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CalcMax

Calculadora de dilatación del tiempo

Intervalo: 0 c (velocidad de la luz) – 1 c (velocidad de la luz)

Resultado

11 horas 28 minutos 15 segundos

Tiempo dilatado

Diferencia de tiempo
6 horas 28 minutos 15 segundos
Factor de Lorentz
2,2942

Calculadora de dilatación del tiempo: cuánto más tarda un reloj en movimiento en marcar el mismo intervalo. Introduce una velocidad como fracción de la velocidad de la luz y el tiempo que mide el viajero, y la página devuelve el factor de Lorentz, el tiempo que pasa en casa y la diferencia entre los dos relojes. El factor se queda pegado a 1 durante muchísimo trecho —0,1 c da 1,005— y después sube en vertical: 7,09 a 0,99 c y 707 a 0,999999 c. Valores por defecto: 0,9 c durante cinco horas a bordo, que en casa son 11 h 28 min.

Seis velocidades y el factor que lleva cada una

VelocidadFactor de LorentzDónde se nota
0,1 c1.005Más rápido que cualquier cosa construida —la nave más veloz hasta la fecha ronda 0,0006 c— y los relojes discrepan medio por ciento
0,5 c1.1547Ningún objeto macroscópico se ha acercado. Un año a bordo es un año y dos meses en casa
0,9 c2.2942Donde el efecto deja de ser un error de redondeo: un día a bordo son 2,29 días en casa
0,99 c7.0888Un factor de siete. A esta velocidad un viaje a Próxima Centauri lleva unos 4,3 años a bordo y 30 años en la Tierra
0,999 c22.3663Un factor de veintidós. Los muones de los rayos cósmicos llegan al suelo a una velocidad parecida, y es la razón de que sobrevivan al trayecto
0,999999 c707.107Un factor de 707. Una hora a bordo son 29 días en casa, y la corrección ya no es pequeña

Las seis velocidades no están igualmente espaciadas y eso es justamente lo que dice la tabla. Las tres primeras son velocidades que un lector puede imaginarse, y a lo largo de todo ese recorrido el factor apenas se mueve: de 1,005 a 2,2942. Las tres últimas se apiñan en la milésima final del camino hacia la velocidad de la luz, y allí el factor pasa de 7,0888 a 707,107. Un espaciado uniforme habría hecho que esta tabla pareciera que el factor sube poco a poco, que es lo contrario de lo que hace. Dos notas de presentación: la columna del medio se imprime tal como está escrita y no rellenada con ceros, así que la fila de 0,1 c se lee 1.005 y no 1.0050, y la última se lee 707.107 y no 707.1070, de modo que la primera columna lleva coma decimal (0,1 c) y la del medio lleva punto, porque las celdas numéricas de las tablas de referencia no se localizan; y la columna del medio es el mismo número en todos los idiomas, porque es una razón y no una medida.

Fórmula

tiempo dilatado = factor de Lorentz × tiempo propio, donde el factor de Lorentz es 1 ÷ √(1 − v²/c²)

v
La velocidad del reloj en movimiento como fracción de la velocidad de la luz, así que 0,9 significa nueve décimas partes de c. Se introduce así a propósito: aquí la velocidad de la luz es la unidad y no una constante que haya que teclear. El campo va de 0 a 1, y exactamente 1 no es un valor que la página pueda usar, porque toda la fórmula divide entre algo que allí se anula
Δτ
El tiempo propio: lo que marca el propio reloj que viaja, en horas, minutos, segundos o días. Es el menor de los dos tiempos y el que experimenta el viajero. Esta página tiene dos relojes y este es el que hay que mantener separado del otro: rellena el viaje tal como lo viviría la tripulación, no como lo planearía el centro de control
γ
El factor de Lorentz, 1 ÷ √(1 − v²/c²), impreso con cuatro decimales y sin unidad porque es una razón. Es el asunto entero de esta página: a cualquier velocidad que alcance una persona o un vehículo coincide con 1 hasta once decimales —1000 m/s da todavía 1,0000000000056—, así que la página imprime 1,0000; a 0,1 c vale 1,005; y solo pasado 0,9 c empieza a parecer un número que merezca una tabla. Todo lo demás de la página es este factor multiplicado por un tiempo o restado de uno
Δt
El tiempo dilatado: lo que marca un reloj que se quedó quieto entre los mismos dos sucesos. Es siempre el mayor de los dos, y la página lo muestra como una duración y no como una cuenta de segundos: cinco horas a bordo a 0,9 c vuelven como 11 horas 28 minutos 15 segundos. No hay ningún caso en el que sea menor, porque el factor nunca baja de uno
Δt − Δτ
La diferencia entre los dos relojes, también mostrada como duración. No es lo mismo que el tiempo dilatado ni un múltiplo suyo: es lo que sobra después de restarle al viajero sus propias horas, y es el número por el que pregunta de verdad la paradoja de los gemelos. A 0,9 c durante cinco horas la diferencia es de 6 horas 28 minutos 15 segundos

Usa esta página cuando quieras saber lo que cuesta un viaje rápido en tiempo y no en distancia: cuánto envejecería una tripulación en un trayecto a alguna fracción respetable de la velocidad de la luz, cómo se ve desde el suelo la vida de un muón, o por qué hay que corregir el reloj de un satélite. El factor es la parte que merece la pena mirar, porque la respuesta sorprende en las dos direcciones: a 0,1 c, que es más rápido que cualquier cosa construida, los relojes discrepan medio por ciento, mientras que el último tramo, de 0,99 c a 0,999999 c, multiplica el efecto por cien. Aquí vive la mitad de ida de la paradoja de los gemelos: manda a un gemelo a 0,9 c y el calendario del otro correrá más del doble de rápido. La relatividad especial solo tiene esta fórmula para el tiempo, y nada más de la teoría hace falta para usarla: dos relojes, una velocidad relativa y una raíz cuadrada.

Ejemplos resueltos

  1. Los valores por defecto: 0,9 c durante cinco horas a bordo

    1. Velocidad 0,9 c, tiempo propio 5 horas
    2. Factor de Lorentz: 1 ÷ √(1 − 0,9²) = 1 ÷ √0,19 = 2,294157, que se imprime como 2,2942
    3. Cinco horas son 5 × 3600 = 18.000 segundos a bordo
    4. Tiempo dilatado: 2,294157 × 18.000 = 41.294,83 segundos, redondeado a 41.295, que son 11 horas 28 minutos 15 segundos
    5. Diferencia: 41.295 − 18.000 = 23.295 segundos, o 6 horas 28 minutos 15 segundos

    Las dos filas de duración son la razón de que esta página no sea una simple multiplicación. El reloj que viaja marca cinco horas; el reloj de casa marca once horas y veintiocho minutos; y la diferencia entre ellos, seis horas y veintiocho minutos, es el tercer número y el que le interesa a la paradoja de los gemelos. Fíjate en que la diferencia tampoco es un múltiplo del tiempo propio: son 23.295 segundos, que es 1,294 veces los 18.000 que midió el viajero, y no 2,29 veces. Restarle al tiempo el tiempo multiplicado por γ no da la diferencia; restar los dos tiempos sí.

  2. Media velocidad de la luz durante una hora: el efecto es real pero modesto

    1. Velocidad 0,5 c, tiempo propio 1 hora
    2. Factor de Lorentz: 1 ÷ √(1 − 0,25) = 1 ÷ √0,75 = 1,154701, que se imprime como 1,1547
    3. Una hora a bordo son 3600 segundos
    4. Tiempo dilatado: 1,154701 × 3600 = 4156,92 segundos, redondeado a 4157, que es 1 hora 9 minutos 17 segundos
    5. Diferencia: 4157 − 3600 = 557 segundos, o 9 minutos 17 segundos

    La mitad de la velocidad de la luz suena extremo y, para el reloj, no lo es: un año a bordo sería un año y dos meses en casa. Este caso está aquí por el redondeo más que por la física: una implementación que trunque en lugar de redondear informa 4156 y 556, un segundo menos en las dos filas, y ese segundo es invisible si no compruebas la aritmética como hacen los pasos de arriba. Es también el caso que muestra que el factor es simétrico de una manera que la gente no espera: 0,5 c da 1,1547, y también lo da 0,5 c en cualquier dirección, porque la fórmula contiene v² y no v.

  3. 0,999999 c durante una hora: veintinueve días en casa

    1. Velocidad 0,999999 c, tiempo propio 1 hora
    2. Factor de Lorentz: 1 ÷ √(1 − 0,999998000001) = 1 ÷ √(1,999999 × 10⁻⁶) = 707,106958, que se imprime como 707,107
    3. Una hora a bordo son 3600 segundos
    4. Tiempo dilatado: 707,106958 × 3600 = 2.545.585,05 segundos, redondeado a 2.545.585, que son 29 días 11 horas 6 minutos 25 segundos
    5. Diferencia: 2.545.585 − 3600 = 2.541.985 segundos, o 29 días 10 horas 6 minutos 25 segundos

    Una hora de viaje y veintinueve días de tiempo en casa, y eso es lo que compra el último dígito de la entrada: a 0,999 c el factor es 22,37 y a 0,999999 c es 707,11, por un cambio de una parte en mil de la velocidad. Esa verticalidad es lo más útil que se lleva uno de esta página, y es la razón de que los seis valores de la tabla estén apiñados arriba en lugar de repartidos por igual. La aritmética del segundo paso es el único sitio donde la raíz cuadrada es fácil de equivocar a mano: √2 ≈ 1,4142 sugeriría 707,1068, y el valor impreso tiene un cero en el cuarto decimal, no un ocho.

  4. En reposo: los dos relojes coinciden exactamente

    1. Velocidad 0 c, tiempo propio 1 hora
    2. Factor de Lorentz: 1 ÷ √(1 − 0) = 1, que se imprime como 1,0000
    3. Tiempo dilatado: 1 × 3600 = 3600 segundos, que es 1 hora
    4. Diferencia: 3600 − 3600 = 0 segundos
    5. Nada se mueve, nada va despacio

    Esta fila es el ancla de todo lo de arriba: sin movimiento relativo no hay efecto ninguno y el factor es exactamente 1. Es también la fila que muestra para qué se imprimen cuatro decimales en lugar de dos: a 0,05 c el factor es 1,00125, que con dos decimales se imprimiría como 1,00, indistinguible de estar quieto, mientras que con cuatro la fila de 0,1 c se lee 1,005 y la diferencia está ahí para verla. El 1,0000 impreso tampoco es relleno: dice que la discrepancia está por debajo del cuarto decimal, lo cual es un hecho sobre la velocidad cero y no una decisión de formato.

Limitaciones

Solo se cubre el tramo de ida: un reloj que da la vuelta y regresa hay que tratarlo como dos tramos separados de velocidad constante, y es el reloj del viajero el que acaba retrasado. No se modela la gravedad, aunque un reloj más abajo en un campo gravitatorio también va despacio, con otra fórmula. La velocidad se mide respecto de quien esté mirando y se supone que el trayecto transcurre a esa velocidad de principio a fin, así que aquí no se cuenta la aceleración de ninguno de los dos extremos.

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la fórmula de la dilatación del tiempo?
El tiempo dilatado es el factor de Lorentz por el tiempo propio, Δt = γΔτ, donde γ es 1 partido por la raíz cuadrada de 1 − v²/c². Cinco horas a bordo de una nave a 0,9 c se convierten en 11 horas 28 minutos 15 segundos en tierra, porque allí γ vale 2,2942. El factor depende solo de la velocidad, así que cambiar la duración del viaje escala los dos tiempos a la vez y deja γ intacto.
¿Por qué el factor de Lorentz se queda cerca de 1 tanto tiempo?
Porque la fórmula contiene v²/c², de modo que a poca velocidad lo que se le resta a 1 es minúsculo y la raíz cuadrada de un número cercano a 1 está cerca de 1. A 0,1 c —treinta millones de metros por segundo, más rápido que cualquier nave— el factor es 1,005, medio por ciento. Incluso a la mitad de la velocidad de la luz solo es 1,1547. La parte empinada llega tarde: 7,09 a 0,99 c, 22,37 a 0,999 c y 707 a 0,999999 c.
¿En qué se diferencia esto de la paradoja de los gemelos?
Esta página da la mitad de ida. Si un gemelo se va a 0,9 c y el otro se queda, el reloj del que se queda corre 2,2942 veces más rápido, así que cinco años a bordo son once años y medio en casa. La paradoja completa necesita que el viajero dé la vuelta y regrese, lo cual son dos tramos y no uno e implica aceleración: eso es lo que rompe la simetría entre los dos gemelos, y queda fuera de lo que modela esta página.
¿La gravedad también dilata el tiempo?
Sí, y esta página no lo cubre. Un reloj más profundo en un campo gravitatorio va despacio respecto de otro situado más arriba, que es un efecto aparte con su propia fórmula y es la razón de que los relojes de los satélites necesiten corrección por los dos. Lo que cubre esta página es el efecto de la relatividad especial, que depende solo de la velocidad relativa y se aplica incluso sin gravedad alguna. En los sistemas de navegación reales los dos se suman.
¿Qué pasa exactamente a la velocidad de la luz?
La página rechaza esa entrada. A v = c la cantidad 1 − v²/c² es cero y el factor de Lorentz divide entre cero, así que no hay respuesta en lugar de haber una infinita. Por encima de la velocidad de la luz la raíz cuadrada pasa a ser la raíz de un número negativo. El campo admite de 0 a 1 y la calculadora rechaza exactamente 1, que es la separación honesta: alcanzar la velocidad de la luz no es aquí un número muy grande, es el punto donde la fórmula deja de estar definida.

Referencias

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