Calculadora de forma desarrollada

3456 = 3000 + 400 + 50 + 6 = 3 × 10³ + 4 × 10² + 5 × 10¹ + 6 × 10⁰; 205,04 = 200 + 5 + 0,04 = 2 × 10² + 5 × 10⁰ + 4 × 10⁻²; −550 = −(500 + 50)

3456

El número que se desarma, dado como decimal corriente o en notación exponencial. Sus cifras no cambian y no se redondea nada; el número solo se reexpresa, así que un desarrollo cuyos términos no vuelvan a sumar la entrada será un fallo y no una decisión de redondeo

3000 + 400 + 50 + 6

La forma desarrollada: un término por cada cifra distinta de cero, y cada término es esa cifra por el valor de su posición. Las cifras aparecen en su orden original de izquierda a derecha, así que la línea se lee igual que el número

3 × 10³

El mismo término con su valor de posición escrito como potencia de diez. El exponente es la distancia de la cifra al puesto de las unidades, contando hacia la izquierda como positivo y hacia la derecha como negativo, y por eso las unidades son 10⁰ y no 10¹

200 + 5 + 0,04

Adónde van los ceros. 205,04 tiene un cero en las decenas y un cero en las décimas, y los dos términos se dejan fuera, porque sumar cero a una suma no cambia nada. La página de valor posicional los conserva; esta no, y ese contraste es la razón de que existan las dos

4 × 10⁻³ + 5 × 10⁻⁴

La parte de un desarrollo que queda por debajo de la coma decimal, donde los exponentes son negativos. 0,004560 da 4 × 10⁻³ + 5 × 10⁻⁴ + 6 × 10⁻⁵: el cero final de la entrada no produce ningún término, porque esta página lee un valor y no conserva una grafía

−(500 + 50)

Cómo se escribe un número negativo. El signo afecta a la suma entera y va fuera del paréntesis, en lugar de repartirse por cada término como −500 + −50, que se leería como una suma de dos números negativos

La descomposición de un número en sus cifras es como se enseña el valor de posición, y es el paso que hay entre contar y hacer aritmética de columnas. Quien sabe escribir 3456 como 3000 + 400 + 50 + 6 ve por qué el 3 y el 4 no se pueden sumar sin más, que es la idea de la que depende la suma con llevadas; ese mismo desarrollo por debajo de una resta explica el préstamo, y por debajo de una multiplicación es lo que hace que 3000 × 4 sea distinto de 3 × 4. Mucho después de la escuela sigue apareciendo como la versión legible de la estructura de un número. A quien compara dos lecturas de la misma cantidad le resulta la manera más rápida de ver en qué puesto está la discrepancia, y quien revisa el resultado de una hoja de cálculo puede desarrollar el total y confirmar cifra por cifra contra los datos en vez de fiarse del número entero de golpe. La forma exponencial es el puente hacia la notación científica y hacia la informática: 3 × 10³ + 4 × 10² + 5 × 10¹ + 6 × 10⁰ está a un paso de 3,456 × 10³, y esa misma expresión con potencias de dos en lugar de diez es exactamente cómo se desarrolla un número binario, con cada bit multiplicado por el valor de su posición. Trabajar en la dirección contraria —colapsar el número otra vez en un coeficiente y una potencia de diez, lo que pierde las cifras individuales en vez de enumerarlas— es lo que hace la página de forma estándar. Y cuando la pregunta es sobre una cifra concreta y no sobre todas a la vez, la página de valor posicional conserva cada cifra en su sitio, ceros incluidos, en lugar de omitir los términos que no valen nada.

1. Un número de cuatro cifras: 3456

   1. Lee las cifras de izquierda a derecha: 3, 4, 5, 6
   2. Nombra el puesto de cada cifra: millares, centenas, decenas, unidades
   3. Multiplica cada cifra por el valor de su posición: 3 × 1000, 4 × 100, 5 × 10, 6 × 1
   4. Suma los términos: 3000 + 400 + 50 + 6
   5. Escribe los mismos cuatro términos con los valores de posición como potencias de diez, lo que da 3 × 10³ + 4 × 10² + 5 × 10¹ + 6 × 10⁰

   El valor por defecto, y deliberadamente el caso fácil: sin ceros, sin coma decimal y sin signo, así que la forma de la respuesta se ve antes de tener que aplicar ninguna regla. Volver a sumar los términos da 3456, que es la comprobación que merece la pena hacer con cualquier desarrollo: los términos tienen que sumar el número del que salieron, y cada cifra tiene que aparecer exactamente una vez.

2. Un número con ceros y coma decimal: 205,04

   1. Las cifras son 2, 0, 5, 0, 4, y sus puestos van de las centenas a las centésimas
   2. El 2 vale 200 y el 5 vale 5; los ceros de las decenas y de las décimas no valen nada y no producen ningún término
   3. El 4 está dos puestos a la derecha de la coma decimal, así que su valor de posición es 0,01 y su término es 0,04
   4. El desarrollo es 200 + 5 + 0,04, que suma 205,04
   5. Con potencias de diez, los mismos términos son 2 × 10² + 5 × 10⁰ + 4 × 10⁻², y los exponentes 2, 0 y −2 son las distancias al puesto de las unidades

   El caso central de la página: dos ceros, uno a cada lado de la coma decimal, y ninguno produce término. Compáralo con la página de valor posicional, que para la misma entrada responde 2 × 100, 0 × 10, 5 × 1, 0 × 0,1, 4 × 0,01: cinco términos frente a tres, y las dos son respuestas correctas a preguntas distintas. El exponente cero de 5 × 10⁰ también merece atención: el puesto de las unidades es un puesto como cualquier otro, y su exponente es cero porque la cifra está a cero puestos de sí misma.

3. Un número negativo: −550

   1. Toma primero las cifras e ignora el signo: 5 y 5, en las centenas y en las decenas
   2. Sus términos son 500 y 50, y el cero de las unidades no añade nada
   3. La suma de esos términos es 550, y el número original es esa suma con signo negativo
   4. Escribe el signo una sola vez, fuera de un paréntesis que envuelve toda la suma: -(500 + 50)

   El signo es una propiedad del número, no de una cifra concreta, y el paréntesis es como se dice eso por escrito. Repartirlo daría -500 + -50, que es aritméticamente idéntico y peor de leer: en una página cuya salida es una suma, dos signos menos se leen como dos números que se están sumando, y quien revise la línea tiene que averiguar si los términos pretendían ser cifras negativas o un total negativo.

4. Un valor por debajo de uno con un cero final: 0,004560

   1. Localiza las cifras significativas, que son 4, 5 y 6; los ceros de delante solo colocan la coma decimal
   2. El 4 está en el puesto de las milésimas, así que su término es 0,004
   3. El 5 está en el de las diezmilésimas, lo que da 0,0005, y el 6 en el de las cienmilésimas, lo que da 0,00006
   4. La última cifra de la entrada es un cero en el puesto de las millonésimas; no aporta nada y no produce ningún término
   5. Los términos suman 0,00456, que es el valor de la entrada

   El cero final es lo interesante, y es donde esta página y la de cifras significativas se separan. Aquí el cero simplemente no es un término, porque una suma no lo necesita. Allí es una cifra medida y cuenta para las cuatro cifras significativas que lleva 0,004560. Las dos lecturas salen de la misma entrada y ninguna es un error: una va del valor del número y la otra de la precisión de la medida.

Los ceros no producen términos. 205,04 se desarrolla como 200 + 5 + 0,04 y no como 200 + 0 + 5 + 0 + 0,04, así que el desarrollo no es una transcripción cifra a cifra de la entrada; es la entrada escrita como suma, y los términos que no valen nada se dejan fuera. Si quieres los ceros conservados, la página de valor posicional los conserva. Y hay una trampa que solo afecta a quien escribe en español: el separador de millares del español es el punto, y aquí el punto es la coma decimal. Escribir 3.456 no se rechaza —se lee como tres unidades y cuatrocientas cincuenta y seis milésimas, es decir 3,456, no como tres mil cuatrocientos cincuenta y seis—, y 1.998.229 se rechaza directamente por llevar dos puntos. Teclea 3456, sin separador. La forma manuscrita tampoco es una entrada válida: 4,5 × 10⁴ se rechaza, y la coma decimal con ella, así que hay que usar 4.5e4 con punto. Los datos se limitan a quince cifras significativas y a exponentes dentro de ±99. Un cero inicial en un entero escrito, como en 007, tampoco se conserva: no tiene valor de posición ninguno, y el desarrollo de esa entrada es 7. El cero es un caso especial en los dos extremos: la entrada 0 se desarrolla como 0 sin ningún término, y el desarrollo de cualquier número termina en su última cifra distinta de cero y no al final de la forma escrita. No se redondea ni se convierte nada, así que el desarrollo de 9,99 es 9 + 0,9 + 0,09 y nunca 10. Por último, esta página enumera cifras: no las suma por ti, no decide cuántas son significativas y no escribe el número como un coeficiente y una potencia de diez. Son tres trabajos distintos, y corresponden a las páginas de valor posicional, cifras significativas y forma estándar respectivamente.

¿Qué es la forma desarrollada?

Un número escrito como la suma de sus cifras, cada una multiplicada por el valor de su posición: 3456 es 3000 + 400 + 50 + 6. No es otro número ni una manera más corta de escribir uno; es el mismo número con la estructura de sus puestos a la vista, y por eso es la forma en la que se enseña por primera vez el valor posicional y la que explica por qué funciona la aritmética de columnas.

¿Por qué los ceros se quedan fuera del desarrollo?

Porque un término que vale cero se puede quitar de una suma sin cambiarla, y dejarlo dentro hace la línea más difícil de leer: 205,04 es 200 + 5 + 0,04 y no 200 + 0 + 5 + 0 + 0,04. La página de valor posicional toma la postura contraria y conserva cada cifra, porque su asunto son las cifras y no la suma. Las dos páginas dicen la verdad sobre el mismo número.

¿Qué diferencia hay entre forma desarrollada y forma desarrollada con potencias de diez?

La segunda escribe los valores de posición como potencias de diez: 3 × 10³ + 4 × 10² + 5 × 10¹ + 6 × 10⁰ en lugar de 3000 + 400 + 50 + 6. Esta página imprime las dos, una debajo de la otra, porque la primera es lo que da un cuadro de valor posicional y la segunda es lo que da ese mismo cuadro en cuanto se etiquetan sus columnas con exponentes.

¿Cómo se desarrolla un número decimal?

Igual, con los puestos a la derecha de la coma decimal tomando exponentes negativos: 205,04 es 2 × 10² + 5 × 10⁰ + 4 × 10⁻², ya que el 4 está dos puestos a la derecha de las unidades. 0,004560 se desarrolla como 4 × 10⁻³ + 5 × 10⁻⁴ + 6 × 10⁻⁵, y su cero final no aporta ningún término.

¿Por qué −550 se escribe como −(500 + 50)?

Porque el signo pertenece al número entero y no a ninguna cifra concreta. Repartirlo daría −500 + −50, que vale lo mismo pero se lee como dos números negativos que se suman, lo cual confunde en una página cuya salida es una suma. Escribirlo una sola vez, fuera de un paréntesis, dice que un número es negativo y cuáles son sus partes.

¿Por qué el panel escribe 0.04 con punto y el texto con coma?

Porque las líneas del panel son cadenas calculadas que se pueden volver a pegar en la casilla, y la casilla solo acepta el punto decimal: la coma se rechaza a propósito, porque es el separador decimal en varios de los idiomas que sirve este sitio. El texto de la página va con coma, como manda el español: 0,04. Mismo número, dos ortografías. Ojo además con lo contrario en los millares: este sitio no admite el punto como separador de millares, así que 3.456 se lee como 3,456 y no como tres mil cuatrocientos cincuenta y seis.

• Valor posicional — el cuadro del que se lee el desarrollo, con el valor de cada cifra determinado por su posición — Disfruta Las Matemáticas (versión en español de Math is Fun, Reino Unido)
• Expanded Notation — the same expansion written with powers of ten, under the name used in the United States — Wolfram MathWorld (United States)
• Expanded form — what the form is, how a number is written as the sum of its place values, and the exponential version of the same expansion — SplashLearn (United States)