Calculadora de cuartiles

Q1 = valor en la posición (n − 1) × 0,25, Q2 en (n − 1) × 0,5, Q3 en (n − 1) × 0,75 (interpolando entre valores vecinos); RIC = Q3 − Q1

xᵢ

Un valor del conjunto de datos. Los cuartiles son posiciones en la lista ordenada, así que lo que importa es el orden de los valores y no su tamaño: una lectura extrema desplaza un poco las marcas exteriores, pero deja la mitad central casi intacta

n

Cuántos valores tiene la lista, hasta 200 aquí. Las posiciones se cuentan desde 0 y la última es n − 1, y de ahí que las tres posiciones de los cuartiles se repartan en ese recorrido

Q1

El primer cuartil, con alrededor del 25 % de los datos en él o por debajo. Marca dónde termina el cuarto inferior de la lista ordenada, y no tiene por qué ser un valor que aparezca en tus datos

Q2

El segundo cuartil, que es exactamente la mediana: la mitad de los datos en él o por debajo. Se imprime aquí para comparar, y la página dedicada a la mediana calcula el mismo número con la misma regla

Q3

El tercer cuartil, con alrededor del 75 % de los datos en él o por debajo. Junto con Q1 acota la mitad central de los datos, la parte que un diagrama de caja dibuja como una caja

IQR

El rango intercuartílico, Q3 − Q1: la dispersión de la mitad central. Lleva las unidades de los datos y, a diferencia de la desviación estándar, apenas le afectan los valores atípicos, porque ignora por completo los cuartos exteriores

Los cuartiles son el resumen adecuado cuando los datos están sesgados, tienen valores atípicos o no se miden en una escala donde sumar cosas signifique algo: ingresos, precios de vivienda, tiempos de respuesta, notas de examen. Donde una media y una desviación estándar describen una campana simétrica, el resumen de cinco números describe una distribución de cualquier forma: la mediana dice dónde está el centro, Q1 y Q3 dicen cuánto se estira la mitad central, y el valor más pequeño y el más grande acotan todo lo demás. El rango intercuartílico es el acompañante habitual de la mediana por la misma razón por la que la desviación estándar acompaña a la media, y es el número que se cita cuando se quiere una dispersión que ninguna lectura desbocada pueda inflar. Es también la base del diagrama de caja y de la regla de 1,5 × RIC para marcar posibles valores atípicos: la valla se calcula aquí, pero marcarlos es otro trabajo. Acompáñalos de un histograma cuando puedas: cuatro puntos de corte no pueden mostrar si los datos tienen dos jorobas, y un conjunto bimodal produce un resumen de cinco números de lo más normal.

1. Ocho valores: Q1 = 4, Q3 = 5,5, RIC = 1,5

   1. Ordena: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 — ocho valores, así que n − 1 = 7
   2. Q1: posición 7 × 0,25 = 1,75, que cae entre el 4 de la posición 1 y el 4 de la posición 2, así que Q1 = 4
   3. Q2: posición 7 × 0,50 = 3,5, entre 4 y 5, así que Q2 = 4,5 — la misma mediana que informa la página de la mediana
   4. Q3: posición 7 × 0,75 = 5,25, entre el 5 de la posición 5 y el 7 de la posición 6: 5 + 0,25 × 2 = 5,5
   5. RIC: 5,5 − 4 = 1,5, así que la mitad central de los datos abarca una anchura de 1,5

   La mitad central es aquí el tramo que va del 4 al 5,5, y el RIC es la anchura de esa banda. Fíjate en que Q1 cayó justo sobre un dato y Q3 no: que un cuartil coincida o no con un valor observado depende por completo de la cantidad de valores, y el resumen de cinco números es una descripción de posiciones, no un subconjunto de los datos.

2. Cuatro valores, donde todos los cuartiles son interpolaciones

   1. Ordena: 1, 2, 3, 4 — cuatro valores, así que n − 1 = 3
   2. Q1: posición 3 × 0,25 = 0,75, tres cuartas partes del camino de 1 a 2, así que Q1 = 1,75
   3. Q2: posición 3 × 0,50 = 1,5, a mitad de camino entre 2 y 3, así que Q2 = 2,5
   4. Q3: posición 3 × 0,75 = 2,25, una cuarta parte del camino de 3 a 4, así que Q3 = 3,25
   5. RIC: 3,25 − 1,75 = 1,5

   Este es el caso que separa las convenciones, así que merece la pena saber qué da la alternativa. El método que usan OpenStax y muchos manuales parte los datos por la mediana y toma el centro de cada mitad: la mitad inferior es 1 y 2, así que Q1 = 1,5; la superior es 3 y 4, así que Q3 = 3,5, y el RIC sale 2. Esta página interpola entre valores vecinos, que es el valor por defecto en R y en NumPy, e imprime Q1 y Q3 para que se vea qué convención produjo el resultado.

3. Los 14 valores del manual, calculados a la otra manera

   1. Ordena: 1, 1, 2, 2, 4, 6, 6,8, 7,2, 8, 8,3, 9, 10, 10, 11,5 — catorce valores, así que n − 1 = 13
   2. Q2: posición 13 × 0,50 = 6,5, a mitad de camino entre 6,8 y 7,2, así que Q2 = 7 — exactamente la mediana que informa el manual
   3. Q1: posición 13 × 0,25 = 3,25, una cuarta parte del camino del 2 de la posición 3 al 4 de la posición 4, así que Q1 = 2,5
   4. Q3: posición 13 × 0,75 = 9,75, tres cuartas partes del camino de 8,3 a 9, así que Q3 = 8,825
   5. RIC: 8,825 − 2,5 = 6,325

   Estos mismos catorce números aparecen en la sección de medidas de posición de OpenStax, que usa el método de las mitades e informa de Q1 = 2 y Q3 = 9, con un RIC de 7. Las dos respuestas salen de una regla documentada y enseñable; difieren porque interpolan de forma distinta entre las mismas observaciones. La mediana coincide exactamente, que es la parte tranquilizadora: sea cual sea la convención, el centro de un conjunto de datos es el centro de un conjunto de datos.

Cuatro puntos de corte no describen por sí solos una distribución. Dos conjuntos de datos pueden compartir todos los cuartiles y no parecerse en nada —uno agrupado, otro con dos jorobas—, así que lee el resumen de cinco números junto a un histograma cuando la forma importe. Los cuartiles son además una convención y no un hecho: esta página interpola entre valores vecinos, siguiendo Hyndman–Fan type 7, y el método de las mitades que usan muchos manuales dará números distintos siempre que la cantidad no sea múltiplo de cuatro. La cantidad importa de otra manera también: con menos de cuatro valores todos los cuartiles son una interpolación, y con un solo valor los cinco números son ese valor y el RIC es cero, porque no hay ninguna dispersión que medir. La lista está limitada a 200 valores, y una forma como 1.500 se rechaza en lugar de adivinarse, porque una marca entre dígitos es un separador de millares en unos países y una parte decimal en otros. Nada en esta página marca valores atípicos: la valla de 1,5 × RIC es la regla estándar para eso, y aplicarla es trabajo de otra herramienta.

¿Cómo se calculan los cuartiles de un conjunto de datos?

Ordena la lista y lee tres posiciones: (n − 1) × 0,25 para Q1, (n − 1) × 0,50 para Q2 y (n − 1) × 0,75 para Q3, interpolando cuando una posición cae entre dos valores. Con ocho valores las posiciones son 1,75, 3,5 y 5,25, lo que da Q1 = 4, Q2 = 4,5 y Q3 = 5,5. El rango intercuartílico es entonces Q3 − Q1, que aquí es 1,5. Los tres cuartiles más el valor más pequeño y el más grande se imprimen arriba, así que el resumen completo cabe en una pantalla.

¿Por qué mi Q1 no coincide con el de otra calculadora?

Porque los cuartiles son una convención y no un hecho, y las dos convenciones habituales discrepan siempre que la cantidad no sea múltiplo de cuatro. Esta página interpola entre valores vecinos, siguiendo Hyndman–Fan type 7, el valor por defecto en R y en NumPy. Muchos manuales, entre ellos OpenStax, parten los datos por la mediana y toman el centro de cada mitad: con sus propios catorce valores eso da Q1 = 2 y Q3 = 9, mientras que esta página devuelve 2,5 y 8,825. Las dos son reglas documentadas. Q2, la mediana, sale idéntica en ambos casos.

¿Qué me dice el rango intercuartílico?

Es la anchura de la mitad central de los datos: el tramo que contiene el 50 % de los valores que queda entre Q1 y Q3. Lleva las unidades de tus datos, así que un RIC de 1,5 significa que la mitad central abarca 1,5 de lo que sea que midieras. Como tira los cuartos superior e inferior, una sola lectura extrema apenas lo mueve, y por eso es la dispersión que se suele citar junto a una mediana. Un RIC de cero significa que la mitad central es un único valor repetido —la mitad de tus datos o más son idénticos— y no que algo haya ido mal.

¿Qué es el resumen de cinco números?

El valor más pequeño, Q1, la mediana, Q3 y el valor más grande: los cinco números que imprime esta página, normalmente escritos en ese orden. Es la forma estándar de describir un conjunto de datos sin suponer ninguna forma concreta, y es exactamente lo que dibuja un diagrama de caja: una caja de Q1 a Q3 con una línea en la mediana, y bigotes hasta los extremos. El RIC que aparece arriba no es uno de los cinco: es Q3 − Q1, la anchura de la caja.

¿Puede un cuartil ser un valor que no está en mis datos?

Sí, y con listas cortas es lo habitual. Un cuartil es una posición en la escala de los datos, así que 1,75 para los cuatro valores 1, 2, 3 y 4 es un primer cuartil perfectamente normal aunque el 1,75 no aparezca en la lista. Cuando la posición cae justo sobre un número entero, el cuartil coincide con un valor observado. Los dos casos se imprimen con la cantidad al lado, para que se vea cuál de los dos estás mirando.

¿Esta página marca valores atípicos?

No. Te da el rango intercuartílico, que es la entrada de la regla estándar: un valor se trata como posible atípico si queda a más de 1,5 × RIC por debajo de Q1 o por encima de Q3. Aplicar esa valla es a propósito tarea de otra herramienta, para que esta página siga siendo una descripción honesta de los datos y no un veredicto sobre qué puntos hay que descartar. Para los ocho valores del primer ejemplo, 1,5 × RIC es 2,25, así que la valla va de 1,75 a 7,75.

• Measures of the Location of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.3 (defines the quartiles and the interquartile range as the spread of the middle half, and works through the 14-value example; its halves method differs from the interpolation used here) — OpenStax, Rice University
• quantile — NumPy reference (the method="linear" default interpolates exactly as this page does) — NumPy
• Measures of Scale — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6 (defines the interquartile range as the 75th percentile minus the 25th percentile, and explains why it stays stable on data with extreme values in the tails) — National Institute of Standards and Technology (NIST)