Calculadora de notación científica
Resultado
Notación científica
- Notación E
- 1.28e3
- Notación decimal
- 1280
La notación científica escribe un número como un coeficiente entre 1 y 10 multiplicado por una potencia de diez: 45000 es 4,5 × 10⁴ y 0,00045 es 4,5 × 10⁻⁴. Su ventaja es que el tamaño del número se muda al exponente, así que multiplicar y dividir dejan de ser un asunto de contar ceros y pasan a serlo de sumar y restar enteros pequeños. Esta calculadora de notación científica toma dos números y una operación y devuelve el resultado en tres formas a la vez: la notación científica, la notación exponencial —la forma e que se teclea, 1.28e3— y el decimal corriente. Las reglas de los exponentes son toda la aritmética. Para multiplicar se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes: (3,2 × 10⁵) × (4 × 10⁻³) = 12,8 × 10², que después se normaliza a 1,28 × 10³. Para dividir se dividen los coeficientes y se restan los exponentes. Sumar y restar son las operaciones incómodas, porque primero hay que alinear los exponentes: 1,5 × 10³ más 2,5 × 10² es 1500 más 250, y el resultado es 1,75 × 10³. Eso no tiene nada de distinto de la aritmética decimal de siempre —es la misma suma—, pero la notación hace que el paso de alineación sea fácil de olvidar. Los datos se aceptan en cualquiera de las dos formas. La notación exponencial que teclea quien programa, 3.2e5 y 4e-3, se lee directamente, y el decimal corriente 45000 también: son el mismo número y la página los trata igual. La forma manuscrita 4,5 × 10⁴ no se acepta, y la razón merece saberse en vez de sortearse: reconocerla obliga a admitir cinco grafías de la misma idea —un signo de multiplicación, una equis, un asterisco, un exponente en superíndice, un acento circunflejo— y leer una de ellas mal significa calcular con el número equivocado. La línea de notación exponencial del resultado está ahí para volver a pegarla en las casillas. Los dos números admiten hasta quince cifras significativas y sus exponentes van de −99 a 99; la respuesta puede pasarse de ese margen, porque 1e99 × 1e99 es 1 × 10¹⁹⁸. Una advertencia se aplica a esta aritmética y no a las demás páginas de la familia. La suma y la multiplicación de decimales se hacen en doble precisión, que no representa exactamente todos los decimales, así que 0,1 + 0,2 es 0,30000000000000004 antes de ser cualquier otra cosa. El resultado se redondea a quince cifras significativas y se le quitan los ceros finales, con lo que se imprime 3 × 10⁻¹ y 0,3: la cola está en la cifra decimosexta y decimoséptima. Esas quince cifras son un ancho de visualización, no una afirmación: una respuesta calculada a partir de dos números no sabe cuántas de sus cifras se midieron, y ningún número de cifras impresas aquí te lo diría. Decidir cuántas cifras significativas merece una respuesta es otra pregunta, y es de la página de cifras significativas, no de esta. Queda fijar un detalle de escritura, porque en esta familia se ve en cada línea. El texto de esta página escribe los números como manda el español, con coma decimal y la potencia en superíndice: 1,28 × 10³. El panel los escribe con punto: 1.28 × 10³. No es una errata, y la explicación está en la FAQ 6. Por último, dos convenciones se cruzan aquí y conviene separarlas una vez. En el uso estadounidense esto es notación científica; en el británico, y en el temario de GCSE, lo mismo se llama forma estándar. Los dos nombres describen la misma forma de coeficiente y exponente, y la página de forma estándar se ocupa de la mitad del trabajo que es conversión —un número entra, el mismo número sale escrito de la otra manera— mientras que esta página hace la mitad que es aritmética.
Las potencias de diez, escritas en notación científica, en notación exponencial y como decimal
| potencia | decimal | notación e |
|---|---|---|
| 1 × 10⁻⁹ | 0.000000001 | 1e-9 |
| 1 × 10⁻⁶ | 0.000001 | 1e-6 |
| 1 × 10⁻³ | 0.001 | 1e-3 |
| 1 × 10⁻² | 0.01 | 1e-2 |
| 1 × 10⁻¹ | 0.1 | 1e-1 |
| 1 × 10⁰ | 1 | 1e0 |
| 1 × 10¹ | 10 | 1e1 |
| 1 × 10² | 100 | 1e2 |
| 1 × 10³ | 1000 | 1e3 |
| 1 × 10⁴ | 10000 | 1e4 |
| 1 × 10⁵ | 100000 | 1e5 |
| 1 × 10⁶ | 1000000 | 1e6 |
| 1 × 10⁹ | 1000000000 | 1e9 |
Trece potencias de diez, de 10⁻⁹ a 10⁹, con el mismo número escrito de las tres maneras. Lee la primera columna como el exponente y la tercera como la forma que hay que teclear: 10⁻³ es 0,001, que es 1e-3. Las filas del medio son las que dan problemas en la práctica: 10⁰ es 1 y 10⁻¹ es 0,1, así que un signo menos que se pierda mueve el valor un factor de diez, y 10⁻² y 10⁻³ son las dos que más aparecen en trabajo de medida. Fíjate en dónde deja de ser cómoda la forma decimal: por debajo de 10⁻⁶ los ceros de la derecha empiezan a ser difíciles de contar, que es el argumento habitual para escribir los valores pequeños en esta notación. Por encima de 10⁶ la forma decimal es ilegible sin separadores, y esta página nunca imprime separadores, porque la coma significa coma decimal en varios de los idiomas que sirve este sitio. Cada celda sale del mismo núcleo que usa el panel, así que una fila no puede contradecir a la respuesta que tiene encima.
Fórmula
(a × 10ᵐ) × (b × 10ⁿ) = (a × b) × 10ᵐ⁺ⁿ; (a × 10ᵐ) ÷ (b × 10ⁿ) = (a ÷ b) × 10ᵐ⁻ⁿ; la suma y la resta alinean primero: 1,5 × 10³ + 2,5 × 10² = 1500 + 250 = 1,75 × 10³; 3,2 × 10⁵ × 4 × 10⁻³ = 1,28 × 10³ = 1.28e3 = 1280
- 3.2e5 y 4e-3
- Los dos números que se combinan, cada uno escrito en notación exponencial (3.2e5) o como decimal corriente (320000), y cada uno con hasta quince cifras significativas. Son los datos que la página lee; la respuesta es un número nuevo calculado a partir de ellos
- × ÷ + −
- La operación, elegida entre cuatro opciones. La multiplicación va primera porque es para lo que sirve la notación científica: los exponentes se suman, así que el tamaño de la respuesta queda decidido antes de multiplicar ningún coeficiente
- 10ᵐ × 10ⁿ = 10ᵐ⁺ⁿ
- La regla de los exponentes que hay debajo de multiplicar y dividir. Los exponentes se suman en un producto y se restan en un cociente, y por eso 10⁵ × 10⁻³ da 10² sin contar un solo cero
- 1,5 × 10³ + 2,5 × 10²
- Por qué sumar y restar son distintas. Aquí los exponentes no coinciden, así que los dos números tienen que escribirse con un exponente común antes de poder sumarlos —1500 + 250— y el resultado es 1,75 × 10³. Saltarse ese paso es el error habitual
- 0,1 + 0,2 = 3 × 10⁻¹
- Por qué la respuesta se imprime con quince cifras significativas. 0,1 y 0,2 no caben exactos a la vez en doble precisión y su suma es 0,30000000000000004; redondear a quince cifras y quitar los ceros finales que quedan imprime 3 × 10⁻¹ y 0,3. Quince es un ancho de visualización, no una afirmación sobre la precisión
- 1,28 × 10³, 1.28e3, 1280
- Las tres formas de una misma respuesta. La primera es la que imprime un libro de texto, la segunda es la que acepta un programa o una hoja de cálculo si se vuelve a pegar en una casilla, y la tercera es el número escrito entero. Nunca son tres respuestas distintas
La notación científica se gana el sitio allí donde los números están lejos de 1. En física es lo normal para cualquier cosa que se mida en átomos, metros o años luz —la masa de un electrón, la distancia a una estrella, la longitud de onda de un color— y la razón es la misma en todas las escalas: el exponente lleva el tamaño, así que comparar dos cantidades se convierte en comparar dos exponentes. En química la notación se aparea con el conteo: 6,022 × 10²³ es una cuenta de partículas, y multiplicarla por una cantidad medida es aritmética en esta forma. La ingeniería se apoya en ella para las tolerancias de los dos extremos de un plano, y la informática para la razón por la que existe la notación exponencial: los números en coma flotante se guardan como un coeficiente y un exponente, y la forma e que imprime esta página es la manera más corta y honesta de escribir uno. Los libros de texto y los exámenes la usan como forma comprobable. Resolver un problema en notación científica y dar la respuesta como 4,5 × 10⁴ hace visible el tamaño de la respuesta de una manera que una ristra de ceros no hace, y por eso un exponente mal puesto se caza a ojo en esta forma y se escapa en la otra. La misma regla sirve para cualquier producto encadenado de potencias de diez, que es como aparecen de verdad en un laboratorio o en una hoja de cálculo. Lo que esta página aporta dentro de ese trabajo es el paso aritmético: lleva la contabilidad de los exponentes e imprime la respuesta en la forma de las tres que necesite el paso siguiente, y resulta más útil cuando los números se están combinando y la respuesta hay que dejarla escrita en vez de estimarla. Dos trabajos vecinos se sientan a sus lados. Escribir el mismo número de la otra manera, sin aritmética de por medio, es la página de forma estándar. Decidir cuántas de las cifras de una respuesta se midieron de verdad —que es de lo que van las cifras significativas— es la página de cifras significativas, y es la pregunta que esta página deliberadamente no responde.
Ejemplos resueltos
Multiplicar 3,2 × 10⁵ por 4 × 10⁻³
- Multiplica los coeficientes: 3,2 × 4 = 12,8
- Suma los exponentes: 10⁵ × 10⁻³ = 10²
- El producto es 12,8 × 10², que todavía no es notación científica, porque el coeficiente tiene que quedar por debajo de 10
- Pasa un factor de diez del coeficiente al exponente: 12,8 × 10² = 1,28 × 10³
- Escrito del todo son 1280, y la notación exponencial 1.28e3 se puede volver a pegar en cualquiera de las dos casillas
El valor por defecto, y el caso que enseña para qué sirve la notación. Los dos números son cortos y la aritmética son dos multiplicaciones y una suma; sin la notación, ese mismo trabajo sería 320000 × 0,004, donde los ceros hacen todo el esfuerzo y la respuesta es fácil de colocar mal por un factor de diez. El paso que hay que vigilar es la normalización, y es el que el panel hace en silencio: 12,8 × 10² y 1,28 × 10³ son el mismo número, y solo el segundo está en notación científica.
Dividir 9,6 × 10⁷ entre 3,2 × 10³
- Divide los coeficientes: 9,6 ÷ 3,2 = 3
- Resta los exponentes: 10⁷ ÷ 10³ = 10⁴
- El coeficiente ya está entre 1 y 10, así que no hace falta normalizar nada
- La respuesta es 3 × 10⁴, que es 3e4 y 30000
Una división en la que el coeficiente sale limpio, así que nada tapa la regla de los exponentes. Fíjate en que el coeficiente no lleva ceros finales: el resultado es 3 y no 3,00, porque la página imprime quince cifras significativas y después quita los ceros que no llevan información. Si la respuesta merece citarse como 3 o como 3,00000 es una pregunta de cifras significativas, y los datos de este ejemplo no la resuelven.
Sumar 0,1 y 0,2
- En ninguno de los dos datos aparece un exponente, así que los dos números se escriben tal cual: 0,1 y 0,2
- En doble precisión los valores guardados no son exactamente una décima y dos décimas, y su suma es 0,30000000000000004
- El resultado se redondea a quince cifras significativas, lo que deja 0,300000000000000
- Se quitan los ceros finales, porque las quince cifras son un ancho de visualización y no una medición
- Lo que queda es 3 × 10⁻¹, o 3e-1, o 0,3
El ejemplo que justifica el ancho de visualización. Imprimir siete cifras significativas también escondería la cola de coma flotante, pero rompería otro caso: 123456789012345 + 0 se imprimiría como 123456800000000, que sencillamente es el número equivocado. Quince cifras es el ajuste más ancho que sigue siendo exacto para todos los valores que admiten las casillas, así que esconde la cola y conserva el número. Si te has topado con esta suma como acertijo de programación, el acertijo es real: simplemente no se ve a este ancho.
Limitaciones
Cada casilla admite hasta quince cifras significativas y un exponente de −99 a 99. La respuesta no está limitada por esos márgenes: 1e99 × 1e99 es 1 × 10¹⁹⁸, y su forma decimal corriente es una línea de 199 caracteres. Las formas manuscritas se rechazan: 4,5 × 10⁴ y 4.5×10^4 no se interpretan. Y aquí hay una trampa que solo afecta a quien escribe en español: el separador de millares del español es el punto, y en esta página el punto es la coma decimal, así que 45.000 no se rechaza —se lee como cuarenta y cinco, no como cuarenta y cinco mil, y encima como un coeficiente de cuatro cifras y media, o sea con una precisión que nadie ha medido—. Escribe 45000, sin separador. La coma decimal tampoco entra: 3,2e5 se rechaza, y hay que teclear 3.2e5 con punto, porque la coma es el separador decimal en varios de los idiomas que sirve este sitio y adivinar cuál se quiere metería un número equivocado en la aritmética. Una división entre cero lanza un error en vez de devolver un infinito, porque un infinito no es un resultado que se pueda escribir. El cero se imprime como 0 en las tres formas: 0 × 10⁰ sería colgarle una magnitud a un número que no tiene ninguna. Los resultados se redondean a quince cifras significativas y se les quitan los ceros finales, de modo que la respuesta no lleva información sobre la precisión y la página no afirma nada al respecto; esa pregunta es de la página de cifras significativas. Como la multiplicación, la división, la suma y la resta se hacen en doble precisión, un resultado solo es exacto hasta la decimoquinta cifra significativa: suficiente para los datos que esta página admite, e insuficiente para tratarlo como aritmética exacta sobre valores más largos, que por eso se rechazan. Por último, la tabla de referencia de abajo es una lista fija de potencias de diez y no sigue a lo que escribas: está para leerla al lado de la respuesta, no para calcularla a partir de ella.
Preguntas frecuentes
- ¿Qué es la notación científica?
- Una manera de escribir un número como un coeficiente entre 1 y 10 multiplicado por una potencia de diez: 45000 es 4,5 × 10⁴ y 0,00045 es 4,5 × 10⁻⁴. El tamaño del número se muda al exponente, que es lo que hace que multiplicar y dividir en esta forma sea cuestión de manejar enteros pequeños en vez de ristras largas de ceros. El uso británico suele llamar a lo mismo forma estándar.
- ¿Qué es la notación exponencial y por qué la imprime la página?
- La notación exponencial es el mismo número en caracteres corrientes: 4.5e4 significa 4,5 × 10⁴ y 4.5e-4 significa 4,5 × 10⁻⁴. Es lo que acepta un programa, una hoja de cálculo o una caja de búsqueda, así que la página la imprime como una de las tres formas: es la versión de la respuesta que se puede pegar directamente en una casilla. Por eso va con punto y no con coma: es una cadena ASCII, no una frase en español.
- ¿Por qué 0,1 + 0,2 da exactamente 0,3 aquí?
- Porque el resultado se redondea a quince cifras significativas antes de imprimirlo, y la suma guardada es 0,30000000000000004: la diferencia está en la cifra decimosexta y decimoséptima. Quince no es un número redondo elegido por estética: es el ancho de visualización más grande con el que todo valor que admiten las casillas se imprime exacto, así que 123456789012345 + 0 sigue saliendo 123456789012345 en vez de redondearse a algo más corto.
- ¿Puedo escribir 4,5 × 10⁴ en las casillas?
- No, y la página lo dirá. Reconocer esa forma obliga a aceptar varias grafías —un signo de multiplicación, una equis, un asterisco, un exponente en superíndice, un acento circunflejo— y leer una mal significa calcular con el número equivocado. Teclea 4.5e4 o 45000; los dos son el mismo valor, y la línea de notación exponencial de cada respuesta está escrita para volver a pegarla.
- ¿Cómo se multiplica y se divide en notación científica?
- Para un producto, multiplica los coeficientes y suma los exponentes; para un cociente, divide los coeficientes y resta los exponentes. Después comprueba que el coeficiente esté entre 1 y 10 y pasa un factor de diez al exponente si no lo está: 3,2 × 10⁵ por 4 × 10⁻³ es 12,8 × 10², que se escribe 1,28 × 10³. Sumar y restar exigen alinear antes los exponentes, que es justo el paso que la notación hace fácil saltarse.
- ¿Por qué el panel escribe 1.28 con punto y el texto con coma?
- Porque no son el mismo tipo de cadena. Las tres líneas del resultado se pueden volver a pegar en las casillas, y las casillas solo aceptan el punto decimal: la coma se rechaza a propósito, porque es el separador decimal en varios de los idiomas que sirve este sitio y adivinar cuál se quiere metería un número equivocado en la operación. El texto de la página, en cambio, es español y va con coma: 1,28 × 10³. Son el mismo número con dos ortografías, y cada una manda en su terreno.
Referencias
- Notación científica — la forma de coeficiente y exponente, las reglas para multiplicar y dividir con ella y el método de conversión — Disfruta Las Matemáticas (versión en español de Math is Fun, Reino Unido)
- Scientific Notation — the coefficient-and-exponent form, the rules for multiplying and dividing in it, and the notation's history — Wolfram MathWorld (United States)