Calculadora de forma estándar

45000 = 4,5 × 10⁴; 0,00045 = 4,5 × 10⁻⁴; 1200 = 1,2 × 10³ pero 1200. = 1,200 × 10³; 6.02e23 = 6,02 × 10²³ = 602000000000000000000000

45000

El número que se convierte, dado como decimal corriente o en notación exponencial. Puede ser entero o llevar coma decimal, y puede ser negativo; el signo pasa al coeficiente y nunca al exponente

4,5

El coeficiente, o mantisa, que tiene que quedar entre 1 y 10. Son las cifras originales con la coma desplazada, así que las cifras no cambian nunca: 45000 y 4,5 × 10⁴ llevan las mismas cifras 4 y 5, y solo cambia dónde está la coma

10⁴

El exponente, que cuenta los puestos que se ha movido la coma y lleva el signo del movimiento. Cuatro puestos a la izquierda dan 4 y un número grande; cuatro puestos a la derecha dan −4 y un número pequeño, y por eso 0,00045 es 4,5 × 10⁻⁴ y no 4,5 × 10⁴

1200 frente a 1200.

De dónde vienen los ceros finales. Escrito como entero, los dos ceros solo indican magnitud, así que el coeficiente es 1,2. Con un punto decimal detrás se escribieron a propósito, así que se conservan y el coeficiente es 1,200. Las mismas cifras, dos afirmaciones distintas sobre la precisión

0

El único valor que no lleva exponente. El cero se imprime como 0 en las dos formas, porque cualquier potencia de diez escrita a su lado afirmaría una magnitud que el cero no tiene

602000000000000000000000

La forma decimal corriente de 6,02 × 10²³, que tiene veinticuatro caracteres y es ilegible sin contarlos. La notación exponencial 6.02e23 que la produjo es lo que se teclea; la notación existe para que esa línea no haya que escribirla nunca

Convertir en este sentido es lo que se hace cuando un número tiene que quedar escrito para otra persona. Una medida tomada en un laboratorio o en una ficha técnica sale como 0,00045 y tiene que aparecer en un informe como 4,5 × 10⁻⁴, porque la segunda forma declara la precisión del coeficiente y la primera la deja para que alguien la cuente. La conversión inversa ocurre igual de a menudo por otro motivo: un valor llega como 6,02 × 10²³ y hay que introducirlo en algo que solo acepta dígitos, así que se escribe entero o, mejor, se pega en notación exponencial. En un aula la conversión es el ejercicio en sí. Mover la coma decimal y contar los puestos es la única destreza mecánica de este tema, y la regla de los ceros finales es la parte que va de verdad sobre la medición y no sobre la notación: 1200 y 1200. son la misma cantidad y no la misma afirmación, y un coeficiente que conserva esos ceros está diciendo que alguien midió hasta la unidad. Los exámenes usan esta forma porque es comprobable: un coeficiente fuera del intervalo 1 a 10 está mal a simple vista, cosa que un cero mal puesto en un decimal largo no hace. Merece la pena conocer a dos vecinas. Si el número se va a combinar con otro en vez de limitarse a reescribirse, esa aritmética la hace la página de notación científica. Y si la pregunta es cuántas cifras debería llevar el coeficiente, la respuesta sale de la procedencia del número y la da la página de cifras significativas.

1. Un número entero: 45000

   1. Localiza la primera cifra distinta de cero, que es el 4
   2. Coloca la coma decimal detrás de ella: 4,5
   3. Cuenta los puestos que se ha movido la coma desde su sitio original, al final del número: cuatro
   4. El número es mayor que 10, así que el exponente es positivo: 10⁴
   5. El resultado es 4,5 × 10⁴, y la forma decimal que aparece al lado es el 45000 que entró

   El valor por defecto y la forma más simple de la conversión: las cifras ya son 4 y 5, así que solo se mueve la coma. El exponente es el número de puestos que se movió, que coincide con el número de cifras que hay detrás de la primera cuando el número es un entero sin ceros finales de los que discutir.

2. Un valor por debajo de uno: 0,00045

   1. Busca la primera cifra distinta de cero en 0,00045, que es el 4 del cuarto puesto decimal
   2. Coloca la coma detrás de ella: 4,5
   3. Cuenta los puestos que se ha movido para llegar ahí desde detrás del cero inicial: cuatro
   4. El número está por debajo de uno, así que el exponente es negativo: 10⁻⁴
   5. Los ceros de delante no aparecen en el coeficiente, que es 4,5 y no 0,00045

   La dirección en la que todo el mundo cuenta mal. El coeficiente es 4,5 y el exponente es −4, así que la respuesta es 4,5 × 10⁻⁴; escribir 4,5 × 10⁻⁵ es el error habitual, y viene de contar el cero inicial como si fuera un puesto. La comprobación es contar hacia atrás: 4,5 × 10⁻⁴ mueve la coma cuatro puestos a la derecha, y eso cae en 0,00045.

3. Dos maneras de escribir 1200

   1. El punto decimal del final no es una errata: dice que los dos ceros que van detrás del 2 se escribieron a propósito
   2. Coloca la coma detrás de la primera cifra: 1,200
   3. Cuenta los puestos: tres, así que el exponente es 3
   4. El coeficiente conserva sus ceros, porque se escribieron: 1,200 × 10³
   5. Ahora teclea 1200 sin el punto y la misma calculadora responde 1,2 × 10³: mismo valor, distinta afirmación

   La regla que hace que la forma estándar sea útil y no solo ordenada, y el único punto de esta página en el que la ortografía de la entrada cambia la salida. Las dos respuestas describen el valor 1200; se diferencian en cuántas cifras se están afirmando. Un coeficiente de 1,200 dice que la unidad se midió o al menos se escribió; 1,2 no lo dice. Fíjate además en lo que la calculadora no está haciendo: no adivina cuál de las dos querías y no cuenta cifras significativas por ti, sino que lee lo que has tecleado, que es lo único honesto que puede hacer.

4. Un valor que ya viene en notación exponencial: 6.02e23

   1. La entrada ya tiene una forma aceptable: 6.02e23 significa 6,02 × 10²³
   2. El coeficiente 6,02 está entre 1 y 10, así que no hay que ajustar nada
   3. El exponente 23 es positivo, así que la forma decimal corriente es un entero grande
   4. Escrito del todo son 602 seguido de veintiún ceros: veinticuatro caracteres en total

   El número de Avogadro, y el argumento de siempre a favor de la notación. La forma decimal corriente no está mal, es ilegible: 602000000000000000000000 hay que contarlo para creérselo, y quien se equivoca al contar se desvía un factor de diez sin manera de notarlo. La notación exponencial que entra y la forma de coeficiente y exponente que sale llevan el tamaño en dos piezas cortas. Es también el caso que enseña que la conversión va en los dos sentidos en una sola página: la entrada venía en notación exponencial, su forma decimal no se tecleó nunca, y la calculadora la imprime igualmente.

La forma manuscrita no es una entrada válida: 4,5 × 10⁴ y 4.5×10^4 se rechazan, y hay que usar 4.5e4 o 45000. Y aquí hay una trampa que solo afecta a quien escribe en español: el separador de millares del español es el punto, y en esta página el punto es la coma decimal, así que 45.000 no se rechaza —se lee como cuarenta y cinco, no como cuarenta y cinco mil, y con un coeficiente de cinco cifras que nadie ha medido—. Escribe 45000, sin separador, y ten en cuenta que 1.998.229 se rechaza directamente por llevar dos puntos. La coma decimal tampoco entra: 4,5e4 se rechaza y hay que teclear 4.5e4, porque en varios de los idiomas que sirve este sitio la coma es el separador decimal. El cero se imprime como 0 en las dos formas, sin potencia de diez y sin signo. Los números se limitan a quince cifras significativas y se rechaza un exponente más allá de ±99. La regla de los ceros finales depende de la ortografía de la entrada y no de su valor: 1200 da 1,2 × 10³ y 1200. da 1,200 × 10³, y no hay una tercera respuesta, porque la calculadora no tiene nada más de dónde tirar. Eso significa también que esta página no calcula cifras significativas: conserva o descarta ceros finales según cómo se escribió el número, y decidir cuántas de las cifras que quedan se midieron de verdad es una pregunta sobre de dónde salió el número, que es de la página de cifras significativas. La forma decimal corriente se imprime sin separadores a cualquier longitud, así que la de 6.02e23 es una ristra de veinticuatro caracteres y la de 1e99 serían cien; es deliberado, porque una cadena sin agrupar se puede leer o pegar en cualquier sitio, mientras que 602.000.000.000.000.000.000.000 no. Por último, no se redondea nada: las cifras que entran son las que salen, recolocadas y nada más, así que un coeficiente nunca se recorta para quedar más ordenado que el número del que viene.

¿Qué es la forma estándar?

Un número escrito como un coeficiente entre 1 y 10 multiplicado por una potencia de diez: 45000 es 4,5 × 10⁴ y 0,00045 es 4,5 × 10⁻⁴. Es el nombre que usan las escuelas y los exámenes británicos para lo que el uso estadounidense llama notación científica y lo que los libros de texto en español llaman también notación científica. La forma no cambia de un nombre a otro; solo cambia la convención de escribir el exponente, y aquí se imprime la del panel.

¿Cómo se convierte un número a forma estándar?

Mueve la coma decimal hasta dejarla justo detrás de la primera cifra distinta de cero y cuenta cuántos puestos se ha movido. Esa cuenta es el exponente, y es positiva para un número de 10 o más y negativa para uno por debajo de 1. 45000 da 4,5 × 10⁴, porque la coma se movió cuatro puestos a la izquierda; 0,00045 da 4,5 × 10⁻⁴, porque se movió cuatro a la derecha. Las cifras no cambian nunca.

¿Por qué 1200 da 1,2 × 10³ pero 1200. da 1,200 × 10³?

Porque un cero final en un número escrito significa una de dos cosas, y la forma estándar conserva la diferencia. En el entero 1200 los dos ceros solo dicen que el número está en los millares, así que el coeficiente es 1,2. Añadir el punto detrás dice que se escribieron a propósito, así que se conservan y el coeficiente es 1,200. El valor es el mismo; la afirmación sobre cuánto de él se conoce, no.

¿Por qué no puedo teclear 4,5 × 10⁴ en la casilla?

Porque esa forma tiene varias grafías —un signo de multiplicación, una equis, un asterisco, un acento circunflejo, un exponente en superíndice— y cada una tendría que reconocerse con exactitud, ya que leerla mal significa convertir el número equivocado. Teclea 4.5e4 o 45000. Son el mismo valor, y la calculadora imprime la forma exponencial de cualquier número que le des, así que una respuesta siempre se puede volver a pegar en la casilla.

¿Esta calculadora me dice cuántas cifras significativas tiene el coeficiente?

No, y si lo hiciera estaría adivinando. Conserva o descarta los ceros finales según cómo esté escrita la entrada y ahí se detiene. Cuántas cifras de un número se midieron de verdad es una pregunta sobre de dónde salió el número —si 1200 se contó o se estimó— y eso es materia de la página de cifras significativas.

¿Por qué el panel escribe 1.200 con punto y el texto con coma?

Porque no son el mismo tipo de cadena. Las líneas del resultado son cadenas que se pueden volver a pegar en la casilla, y la casilla solo acepta el punto decimal: la coma se rechaza a propósito, porque es el separador decimal en varios de los idiomas que sirve este sitio y adivinar cuál se quiere cambiaría el valor. El texto de la página, en cambio, es español y va con coma: 1,200 × 10³. Mismo número, dos ortografías, y cada una manda en su terreno. Ojo con lo contrario en los millares: el punto que el español usa para agrupar millares no se admite aquí, así que 45.000 se lee como cuarenta y cinco.

• Forma Estándar — la forma de coeficiente y exponente tal como se enseña en el Reino Unido, con el método de conversión y los dos sentidos del exponente — Disfruta Las Matemáticas (versión en español de Math is Fun, Reino Unido)
• Notación científica — la misma forma bajo el nombre que usan los libros de texto en español, con el método de conversión — Disfruta Las Matemáticas (versión en español de Math is Fun, Reino Unido)
• Scientific Notation — the form, its rules and the notation's history, under the name used in the United States — Wolfram MathWorld (United States)