¿Cómo se calcula el precio de un bono?

Se descuenta cada pago que el bono va a hacer hasta hoy a la TIR de la emisión y se suman todos. Para un bono con un valor nominal de 1000 que paga el 4 % dos veces al año y al que le quedan diez años, valorado a una TIR del 5 %: los veinte cupones de 20 valen hoy 311,78, el valor nominal de 1000 vale 610,27, y el precio es 922,05.

¿Por qué el precio está por debajo del valor nominal?

Porque la TIR a la que valoras está por encima de la tasa del cupón que paga el bono. El bono solo paga un 4 % sobre su valor nominal, así que nadie te dará 1000 por él cuando en otro sitio hay un 5 % disponible; el precio baja hasta que el cupón más la ganancia que realizas al vencimiento suman un rendimiento del 5 %. La diferencia entre el precio y el valor nominal es el descuento, y el mismo mecanismo al revés produce una prima cuando la tasa del cupón está por encima del rendimiento.

¿Qué diferencia hay entre la rentabilidad corriente y la TIR?

La rentabilidad corriente es el cupón anual dividido entre el precio que pagas, así que en el caso por defecto es 40 dividido entre 922,05, o sea un 4,34 %. La TIR es la tasa que ganarías si mantuvieras el bono hasta el final, y tiene en cuenta los 77,95 que ganas cuando un bono comprado a 922,05 devuelve 1000. En un bono valorado a la par las dos coinciden; cuando el bono está con descuento la rentabilidad corriente es la menor de las dos, y es la mayor cuando el bono está con prima.

¿El cupón que se muestra es por año o por periodo?

Por periodo. Un bono con un valor nominal de 1000 y un cupón del 4 % paga 40 al año en total, y esos 40 se reparten entre los pagos que tenga el año: 20 dos veces al año, 10 cuatro veces al año, 40 una vez al año. El campo de esta página es el importe de un solo pago, y por eso el mismo bono del 4 % muestra 20 en el caso semestral y 40 en el anual.

¿Por qué la frecuencia de pago cambia el precio?

Porque el dinero que se cobra antes se puede reinvertir antes, así que un bono que te paga antes vale un poco más con el mismo rendimiento. En el bono por defecto, pagar dos veces al año da 922,05 y pagar una vez al año da 922,78, una diferencia de 0,73; los pagos trimestrales y mensuales vuelven a bajar un poco el precio, hasta 921,68 y 921,43. El efecto es pequeño con estas tasas, pero crece con el cupón y con el plazo.

¿Qué pasa si la TIR es cero?

Todos los factores de descuento se vuelven 1 y el precio es simplemente la suma de todo lo que el bono va a pagar: el valor nominal más todos los cupones. En un bono con un valor nominal de 1000 que paga el 4 % dos veces al año y al que le quedan diez años, eso es 1000 más veinte pagos de 20, exactamente 1400. Merece la pena conocer este caso porque la fórmula escrita en forma cerrada tiene que tratarlo aparte, y la aritmética de esta página no necesita hacerlo.

Calculadora de precio de bono

Resultado

922,05

Precio del bono

Cupón por periodo: 20,00
Rentabilidad corriente: 4,34 %
Prima o descuento: -77,95

Un bono es una promesa de pago: un importe fijo cada periodo hasta el vencimiento y, en ese momento, la devolución del valor nominal. Ponerle precio no es por tanto un cálculo aparte: es el valor actual de esos pagos, y por eso esta página y la de valor actual son la misma aritmética con los flujos de caja generados por las condiciones del bono en lugar de escritos por ti. Escribes el valor nominal, la tasa del cupón anual, la tasa interna de retorno (TIR) de la emisión a la que quieres valorarlo, los años enteros que quedan y con qué frecuencia se paga el cupón, y la página devuelve el precio más tres lecturas que lo hacen interpretable. La relación entre precio y rendimiento es lo que hay que retener: cuando la TIR está por encima de la tasa del cupón el precio sale por debajo del valor nominal, cuando las dos coinciden sale exactamente en el valor nominal, y cuando la TIR está por debajo de la tasa del cupón sale por encima. Un bono de 1000 que paga un 4 % con diez años por delante valorado a una TIR del 5 % sale a 922,05, que es un descuento de 77,95; ese mismo bono valorado a una TIR del 4 % vale exactamente 1000. La tercera lectura es la rentabilidad corriente, el cupón anual dividido entre el precio que pagas por él, que en el caso con descuento es 4,34 %, por encima del 4 % del cupón porque compraste la corriente de ingresos barata. Fíjate en que el cupón por periodo que se muestra no es el cupón anual, así que un bono del 4 % semestral sobre un valor nominal de 1000 paga 20, mientras que ese mismo bono pagando anualmente mostraría 40.

Valor nominal de 1000, cupón del 4 %, 10 años, semestral, a siete rendimientos

TIR (%)	Precio del bono	Rentabilidad corriente (%)	Prima o descuento
0	1400	2.86	400
2	1180.46	3.39	180.46
3	1085.84	3.68	85.84
4	1000	4	0
5	922.05	4.34	-77.95
6	851.23	4.7	-148.77
8	728.19	5.49	-271.81

El bono es idéntico en todas las filas y lo único que se mueve es la TIR, lo que convierte esta tabla en una imagen limpia de la única relación que merece la pena recordar: precio y rendimiento se mueven en sentidos opuestos. La cuarta fila es la bisagra. Ahí la TIR es del 4 %, exactamente la tasa del cupón, y el precio es 1000,00 con una prima o descuento de cero: por encima de esa fila el bono cuesta más de lo que devuelve, y por debajo cuesta menos, con el descuento ahondándose hasta 324,41 con un rendimiento del ocho por ciento. La primera fila es la otra en la que conviene detenerse: con una TIR de cero no se descuenta nada, así que el precio es el valor nominal más los veinte cupones, exactamente 1400,00, que es lo máximo que el bono podría valer. Vigila también la columna de la rentabilidad corriente: sube a medida que el precio baja, porque divide los mismos 40 al año entre un número cada vez más pequeño.

Fórmula

Precio del bono = Σ [ cupón por periodo × (1 + i)^−k ] + valor nominal × (1 + i)^−n (k = 1 … n; i = TIR de la emisión ÷ pagos al año; n = años hasta el vencimiento × pagos al año); cupón por periodo = valor nominal × cupón ÷ pagos al año; rentabilidad corriente = cupón anual ÷ precio; prima o descuento = precio − valor nominal; pagos al año = frecuencia del cupón

Valor nominal: El importe que se devuelve al vencimiento y la base sobre la que se calcula el cupón, que tiene que ser mayor que cero
Cupón: La tasa anual que el bono paga sobre su valor nominal; se reparte en partes iguales entre los periodos de pago del año en lugar de devengarse por días reales
TIR de la emisión: La tasa anual a la que descuentas cada pago: el rendimiento que ofrece el bono al precio que te piden por él, que el panel de resultados muestra como rentabilidad al vencimiento
Años hasta el vencimiento: Años enteros que quedan; el número de pagos es esta cifra multiplicada por los cupones que se pagan cada año
Frecuencia del cupón: Cuántas veces al año se paga el cupón: cada año, dos veces al año, cada trimestre o cada mes
Cupón por periodo: Valor nominal por la tasa del cupón dividido entre el número de pagos anuales: el importe de cada periodo, no el del año
Rentabilidad corriente: El cupón anual dividido entre el precio, que no es la TIR porque ignora la ganancia o la pérdida al vencimiento
Prima o descuento: El precio menos el valor nominal: positivo cuando el bono cuesta más de lo que devuelve, negativo cuando cuesta menos

Úsala para comprobar un precio que te han dado, para ver qué le haría a un bono que ya tienes un cambio en el rendimiento, o para entender por qué el mismo bono aparece con dos precios distintos en dos sitios. También es la aritmética que hay detrás de un hecho que sorprende: el precio de un bono que ya tienes se mueve en sentido contrario a su rendimiento, así que un inversor que aguanta hasta el vencimiento no se ve afectado por una subida de tasas mientras que uno que tiene que vender sí. Valóralo a varios rendimientos y el patrón se vuelve concreto: la tabla de referencia de abajo recorre el mismo bono desde un rendimiento del cero por ciento, donde vale el valor nominal más todos los cupones que va a pagar, pasa por el punto en el que el rendimiento iguala a la tasa del cupón y el precio es exactamente el de emisión, y llega a un rendimiento del ocho por ciento donde el precio está en territorio de descuento profundo.

Ejemplos resueltos

Valor nominal de 1000, cupón del 4 %, 10 años, valorado a una TIR del 5 %
1. Cupón de cada periodo: 1000 × 4 % ÷ 2 = 20
2. Periodos: 10 años × 2 = 20, y el rendimiento de cada periodo es 5 % ÷ 2 = 2,5 %
3. Valor actual de los 20 cupones: 20 × (1 − 1,025⁻²⁰) ÷ 0,025 = 311,78
4. Valor actual del valor nominal: 1000 × 1,025⁻²⁰ = 610,27
5. Precio: 311,78 + 610,27 = 922,05, un descuento de 77,95
6. Rentabilidad corriente: 40 ÷ 922,05 = 4,34 %
Es el ejemplo por defecto de la página y es el caso en el que la TIR está por encima de la tasa del cupón, así que el bono se vende por debajo de su valor nominal. El descuento no es un castigo: es el mecanismo que sube tu rendimiento desde el 4 % que paga el cupón hasta el 5 % que ofrece el mercado. Pagas 922,05 por una corriente que vale 1000 al vencimiento, y los 77,95 que ganas al final cubren la diferencia. Fíjate en que el cupón por periodo es 20, que es el importe semestral, y en que la rentabilidad corriente del 4,34 % está por encima del 4 % de la tasa del cupón porque el precio que pagaste está por debajo del valor nominal.
El mismo bono valorado a la par: TIR igual a la tasa del cupón
1. Cupón de cada periodo: 1000 × 4 % ÷ 2 = 20
2. Rendimiento de cada periodo: 4 % ÷ 2 = 2 %
3. Valor actual de los 20 cupones: 20 × (1 − 1,02⁻²⁰) ÷ 0,02 = 327,03
4. Valor actual del valor nominal: 1000 × 1,02⁻²⁰ = 672,97
5. Precio: 327,03 + 672,97 = 1000,00 exactos
Cuando la TIR iguala a la tasa del cupón los dos valores actuales están forzados a sumar el valor nominal, y esta fila es el eje sobre el que gira toda la tabla: por encima de ella el bono cuesta más de lo que devuelve y por debajo cuesta menos. Es también la fila que muestra que la rentabilidad corriente no es lo mismo que la TIR: aquí las dos son el 4 %, pero a cualquier otro precio se separan, porque la rentabilidad corriente ignora la ganancia o la pérdida que realizas cuando el bono se amortiza.
Pagar dos veces al año en lugar de una cambia un poco el precio
1. Cupón de cada periodo: 1000 × 4 % ÷ 1 = 40, pagado diez veces
2. Rendimiento de cada periodo: 5 % ÷ 1 = 5 %
3. Valor actual de los diez cupones: 40 × (1 − 1,05⁻¹⁰) ÷ 0,05 = 308,87
4. Valor actual del valor nominal: 1000 × 1,05⁻¹⁰ = 613,91
5. Precio: 308,87 + 613,91 = 922,78, un descuento de 77,22
El mismo bono, el mismo rendimiento, el mismo vencimiento y un solo número cambiado. Pagar el cupón una vez al año en lugar de dos da 922,78 en vez de 922,05, porque el dinero que se recibe más tarde se descuenta durante más tiempo. La diferencia es pequeña en este caso, pero la del cupón por periodo no lo es: aquí lee 40 frente a los 20 del caso semestral, y en los dos casos es el importe de un periodo. Esa es la cifra que más se malinterpreta de esta página, y por eso la etiqueta lo dice.

Limitaciones

Esta es la versión limpia de la valoración de bonos, y una liquidación real es más sucia en tres sentidos concretos. Valora un bono cuyo próximo cupón está a un periodo completo de distancia, así que no maneja el cupón corrido: al vendedor se le debe la parte del cupón en curso que ya ha transcurrido, y una factura real la suma por encima. Supone que todos los cupones que quedan son de un periodo completo, de modo que un bono con el primer o el último cupón irregular, cosa habitual en las emisiones nuevas, no está modelado. Solo valora bonos simples, así que un bono que el emisor puede rescatar antes de tiempo o que tú puedes devolver tiene un precio que depende también de esas opciones y no solo del rendimiento. Más allá de eso, el cálculo usa años enteros y periodos equiespaciados en lugar de fechas de calendario reales, así que no coincide al céntimo con las convenciones de recuento de días con las que se liquidan las operaciones reales. Ignora los impuestos sobre el cupón y sobre la ganancia de capital, ignora los costos de transacción y no dice nada sobre el riesgo de crédito: la TIR que escribes se toma como un dato, y un bono que podría no devolverse debería valorarse con una más alta.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula el precio de un bono?: Se descuenta cada pago que el bono va a hacer hasta hoy a la TIR de la emisión y se suman todos. Para un bono con un valor nominal de 1000 que paga el 4 % dos veces al año y al que le quedan diez años, valorado a una TIR del 5 %: los veinte cupones de 20 valen hoy 311,78, el valor nominal de 1000 vale 610,27, y el precio es 922,05.
¿Por qué el precio está por debajo del valor nominal?: Porque la TIR a la que valoras está por encima de la tasa del cupón que paga el bono. El bono solo paga un 4 % sobre su valor nominal, así que nadie te dará 1000 por él cuando en otro sitio hay un 5 % disponible; el precio baja hasta que el cupón más la ganancia que realizas al vencimiento suman un rendimiento del 5 %. La diferencia entre el precio y el valor nominal es el descuento, y el mismo mecanismo al revés produce una prima cuando la tasa del cupón está por encima del rendimiento.
¿Qué diferencia hay entre la rentabilidad corriente y la TIR?: La rentabilidad corriente es el cupón anual dividido entre el precio que pagas, así que en el caso por defecto es 40 dividido entre 922,05, o sea un 4,34 %. La TIR es la tasa que ganarías si mantuvieras el bono hasta el final, y tiene en cuenta los 77,95 que ganas cuando un bono comprado a 922,05 devuelve 1000. En un bono valorado a la par las dos coinciden; cuando el bono está con descuento la rentabilidad corriente es la menor de las dos, y es la mayor cuando el bono está con prima.
¿El cupón que se muestra es por año o por periodo?: Por periodo. Un bono con un valor nominal de 1000 y un cupón del 4 % paga 40 al año en total, y esos 40 se reparten entre los pagos que tenga el año: 20 dos veces al año, 10 cuatro veces al año, 40 una vez al año. El campo de esta página es el importe de un solo pago, y por eso el mismo bono del 4 % muestra 20 en el caso semestral y 40 en el anual.
¿Por qué la frecuencia de pago cambia el precio?: Porque el dinero que se cobra antes se puede reinvertir antes, así que un bono que te paga antes vale un poco más con el mismo rendimiento. En el bono por defecto, pagar dos veces al año da 922,05 y pagar una vez al año da 922,78, una diferencia de 0,73; los pagos trimestrales y mensuales vuelven a bajar un poco el precio, hasta 921,68 y 921,43. El efecto es pequeño con estas tasas, pero crece con el cupón y con el plazo.
¿Qué pasa si la TIR es cero?: Todos los factores de descuento se vuelven 1 y el precio es simplemente la suma de todo lo que el bono va a pagar: el valor nominal más todos los cupones. En un bono con un valor nominal de 1000 que paga el 4 % dos veces al año y al que le quedan diez años, eso es 1000 más veinte pagos de 20, exactamente 1400. Merece la pena conocer este caso porque la fórmula escrita en forma cerrada tiene que tratarlo aparte, y la aritmética de esta página no necesita hacerlo.

Referencias

Glosario de términos financieros — qué son un bono, el valor nominal y el vencimiento — Banco de México (México)
31 CFR Part 356, Appendix B — Formulas and Tables: the present value factors and the price formula for Treasury notes and bonds — U.S. Department of the Treasury rule, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)
Understanding Pricing and Interest Rates — why the price of a note or bond moves in the opposite direction to its yield — U.S. Department of the Treasury, Bureau of the Fiscal Service (TreasuryDirect), United States
Current Yield — Investor.gov glossary (the ratio of the interest paid on a bond to its market price) — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)

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