Calculadora de prisma triangular
Resultado
Volumen
- Área lateral
- 120,0000 cm²
- Área total
- 132,0000 cm²
Una calculadora de prisma triangular toma los tres lados del extremo triangular y la longitud del prisma, y devuelve tres lecturas: cuánto cabe dentro, cuánto envoltorio da la vuelta a sus caras y cuánto material llevaría toda su superficie. Un prisma triangular es la forma de una tienda de campaña, de una barra de chocolate con almendras, de una cuña de queso, de la cumbrera de un tejado y de un trozo de moldura triangular: cualquier cosa con un triángulo en un extremo que corre recto hasta un triángulo idéntico en el otro. Dos de las tres respuestas son fáciles de imaginar. El volumen es el área del extremo triangular multiplicada por lo que avanza el prisma, porque un prisma es lo que sale de arrastrar una figura plana por el espacio sin girarla, y el volumen de todo lo hecho así es su sección transversal por su recorrido. El área lateral es la distancia alrededor del triángulo multiplicada por esa misma longitud, porque al desplegarlas las caras del prisma son un rectángulo cuyo ancho es el perímetro del triángulo. Juntando las dos, la tercera sale sola: el área total es el envoltorio más los dos extremos triangulares, uno en cada punta, y esa es la razón de que los extremos se cuenten dos veces. Los tres lados tienen además que formar un triángulo, y eso merece una palabra porque es la comprobación que se olvida. Tres longitudes solo forman un triángulo si dos cualesquiera de ellas suman más que la tercera. Si no es así, el prisma no tiene cara de partida ni volumen que informar, y la página lo dice en lugar de devolver algo en silencio. Cuando los dos lados cortos suman exactamente el largo, el extremo es una línea plana y no un triángulo, y la página lo acepta: el volumen es de verdad cero y la página imprime cero.
El volumen de un prisma triangular a partir de su extremo y de su longitud
| Lado a (cm) | Lado b (cm) | Lado c (cm) | Longitud (cm) | Volumen (cm³) |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 10 | 60 |
| 6 | 6 | 6 | 10 | 155.8846 |
| 5 | 5 | 6 | 4 | 48 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 14.5237 |
| 1 | 1 | 2 | 10 | 0 |
| 3 | 4 | 5 | 0 | 0 |
| 2.5 | 3.5 | 4 | 7.5 | 32.476 |
| 5 | 6 | 10 | 2 | 22.798 |
Ocho prismas y cinco columnas. La tabla da el volumen en lugar de las tres lecturas porque cinco columnas es ya todo el ancho que esta tabla admite, y el volumen es a lo que viene la gente; el área lateral y el área total están en el panel de resultados, que no es lo mismo que no darlas. La primera fila es la de la reconciliación: un extremo de 3-4-5 tiene un área de exactamente 6, así que el volumen es exactamente 60, y la página del volumen imprime esos mismos 60 desde un área de la base de 6 y una longitud de 10. La segunda fila es la misma comprobación con un número incómodo: un extremo equilátero de 6 da 155,8846, y la página del volumen llega ahí desde un área de la base de 15,5884572. La quinta fila es el extremo degenerado, donde 1 + 1 = 2 y el triángulo se ha aplanado en una línea: su área es cero, así que el volumen es cero, y la página lo acepta. La sexta fila es una longitud de cero, donde el volumen también es cero pero por una razón completamente distinta: no queda prisma. La octava fila tiene un extremo casi degenerado —5 + 6 supera a 10 por muy poco—, que hace que el área sea diminuta y es el caso más exigente para la aritmética. Todos los valores se recalculan a partir de sus cuatro entradas al construir la página, en centímetros, y los cuatro decimales son los mismos cuatro decimales que usa el panel de resultados.
Fórmula
Volumen = área de la base × longitud · área lateral = perímetro de la base × longitud · área total = 2 × área de la base + área lateral
- Side a
- El primer lado del extremo triangular, en centímetros. Los tres lados juntos tienen que poder formar un triángulo, y la página lo comprueba antes de responder
- Side b
- El segundo lado del extremo, en centímetros. Junto con a y con c fija por completo el área del extremo y, por tanto, el volumen
- Side c
- El tercer lado del extremo, en centímetros. El orden de los tres da igual: se usan de forma simétrica, a través del perímetro y del semiperímetro
- Length
- Cuánto avanza el prisma, en centímetros: la distancia entre los dos extremos triangulares idénticos, medida en la dirección del recorrido. No es la altura del triángulo, y en un prisma tumbado sobre una mesa los dos números se parecen mucho
- A(base)
- El área del extremo triangular, calculada a partir de los tres lados con la fórmula de Herón. La sección transversal de un prisma es la figura que se ve al cortarlo en ángulo recto respecto de su recorrido, y aquí esa sección es el triángulo del extremo. Un extremo de 3-4-5 tiene un área de exactamente 6 centímetros cuadrados, que es la razón de que aparezca tantas veces en este grupo
- Volume
- Cuánto cabe dentro del prisma, en centímetros cúbicos. El área del extremo multiplicada por la longitud, lo que vale para cualquier prisma sea cual sea la forma de su sección transversal
- Perimeter and lateral area
- La distancia alrededor del extremo, y esa distancia multiplicada por la longitud. Al desplegarlas, las caras de cualquier prisma son un rectángulo, y esto es el área de ese rectángulo
El hormigón y el movimiento de tierras son los usuarios más antiguos: un caballón triangular, un montón de escombro con la parte de arriba plana, un bordillo de hormigón colado con sección triangular —todo lo que se pide o se paga por volumen, que es la mayoría de lo que se vende por camión o por metro cúbico—. Los materiales de envoltura y de chapa son la segunda familia, y esos quieren el área lateral: la lona sobre la cumbrera de una tienda, el film retráctil alrededor de un paquete triangular, el revestimiento de un hastial, la chapa de un conducto triangular. Esos trabajos se presupuestan por superficie, y el número que necesitan es el perímetro por la longitud, no el área total, porque los extremos suelen estar abiertos o tapados por otra cosa. La pintura y los recubrimientos quieren en cambio el área total, porque los extremos forman parte de lo que hay que pintar, y dejarlos fuera del presupuesto es la manera habitual de quedarse corto. Está después la tercera lectura, que es la que conviene conocer aunque salga gratis: el volumen de cualquier prisma es el área de su sección transversal por su longitud, y una vez que lo has visto, el ortoedro, el cilindro y esta figura se funden en una sola regla. Esa generalización es la razón de que esta página y la del volumen del prisma triangular existan como pareja: una parte de los tres lados y la otra de un área que ya tienes, y las dos aterrizan en la misma respuesta cuando los números encajan.
Ejemplos resueltos
Un extremo de 3-4-5 con una longitud de 10
- Calcula el área del extremo con la fórmula de Herón: el semiperímetro es 6, así que √(6 × 3 × 2 × 1) = 6
- Multiplica por la longitud para el volumen: 6 × 10 = 60
- Suma los lados y multiplica por la longitud para el envoltorio: 12 × 10 = 120
- Añade los dos extremos triangulares: 120 + 2 × 6 = 132
La pareja con la que carga la página, y la que ata las dos páginas del par: el extremo tiene un área de exactamente 6, así que el volumen es exactamente 60, y la página del volumen imprime esos mismos 60 para un área de la base de 6 con una longitud de 10. Las tres lecturas salen de un juego de números muy pequeño, que es justo lo que se le pide a una página que reúne todas las respuestas de un mismo sólido.
Un extremo equilátero de 6 con una longitud de 10
- Calcula el área del extremo equilátero: √3 ÷ 4 × 36 = 15,5884572…
- Multiplica por la longitud para el volumen: 15,5884572… × 10 = 155,884572…
Un extremo equilátero, donde el área no es un número entero y la respuesta hay que redondearla al final. La página del volumen llega a los mismos 155,8846 desde un área de la base de 15,5884572 con la misma longitud, que es la segunda reconciliación entre las dos páginas.
Un extremo isósceles de 5, 5 y 6 con una longitud de 4
- Calcula el área del extremo: el semiperímetro es 8, así que √(8 × 3 × 3 × 2) = 12
- Multiplica por la longitud para el volumen: 12 × 4 = 48
El caso corriente: un extremo cuya área resulta ser un número entero y un prisma corto. Aquí no hay ninguna figura especial ni hubo que medir ningún lado en un ángulo cómodo, que es el aspecto que tienen casi todos los trabajos reales.
Un extremo de 3-4-5 con una longitud de 0
- Calcula el área del extremo: 6
- Multiplica por la longitud: 6 × 0 = 0
Una longitud de cero significa que los dos extremos se han juntado y no queda prisma: el volumen es de verdad cero. El área total no es cero ni siquiera aquí, porque los dos extremos triangulares siguen ahí y siguen contando; el área lateral sí desaparece con la longitud, porque es el perímetro del extremo multiplicado por esa longitud. Ver que una de las dos se queda quieta mientras la otra cae a cero es una buena manera de entender que el área total y el volumen contestan a preguntas distintas.
Limitaciones
Esta página toma los tres lados del extremo y la longitud del prisma, y nada más. Da por supuesto que el prisma es recto —que los extremos son paralelos, iguales y que las caras laterales corren perpendiculares a ellos—, que es lo que significa la palabra prisma pero no lo que son todos los sólidos triangulares: una cuña que se estrecha hacia un extremo necesita otra aritmética. La sección transversal tiene que ser un triángulo: un prisma de base cuadrilátera es otra figura y otra página. Los tres lados tienen que cumplir la desigualdad triangular, y cuando los dos cortos suman menos que el largo la página se niega en lugar de responder. Cuando suman exactamente el largo, el extremo es degenerado y el volumen se acepta como cero. La respuesta va siempre en centímetros, centímetros cuadrados y centímetros cúbicos, digan lo que digan los desplegables, y las tres conversiones no son la misma: una longitud se convierte dividiendo entre 2,54, un área entre 6,4516 y un volumen entre 16,387. Los cuatro decimales son un ancho de visualización y no una afirmación sobre la precisión, y un volumen con una raíz cuadrada dentro tendrá de verdad más cifras de las que se enseñan. El área lateral excluye los dos extremos triangulares, que es lo que necesita un material de envoltura pero no lo que necesita un presupuesto de pintura: para pintar, usa el área total. Aquí no se contempla un prisma hueco, ni el grosor de las paredes, ni un margen por desperdicio al cortar el material.
Preguntas frecuentes
- ¿Cuál es la diferencia entre el área lateral y el área total?
- El área lateral es solo el envoltorio de las caras: el perímetro del triángulo multiplicado por la longitud. El área total cuenta además los dos extremos triangulares, así que es el área lateral más dos veces el área del extremo. Cuál de las dos quieres depende del trabajo: una lona, una etiqueta o un revestimiento necesitan el área lateral, porque el paquete está abierto por las puntas. Una pintura, un baño o una chapa necesitan el área total, porque los extremos también hay que cubrirlos.
- ¿Cuál de las medidas es la longitud?
- Lo que avanza el prisma: la distancia de un extremo triangular al otro, medida en la dirección en la que corre la figura. No es la altura del triángulo, y en un prisma tumbado sobre una mesa esos dos números se parecen mucho, que es exactamente la razón de que convenga comprobar cuál de los dos tienes. Si tu prisma es una tienda de campaña, la longitud es la cumbrera.
- ¿Valen tres lados cualesquiera?
- No. Tres longitudes solo forman un triángulo si dos cualesquiera de ellas suman más que la tercera. Si los dos cortos suman menos que el largo, no hay cara de partida y la página se niega en lugar de responder. Si suman exactamente el largo, el extremo es una línea plana y el volumen es de verdad cero, así que ese caso se acepta y se imprime como cero.
- ¿Por qué la página del volumen da la misma respuesta con algunos datos?
- Porque las dos páginas son la misma regla alcanzada desde puntos de partida distintos. El volumen de cualquier prisma es el área de su sección transversal por su longitud, así que si ya conoces el área del extremo puedes saltarte los tres lados por completo. Un extremo de 3-4-5 tiene un área de exactamente 6, así que las dos páginas dan 60 para una longitud de 10: una calcula antes el área y a la otra se la dan.
- ¿Importa cuál de los lados llamo a, b y c?
- No. Los tres lados entran en el cálculo de forma simétrica: en el perímetro se suman sin más, y en la fórmula de Herón solo aparecen dentro del semiperímetro y de las tres diferencias, que son el mismo conjunto de números los escribas en el orden que los escribas. Las etiquetas están para dar nombre a las casillas, no para insinuar nada.
- ¿Me sirve esta página para un cilindro o para un ortoedro?
- No en esta página, porque el extremo de aquí es un triángulo y las casillas piden tres lados. Pero la regla es la misma: el volumen de cualquier prisma es su sección transversal por su longitud, y el área lateral de cualquier prisma es su perímetro por su longitud. La página del ortoedro de este grupo es este mismo cálculo con un extremo rectangular, y la del cilindro es el mismo con un extremo circular.
Referencias
- Prism — what makes a solid a prism, why the volume is always the cross-section times the length, and how the lateral area is defined — Wolfram MathWorld (United States)
- Heron's Formula — how the area of the triangular end, and therefore the volume of the whole prism, is worked out from the three sides alone — Wolfram MathWorld (United States)
- Triangle Inequality — the condition the three sides of the end must satisfy, and the reason some sets of three lengths have no prism behind them — Wolfram MathWorld (United States)
- Prisma triangular — las caras, las aristas y los vértices, el área lateral y el área total a partir del perímetro de la base, y el volumen a partir de su área, en español — Universo Formulas (España)
- Volumen de un prisma — la regla del área de la base por la altura, y por qué vale igual para un prisma recto que para uno oblicuo, en español — Universo Formulas (España)