, porque la vuelta al valor nominal forma parte del retorno, y solo la TIR lo cuenta. El precio que se escribe aquí es el precio limpio, sin el cupón corrido, que es lo correcto para valorar un bono entre dos fechas de cupón y también la razón de que esta cifra no sea el efectivo que entregas. Ojo con la unidad: un bono que cotiza a 92,205 es el mismo que la página hermana cotiza a 922,05 sobre un nominal de 1000, y escribir aquí el segundo número no da un error, da un rendimiento sin sentido con una página que se ve perfectamente normal.

Un mismo bono a siete precios, de 140 por 100 hasta 72,819

Precio limpio por 100 de nominal	Rentabilidad al vencimiento (%)	Rentabilidad anual efectiva (%)	Rentabilidad corriente (%)
140	0	0	2.86
118.046	2	2.01	3.39
108.584	3	3.0225	3.68
100	4	4.04	4
92.205	5	5.0626	4.34
85.123	6	6.0899	4.7
72.819	8	8.1601	5.49

Un solo bono en toda la tabla —cupón del 4 %, diez años por delante, pagado dos veces al año—, así que lo único que se mueve es lo que pagas por él, y leer una columna de arriba abajo es leer cuánto vale un precio. La fila central es el eje: a exactamente 100 por 100 la TIR y el cupón coinciden en el 4 %, porque no queda ninguna ganancia ni pérdida que contabilizar. Por encima el bono cotiza con prima y el rendimiento cae por debajo del cupón; por debajo cotiza con descuento y el rendimiento sube por encima. La primera fila es la frontera de todo el cálculo: 140 es precisamente la suma de los veinte cupones de 2,00 más los 100 del vencimiento sin descuento alguno, así que la TIR es 0 %; un céntimo más y el bono no tiene ninguna TIR no negativa, y ahí la página lo que hace es negarse a contestar en lugar de devolver un número. Compara las dos primeras columnas mientras bajas: la rentabilidad anual efectiva está siempre por encima de la TIR y la distancia se ensancha a medida que el rendimiento sube, porque esa distancia es el término de segundo orden de la capitalización y no un redondeo. La última columna es la que se comporta distinto: también se mueve con el precio, pero nunca alcanza a la TIR en este bono, porque no sabe que los 100 están por llegar.

Fórmula

Precio limpio por 100 de nominal = Σ (Cupón por periodo ÷ (1 + y ÷ m)^t) + 100 ÷ (1 + y ÷ m)^(m × n); Rentabilidad anual efectiva = (1 + y ÷ m)^m − 1; Rentabilidad corriente = Cupón por periodo × m ÷ Precio limpio por 100 de nominal

Precio limpio por 100 de nominal: Lo que pagas por cada 100 de valor nominal, sin contar el cupón corrido; la TIR es el tipo que descuenta cada pago pendiente hasta exactamente este número
Cupón por periodo: El cupón como porcentaje del valor nominal al año, pagado en m plazos iguales; el cero está permitido y describe un bono que no paga nada hasta el vencimiento
m: Cuántos cupones llegan cada año (anual, semestral, trimestral o mensual); el mismo bono cotizado a dos frecuencias son dos rendimientos distintos
n: Años que quedan hasta que se devuelva el valor nominal, como número entero, así que los pagos pendientes son m × n
y: La tasa interna de retorno: el tipo nominal anual, capitalizado m veces al año, que resuelve la ecuación y que es el convenio con el que cotizan las mesas de bonos; el panel lo etiqueta como rentabilidad al vencimiento
Rentabilidad anual efectiva: El mismo tipo reescrito como un solo factor anual, (1 + y ÷ m)^m − 1; siempre está por encima de y en cuanto m es mayor que uno, y la distancia es la capitalización
Rentabilidad corriente: Un año de cupones dividido entre el precio limpio, ignorando la ganancia o la pérdida al volver al valor nominal —que es exactamente por lo que discrepa de la TIR en cualquier bono que no cotice a la par—

Úsala para comparar bonos de cupones distintos y vencimientos distintos en una sola escala, que es para lo que sirve el rendimiento que se cotiza: un bono con un cupón del 2 % a 92 y otro con un cupón del 8 % a la par se pueden ordenar por este número cuando por su cupón no se pueden ordenar. Úsala para comprobar un precio que te han dado, o para ver qué implica un precio sobre el tipo que está pidiendo el mercado. Es la herramienta equivocada en tres sitios. Supone que aguantas hasta el vencimiento y que reinviertes cada cupón al mismo tipo, que es una promesa que ningún mercado hace: un bono mantenido mientras los tipos bajan rendirá menos de lo que decía su TIR. Es un tipo nominal capitalizado a la frecuencia del cupón, así que un bono semestral y uno mensual cotizados con la misma TIR no están pagando lo mismo al año; para eso está la rentabilidad anual efectiva que va al lado. Y no dice nada del crédito: una TIR muy por encima de la curva de deuda pública del mismo vencimiento es el mercado poniendo precio a una probabilidad real de no cobrar.

Ejemplos resueltos

Un bono a diez años con un cupón del 4 % a 92,205 por 100
1. Cupones por año: 4,00 por cada 100 de nominal, pagados como 2,00 dos veces al año, es decir 20 pagos de 2,00
2. Busca el tipo que descuenta 20 pagos de 2,00 más 100 al final hasta 92,205: un 2,5 % por semestre
3. Exprésalo como lo hacen las mesas de bonos, doblando el tipo semestral: 5,000 % al año
4. Reescríbelo como un solo factor anual: 1,025 × 1,025 − 1 = 5,0626 % efectivo
5. Rentabilidad corriente, que ignora la vuelta a la par: 4,00 ÷ 92,205 = 4,34 %
Es el caso por defecto de la página, y las dos últimas líneas son su sentido. La TIR del 5,000 % y el 5,0626 % son el mismo tipo escrito bajo dos convenios, y el segundo es lo que el dinero hace de verdad a lo largo de un año: 0,0626 no es un redondeo, es la capitalización semestral. La rentabilidad corriente del 4,34 % es la más pequeña de las tres y la que más se cita en un periódico, porque es la única que se puede calcular de cabeza; también es la única que no se da cuenta de que estás comprando el bono 7,795 puntos por debajo del valor nominal y que te lo van a devolver a 100.
Un bono cupón cero a 61,027 paga un 5 % y una rentabilidad corriente del 0 %
1. El cupón es cero, así que todos los cupones de la ecuación valen 0,00 y solo queda el 100 del vencimiento
2. 100 ÷ 1,025^20 = 100 ÷ 1,638616 = 61,027
3. Exprésalo como lo hacen las mesas de bonos: un 2,5 % por semestre, doblado a 5,000 % al año
4. Reescríbelo como un solo factor anual: 1,025 × 1,025 − 1 = 5,0625 % efectivo
5. Rentabilidad corriente: 0,00 ÷ 61,027 = 0,00 %
Un bono cupón cero es donde los dos convenios se separan con más limpieza, porque no hay cupón que enturbie la aritmética: el retorno entero son los 38,973 que hay entre el precio y el valor nominal, y llegan de golpe. La TIR es 5,000 % y la rentabilidad anual efectiva es 5,0625 %, y la diferencia entre las dos es toda la capitalización. La rentabilidad corriente es exactamente cero: un lector que filtre bonos por rentabilidad corriente no verá nunca este, que es el argumento más claro para no filtrar por ella.
Un precio con un decimal: 95,5 da un 4,566 %
1. Cupones: 20 pagos de 2,00, con 100 devueltos al final
2. Resuelve el tipo semestral que descuenta esa corriente hasta 95,5: un 2,2831 % por semestre
3. Dóblalo para la TIR y se imprime con tres decimales: 4,566 % al año
4. Rentabilidad anual efectiva: 1,022831 × 1,022831 − 1 = 4,6177 %
5. Rentabilidad corriente: 4,00 ÷ 95,5 = 4,19 %
Los precios en el mercado se cotizan con fracciones de punto, no con números redondos, y el rendimiento que sale casi nunca es una cifra redonda, así que esta página imprime tres decimales para la TIR y cuatro para la efectiva. Las tres cifras mantienen su orden: la rentabilidad anual efectiva está por encima de la TIR, y la rentabilidad corriente por debajo de las dos, porque a 95,5 el bono se sigue comprando con descuento y los 4,5 puntos de vuelta a la par son de quien lo aguante hasta el final.

Limitaciones

Tres cosas que este número no es. No es una promesa: la TIR supone que cada cupón se reinvierte al mismo tipo hasta el vencimiento, y si los tipos bajan por el camino vas a ganar menos de lo que decía —esa distancia se llama riesgo de reinversión y ninguna cotización de rendimiento puede quitarla de en medio—. Es un tipo nominal capitalizado a la frecuencia del cupón, así que no es comparable entre bonos que pagan con frecuencias distintas hasta que miras la rentabilidad anual efectiva que va al lado. Y usa el precio limpio, sin el cupón corrido, lo que es correcto para valorar un bono entre dos fechas de cupón pero significa que el precio de aquí no es el efectivo que entregas. La rentabilidad corriente que va al lado es una medida más simple con un punto ciego concreto: como ignora la diferencia entre el precio y el valor nominal, se queda corta en un bono con descuento y se pasa en uno comprado con prima, y en un bono cupón cero es cero por mucho que el bono gane. Por último, aquí no hay nada sobre riesgo de crédito, impuestos ni cláusulas de amortización anticipada; un bono que se puede rescatar antes puede no llegar nunca al vencimiento que esta página da por supuesto.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula la tasa interna de retorno de un bono?: Es el tipo que descuenta todos los pagos que quedan —cada cupón y el valor nominal al final— hasta el precio que estás pagando. No hay forma de despejarlo de la fórmula, así que se busca: se prueba un tipo, se pone precio al bono con él y se estrecha el intervalo hasta que el precio cuadre. En un bono a diez años con un cupón del 4 % a 92,205 por 100, pagado dos veces al año, la respuesta es un 2,5 % por semestre, que se cotiza como 5,000 % al año.
¿Por qué el precio es por 100 de nominal y no un importe?: Porque el valor nominal se cancela en la ecuación, así que cotizar por 100 hace comparables dos bonos distintos de un vistazo y elimina un campo que solo se podría rellenar mal. Un bono a 92,205 está al 92,205 % de su valor nominal tanto si el nominal es 100 como si es un millón. Escribir en su lugar el precio en dinero —922,05 para el mismo bono— no da un mensaje de error: da un rendimiento por debajo de cero, porque la aritmética te obliga a devolver el 100 que la ecuación da por supuesto.
¿Qué diferencia hay entre la TIR y la rentabilidad anual efectiva?: Dos convenios para escribir el mismo tipo. La TIR que se cotiza es nominal: es el tipo por periodo multiplicado por el número de periodos, así que un 2,5 % dos veces al año se escribe 5,000 %. La rentabilidad anual efectiva lo reescribe como el factor de crecimiento de un año completo, 1,025 × 1,025 − 1 = 5,0626 %, que es lo que el dinero hace de verdad. Coinciden solo cuando el cupón se paga una vez al año. Con pagos trimestrales ese mismo 5,000 % cotizado es 5,0946 % efectivo, y con pagos mensuales 5,1162 %: cuanto más a menudo capitaliza, más ancha es esa distancia.
¿Por qué la rentabilidad corriente es distinta de la TIR?: Porque la rentabilidad corriente solo cuenta los cupones. Es un año de cupones dividido entre el precio, y no dice nada del hecho de que un bono comprado por debajo del valor nominal se va a devolver al valor nominal, que es una parte real del retorno. En el caso por defecto el cupón es 4,00 contra un precio de 92,205, así que la rentabilidad corriente es 4,34 %, mientras que la TIR es 5,000 %: los 0,66 puntos que faltan son los 7,795 de vuelta a la par, repartidos entre diez años. En un bono que cotiza exactamente a 100 las dos coinciden, y en un bono cupón cero la rentabilidad corriente es cero gane lo que gane el bono.
¿La frecuencia del cupón cambia el resultado?: Cambia el número que se cotiza aunque el bono valga exactamente lo mismo. Diez años de cupones del 4 % son 40,00 por cada 100 en total se paguen como se paguen, pero el descuento es distinto: el mismo bono puesto a un rendimiento del 5 % al año cuesta 92,278 con pagos anuales, 92,168 con trimestrales y 92,143 con mensuales. Por dos razones. La cotización nominal es el tipo por periodo multiplicado por los periodos, así que el mismo retorno efectivo se escribe como un número nominal mayor cuanto más a menudo capitaliza. Y los pagos que llegan antes valen más, así que un bono mensual vale algo más que uno anual al mismo tipo cotizado.
¿Qué significa una TIR por encima del cupón?: Que el bono está cotizando por debajo del valor nominal, así que parte de tu retorno es la ganancia que realizas cuando te lo devuelven a 100. En el caso por defecto el cupón es del 4 % y la TIR es 5,000 % porque el precio es 92,205. Lo contrario también se cumple: un bono que cotiza por encima del valor nominal rinde menos que su cupón, porque pierdes algo mientras vuelve a la par. El caso extremo es la primera fila de la tabla de abajo, donde un precio de 140 por 100 es exactamente la suma de todos los pagos que quedan sin descuento ninguno: la TIR es 0 %, y cualquier precio por encima no tiene solución no negativa.

Referencias

Understanding Pricing and Interest Rates — por qué una nota o un bono se vende con descuento o con prima, y qué significa el rendimiento que se cotiza — U.S. Department of the Treasury, Bureau of the Fiscal Service (TreasuryDirect), United States
Yield — Investor.gov glossary, para el tipo que implican los pagos de un bono a un precio dado — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)
Bonds — Investor.gov glossary, para el cupón, el valor nominal y la fecha de vencimiento con los que está construida la ecuación — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)
31 CFR Part 356, Appendix B — Formulas and Tables: la fórmula de valor actual con la que el Tesoro pone precio a sus propias notas y bonos a partir de un rendimiento — U.S. Department of the Treasury rule, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)

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