¿Qué es el valor posicional?

La regla que dice que el valor de una cifra viene de dónde está escrita y no de cómo se ve. La cifra 5 en 5, en 25 y en 0,05 vale 5, 50 y 0,05 respectivamente, porque cada vez ocupa un puesto distinto. Cada puesto vale diez veces el que tiene a su derecha, y eso es lo que hace que diez cifras basten para escribir un número de cualquier tamaño.

¿Por qué aquí se conservan los ceros en la lista?

Porque un valor de posición pertenece a un puesto, y un puesto con un cero dentro sigue sosteniendo ese puesto abierto: el cero de 205 es lo que hace que sea 205 y no 25. Esta página enumera cifras y sus puestos, así que los conserva. La página de forma desarrollada convierte el mismo número en una suma y los deja fuera, porque un término que vale cero no suma nada. Las dos respuestas son distintas y las dos son correctas.

¿Por qué 4.5e4 no enumera ningún puesto por debajo de los millares?

Porque la notación exponencial lleva el tamaño del número en el exponente en lugar de en ceros escritos, y esta página lee las cifras que le dieron. 4.5e4 nombra dos cifras, así que la lista tiene dos términos, 4 × 10000 y 5 × 1000, y la posición menor es 1000. Escribe 45000 y el mismo número enumera todos los puestos hasta las unidades. Es la misma cantidad en los dos casos; lo único que ha cambiado es cuántas cifras se escribieron.

¿Cuáles son los puestos de las décimas, las centésimas y las milésimas?

Los tres puestos inmediatamente a la derecha de la coma decimal, que valen 0,1, 0,01 y 0,001. Cada uno es la décima parte del puesto que tiene a su izquierda, y sus nombres dicen lo mismo que sus valores: el puesto de las décimas es aquel en el que una cifra vale una décima parte. Por eso 0,04 son cuatro centésimas y no cuatro décimas, y el 4 está dos puestos a la derecha de las unidades. Es la parte decimal del número, la que queda después de las centenas y los millares.

¿Por qué la respuesta imprime 2 × 100 en lugar de dos centenas?

Porque una lista de nombres de posiciones tiene que terminar en algún punto. Más allá de las centenas de millar y de las milésimas, el cuadro necesitaría nombres que la mayoría de los lectores no ha usado nunca, y un cuadro al que se le acaban las palabras a medias es peor que uno que valora cada puesto como una potencia de diez y no se queda sin ellas. El valor dice lo mismo de las dos maneras: 2 × 100 y dos centenas son un solo puesto, descrito de dos formas.

¿Esta página me dice cuánto suman las cifras?

No. Enumera cada cifra con el valor de su puesto y se detiene; los términos suman la entrada, pero la página nunca hace esa suma. Si lo que quieres es el número escrito como la suma de sus valores de posición, esa es la calculadora de forma desarrollada, que usa los mismos puestos como sumandos y deja fuera los que valen cero. Y la línea del panel va con punto decimal (0.1, 0.01) porque es una cadena calculada que se puede volver a pegar en la casilla, mientras que el texto de la página va con coma, como manda el español.

Calculadora de valor posicional

Resultado

2 × 100, 0 × 10, 5 × 1, 0 × 0.1, 4 × 0.01

Valor de cada dígito

Mayor orden de unidades: 100
Menor orden de unidades: 0.01

El valor posicional es la regla que dice que una cifra significa lo que significa por el puesto en el que está escrita y no por su forma. El mismo 5 vale cinco, cincuenta o quinientos según dónde se escriba, y en 205,04 cada una de las cinco cifras tiene su propio valor: el 2 vale 200, el 0 de las decenas no vale nada, el 5 vale 5, el 0 de las décimas no vale nada y el 4 vale 0,04. Esta calculadora de valor posicional los enumera los cinco, en su orden de izquierda a derecha, como cifra por valor de la posición: 2 × 100, 0 × 10, 5 × 1, 0 × 0,1, 4 × 0,01. Los puestos a uno y otro lado de la coma decimal son imágenes especulares. Hacia la izquierda los valores son 1, 10, 100, 1000, cada uno diez veces el anterior; hacia la derecha son 0,1, 0,01, 0,001, cada uno una décima parte del anterior. El puesto de las unidades queda en medio y es el eje: su valor es 1, y la forma con exponente de cualquier valor de posición es una potencia de diez cuyo exponente cuenta la distancia a ese eje, positiva hacia la izquierda y negativa hacia la derecha. Eso es todo lo que contiene la tabla de valor posicional de abajo, y esa tabla es fija: es la regla con la que se leen las cifras, no una descripción de ninguna entrada concreta. Los ceros se conservan. Un valor de posición es una propiedad de un puesto, y un puesto con un cero dentro sigue teniendo un valor; es la única razón de que 205 y 25 sean números distintos, porque ese cero está sosteniendo abierto el puesto de las decenas. Quitarlo de la lista, como hace la página de forma desarrollada cuando convierte el mismo número en una suma, escondería justamente la cifra que sostiene el puesto. Por eso las dos páginas imprimen líneas distintas para la misma entrada y ninguna de las dos está mal: una es una lista de cifras con su valor, la otra es una suma de los términos que cuentan. Hay dos detalles sobre cómo se lee la entrada que conviene decir en voz alta, porque los dos se confunden con fallos con facilidad. Las cifras que se enumeran son las cifras tal como están escritas, así que 1200 conserva sus dos ceros finales y 0,004560 conserva los suyos delanteros; la calculadora no decide que algunas de ellas no merezcan mención. Y en notación exponencial solo se lee el coeficiente: 4.5e4 es una manera de escribir 45000 que nombra dos cifras, así que esta página enumera 4 × 10000 y 5 × 1000, y da como posición mayor 10000 en lugar de 100000. El valor del número es el mismo en los dos casos; lo que cambia es cuántas cifras se escribieron, y esta página solo puede informar de las que recibió. El signo menos no forma parte del valor de posición de ninguna cifra, así que no aparece en la lista. Las dos últimas líneas del resultado contestan una pregunta que la lista, cuando el número es largo, vuelve incómoda de responder a ojo: la posición mayor y la menor que usa el número, impresas como valores. Y lo que esta página no hace es decir cómo se llama cada cifra. Dirá que el 2 de 205,04 vale 200 y no que está en el lugar de las centenas, porque los nombres se acaban: más allá de las centenas de millar harían falta las diezmilésimas, las cienmilésimas y más allá, y una lista que se corta es peor que una que nunca empieza. Un número decimal se lee igual que un entero en la parte entera y sigue bajando por la parte decimal, de las décimas a las centésimas y a las milésimas. Si lo que quieres es que los términos se sumen en lugar de quedar enumerados, esa es la página de forma desarrollada; si lo que quieres es el número colapsado en un coeficiente y una potencia de diez, esa es la de forma estándar.

El valor de posición de cada puesto, desde los millones hasta las milésimas

valor de la posición	número
1 × 10⁶	1000000
1 × 10⁵	100000
1 × 10⁴	10000
1 × 10³	1000
1 × 10²	100
1 × 10¹	10
1 × 10⁰	1
1 × 10⁻¹	0.1
1 × 10⁻²	0.01
1 × 10⁻³	0.001

Diez puestos, escritos como se llama cada uno y como se valora cada uno: los millones, las centenas de millar y los millares a la izquierda, el puesto de las unidades en medio, y las décimas, las centésimas y las milésimas a la derecha. Léela como la regla con la que se mide la respuesta de arriba: el 2 de 205,04 se apoya en la fila del 100 y el 4 en la del 0,01. Las dos filas que flanquean el centro son las que más se fallan: 1 × 10⁰ es 1, el puesto de las unidades, así que los exponentes no empiezan en 1; y 1 × 10⁻¹ es 0,1, el puesto de las décimas, donde el signo menos se encarga de mover la cifra al otro lado de la coma decimal. El cuadro se detiene en las milésimas por la derecha y en los millones por la izquierda, y eso no es un límite de la calculadora: un número más largo recibe simplemente una lista más larga, con los exponentes continuando en las dos direcciones. Cada valor de aquí lo calcula el mismo núcleo que produce la respuesta, así que ninguna fila puede contradecirla.

Fórmula

205,04 = 2 × 100 + 0 × 10 + 5 × 1 + 0 × 0,1 + 4 × 0,01; los valores de posición siguen 10ⁿ con n = 2, 1, 0, −1, −2; 4.5e4 enumera 4 × 10000 y 5 × 1000, posición mayor 10000, posición menor 1000

205,04: El número que se lee, dado como número decimal corriente o en notación exponencial. Cada una de sus cifras se enumera en el orden en el que está escrita, así que la posición de cada término de la respuesta coincide con la posición de la cifra en la entrada
0 × 10: El término de una cifra que vale cero, conservado en lugar de eliminado. El puesto de las decenas de 205,04 tiene un cero dentro y ese cero es lo que hace que el número sea 205 y no 25, así que su valor de posición se enumera junto a los demás, aunque la cifra no aporte nada al total
10ⁿ: El valor de posición de cualquier puesto, donde el exponente cuenta los pasos desde el puesto de las unidades: positivo para las decenas, las centenas y los millares, cero en el propio puesto de las unidades, y negativo para las décimas, las centésimas y las milésimas. El exponente es la dirección del puesto
× 10: El signo de multiplicar de cada término. La línea se lee cifra por valor de la posición de principio a fin, que es lo que deja claro que la cifra 5 de 205,04 vale cinco y no quinientos, aunque las dos cosas estén escritas una al lado de la otra en la respuesta
10000 y 1000: La posición mayor y la menor que usa el número, impresas como sus valores. En 4.5e4 son 10000 y 1000 en lugar de 10000 y 1, porque la notación exponencial solo nombra las cifras del coeficiente y los ceros finales del número escrito no están entre ellas
0,1 y 0,01: Dos valores de posición a la derecha de la coma decimal, impresos como decimales y no con exponente porque así es como se leen en voz alta. 0,1 es el puesto de las décimas y 0,01 el de las centésimas, y cada uno es la décima parte del puesto que tiene a su izquierda

El valor posicional es la primera idea de la aritmética y de ella depende todo lo que viene después. Es lo que se aprende con fichas sobre una tabla, y es a lo que se apela años más tarde en cada línea de una suma, una resta, una multiplicación o una división por columnas: esos métodos funcionan solo porque las cifras que comparten columna valen lo mismo, y se rompen en manos de quien no lo tiene por cierto. La misma idea es toda la compacidad del sistema decimal —diez cifras bastan para escribir un número de cualquier tamaño, porque la posición lleva el resto de la información— y es lo primero que hay que volver a aprender, y no solo extender, cuando aparece otra base numérica: un número binario funciona exactamente igual con valores de posición 1, 2, 4, 8 en lugar de 1, 10, 100, 1000, que es la razón de que las páginas de conversión de base y esta describan el mismo mecanismo. En las medidas y en el dinero la tabla es la herramienta de cada día. Las centenas y las milésimas de la parte decimal son lo que significa una lectura con tres decimales, y saber que las cifras detrás de la coma decimal valen cada vez menos es la diferencia entre leer 0,04 como cuatro centésimas y leerlo como cuatro. Unidades y decenas separan un número de dos cifras del que no lo es: la cifra de la izquierda vale diez veces más que la de la derecha, y por eso 25 y 52 son números distintos con las mismas dos cifras. Las dos líneas que van debajo de la lista, la posición mayor y la menor, son la respuesta rápida a cuán grande y cuán preciso es un número: una medida anotada hasta las milésimas declara una precisión distinta de otra anotada hasta las unidades, y esa declaración la hace el sitio donde está su última cifra. Cuando las cifras haya que sumarlas en lugar de enumerarlas, eso lo hace la página de forma desarrollada. Cuando haya que resumirlas en un coeficiente y un exponente, es la de forma estándar.

Ejemplos resueltos

Un número con una cifra a cada lado de la coma: 205,04
1. Enumera las cifras en el orden en el que están escritas: 2, 0, 5, 0, 4
2. Nombra el puesto de cada una: centenas, decenas, unidades, décimas, centésimas
3. Escribe cada cifra multiplicada por el valor de su puesto: 2 × 100, 0 × 10, 5 × 1, 0 × 0,1, 4 × 0,01
4. Los dos ceros se quedan en la lista; son cifras escritas y cada una sostiene abierto su puesto
5. La posición mayor es 100 y la menor 0,01, que son el primero y el último valor de la lista
El caso central de la página y el que conviene comparar con la vecina. Aquí aparecen cinco términos, uno por cifra, ceros incluidos. La página de forma desarrollada, para la misma entrada, responde 200 + 5 + 0,04: tres términos, porque convierte el número en una suma y un término que vale cero no cambia una suma. Las dos listas son correctas y describen el mismo número; la diferencia es que esta página enumera cifras y la otra enumera sumandos. Fíjate también en que el 4 no vale 4 sino 0,04: está dos puestos a la derecha de las unidades, y cada paso hacia la derecha divide el valor por diez.
Un número entero con ceros finales: 1200
1. Las cifras escritas son cuatro: 1, 2, 0, 0
2. Sus puestos son millares, centenas, decenas y unidades
3. Los términos son 1 × 1000, 2 × 100, 0 × 10 y 0 × 1, y los dos ceros se conservan
4. La posición mayor es 1000 y la menor es 1, porque la última cifra escrita está en el puesto de las unidades
5. La lista tiene cuatro términos aunque el valor del número se pueda escribir con dos cifras significativas
Los dos ceros finales son el punto entero de este ejemplo: están escritos, así que sostienen el puesto de las decenas y el de las unidades, y esta página los enumera. Compáralo con la misma entrada en la página de cifras significativas, donde 1200 tiene dos cifras significativas frente a las cuatro de 1200. escrito con el punto: la misma cantidad, dos afirmaciones distintas sobre ella, según lo que se haya escrito. Aquí la pregunta no es cuánto se sabe del número sino cuánto vale cada cifra, y para eso el cero cuenta igual que cualquier otra.
Un valor escrito en notación exponencial: 4.5e4
1. Lee las cifras del coeficiente: 4 y 5, y ninguna más
2. El 4 está en el puesto de las decenas de millar y el 5 en el de los millares
3. Sus términos son 4 × 10000 y 5 × 1000
4. La posición mayor es 10000 y la menor es 1000
5. Los tres ceros que hacen falta para escribir el número entero no están en la lista, porque no se escribieron
4.5e4 y 45000 son la misma cantidad escrita de dos maneras, y esta página informa de la que le dieron. La notación exponencial se lleva el tamaño del número en el exponente en lugar de en ceros escritos, así que solo nombra dos cifras: la lista tiene dos términos y la posición menor es 1000 y no 1. Escribe 45000 y el mismo número enumera todos los puestos hasta las unidades. No es una limitación escondida sino la consecuencia de una decisión: la respuesta describe las cifras que hay, y las que no se escribieron no están para describirlas.

Limitaciones

La lista es tan larga como el número de cifras escritas, no como el ancho del valor completo. 4.5e4 produce dos términos en lugar de cinco y su posición menor es 1000 en lugar de 1, porque la entrada nombra dos cifras. Escribe el número como 45000 para ver todos los puestos hasta las unidades. Los nombres de las posiciones no se imprimen: la respuesta dice que la primera cifra de 205,04 vale 200 y nunca que está en el lugar de las centenas, porque una lista de nombres tendría que cortarse en algún punto —harían falta las diezmilésimas y las cienmilésimas más allá de cierto tamaño, y una tabla a la que se le acaban las palabras a medias es peor que una que usa exponentes y no se queda sin ellas—. Las formas escritas no son entradas válidas, así que 2 × 10² se rechaza; usa 200 o 2e2. Y aquí hay una trampa que en español muerde al revés que en inglés: el separador de millares del español es el punto, y en esta casilla el punto es la coma decimal. Escribir 1.200 no es un error de sintaxis, es 1,2; el número que buscabas hay que teclearlo como 1200, sin separador. Los datos se limitan a quince cifras significativas y a exponentes dentro de ±99, y un cero inicial en un entero escrito tampoco se conserva: 007 se lee como 7, cuyo único puesto es el de las unidades. El signo menos no aparece en la lista, porque es una propiedad del número y no de ninguna cifra: −205,04 produce los mismos cinco términos que 205,04. No se suma nada y no se redondea nada, así que la respuesta nunca dice cuánto suman las cifras; eso es la página de forma desarrollada. Y la tabla que viene abajo es un conjunto fijo de potencias de diez, no una descripción de la entrada de arriba.

Preguntas frecuentes

¿Qué es el valor posicional?: La regla que dice que el valor de una cifra viene de dónde está escrita y no de cómo se ve. La cifra 5 en 5, en 25 y en 0,05 vale 5, 50 y 0,05 respectivamente, porque cada vez ocupa un puesto distinto. Cada puesto vale diez veces el que tiene a su derecha, y eso es lo que hace que diez cifras basten para escribir un número de cualquier tamaño.
¿Por qué aquí se conservan los ceros en la lista?: Porque un valor de posición pertenece a un puesto, y un puesto con un cero dentro sigue sosteniendo ese puesto abierto: el cero de 205 es lo que hace que sea 205 y no 25. Esta página enumera cifras y sus puestos, así que los conserva. La página de forma desarrollada convierte el mismo número en una suma y los deja fuera, porque un término que vale cero no suma nada. Las dos respuestas son distintas y las dos son correctas.
¿Por qué 4.5e4 no enumera ningún puesto por debajo de los millares?: Porque la notación exponencial lleva el tamaño del número en el exponente en lugar de en ceros escritos, y esta página lee las cifras que le dieron. 4.5e4 nombra dos cifras, así que la lista tiene dos términos, 4 × 10000 y 5 × 1000, y la posición menor es 1000. Escribe 45000 y el mismo número enumera todos los puestos hasta las unidades. Es la misma cantidad en los dos casos; lo único que ha cambiado es cuántas cifras se escribieron.
¿Cuáles son los puestos de las décimas, las centésimas y las milésimas?: Los tres puestos inmediatamente a la derecha de la coma decimal, que valen 0,1, 0,01 y 0,001. Cada uno es la décima parte del puesto que tiene a su izquierda, y sus nombres dicen lo mismo que sus valores: el puesto de las décimas es aquel en el que una cifra vale una décima parte. Por eso 0,04 son cuatro centésimas y no cuatro décimas, y el 4 está dos puestos a la derecha de las unidades. Es la parte decimal del número, la que queda después de las centenas y los millares.
¿Por qué la respuesta imprime 2 × 100 en lugar de dos centenas?: Porque una lista de nombres de posiciones tiene que terminar en algún punto. Más allá de las centenas de millar y de las milésimas, el cuadro necesitaría nombres que la mayoría de los lectores no ha usado nunca, y un cuadro al que se le acaban las palabras a medias es peor que uno que valora cada puesto como una potencia de diez y no se queda sin ellas. El valor dice lo mismo de las dos maneras: 2 × 100 y dos centenas son un solo puesto, descrito de dos formas.
¿Esta página me dice cuánto suman las cifras?: No. Enumera cada cifra con el valor de su puesto y se detiene; los términos suman la entrada, pero la página nunca hace esa suma. Si lo que quieres es el número escrito como la suma de sus valores de posición, esa es la calculadora de forma desarrollada, que usa los mismos puestos como sumandos y deja fuera los que valen cero. Y la línea del panel va con punto decimal (0.1, 0.01) porque es una cadena calculada que se puede volver a pegar en la casilla, mientras que el texto de la página va con coma, como manda el español.

Referencias

Valor posicional — el gráfico del que se leen los puestos, con cada cifra valuada por el lugar en el que está escrita — Disfruta Las Matemáticas (versión en español de Math is Fun, Reino Unido)
Place value — what a place value chart is, how the places on either side of the decimal point mirror each other, and why the zeros in the middle are kept — SplashLearn (United States)
Expanded form — the other reading of the same place values, where the digits become the terms of a sum instead of a list — SplashLearn (United States)

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