¿Cuál es la fórmula de la ley de Hooke?

F = kx, la fuerza del muelle es igual a la rigidez multiplicada por el desplazamiento desde la posición de reposo. Con una rigidez de 100 N/m y un estiramiento de 10 cm, la fuerza es 100 × 0,1 = 10 N. La fórmula tiene tres magnitudes, así que conociendo dos se despeja la tercera: es lo que hace esta calculadora cuando se deja un campo en blanco.

¿Por qué hay que rellenar solo dos de los tres campos?

Porque la ley de Hooke relaciona tres magnitudes y con dos cualesquiera queda la tercera determinada. Si rellenas la rigidez y el desplazamiento, la página calcula la fuerza; si rellenas la fuerza y el desplazamiento, despeja la rigidez, que es el caso de caracterizar un muelle desconocido; y si rellenas la rigidez y la fuerza, devuelve el desplazamiento, que es el caso de saber si un muelle dado da el recorrido que hace falta. Si se rellenan los tres, el resultado de la fuerza se calcula con la rigidez y el desplazamiento y la fuerza introducida se ignora.

¿Cómo se mide la constante de un muelle?

Con el montaje clásico: se cuelga una masa conocida del muelle, se mide el alargamiento y se divide la fuerza entre el desplazamiento. Una masa de 1 kg pesa 9,80665 N, así que si el muelle se alarga 3,92 cm la rigidez es 9,80665 ÷ 0,0392 = 250 N/m. Conviene repetir la medida con dos o tres pesos y dibujar los puntos: si caen sobre una recta que pasa por el origen, el muelle es lineal y la constante es fiable; si se curvan hacia arriba, el muelle está saliendo de su rango elástico o las espiras se están tocando.

¿Qué significa la rigidez de un muelle en N/m?

Que hace falta esa fuerza por cada metro de estiramiento. Un muelle de 100 N/m necesita 100 N para estirarse un metro entero, o sea 10 N para estirarse 10 cm; y uno de 1000 N/m necesita diez veces más, 100 N por cada 10 cm. En la práctica la unidad N/mm es más cómoda para muelles pequeños, porque un valor típico queda en números enteros: 100 N/m es 0,1 N/mm, y 1000 N/m es 1 N/mm.

¿Qué pasa si se estira un muelle más allá de su límite elástico?

Que deja de cumplir la ley de Hooke y, cuando se suelta, no vuelve a su longitud original: se ha deformado de forma permanente. A partir de ese punto la rigidez aparente cambia, así que la constante que se había medido antes deja de valer, y el muelle puede además romperse si se sigue estirando. Es el mismo fenómeno que en cualquier material, y el motivo de que las especificaciones de un muelle incluyan un recorrido máximo útil además de la constante: la cifra de k solo describe el comportamiento dentro de ese recorrido.

¿La rigidez depende de la longitud del muelle?

Sí, y por eso dos muelles del mismo alambre pueden tener constantes distintas. Un muelle largo es más blando que uno corto del mismo material y del mismo diámetro de espira, porque cada espira se deforma la misma cantidad y el alargamiento total es la suma de todas: cortar un muelle por la mitad lo vuelve dos veces más rígido. La constante es por tanto una propiedad de ese muelle concreto, con su número de espiras y su longitud, y no del material con el que está hecho.

Calculadora de la ley de Hooke

Resultado

10,00 N

Fuerza del muelle

Constante del muelle: 100,000 N/m
Desplazamiento del muelle: 10,000 cm

Calculadora de la ley de Hooke: la fuerza que hace un muelle cuando se estira o se comprime, su rigidez, y cuánto se desplaza. La fórmula de la ley de Hooke es F = kx, la más sencilla de toda esta categoría: la fuerza es proporcional al desplazamiento, el doble de estiramiento es el doble de fuerza, y la constante de proporcionalidad es la rigidez del muelle. Esa linealidad es lo que hace útil a un muelle: se puede predecir su comportamiento con una sola cifra, k, y esa cifra se puede medir en un minuto con una balanza y una regla. Los valores por defecto son un muelle de 100 N/m estirado 10 cm, que hace 10 N de fuerza, aproximadamente el peso de un litro de agua; y la página tiene una particularidad que conviene conocer desde el principio: los tres campos son opcionales y hay que rellenar exactamente dos, porque la calculadora resuelve el tercero. Si dejas la rigidez en blanco, la despeja de la fuerza y del desplazamiento; si dejas el desplazamiento, lo saca de la fuerza y de la constante. Eso la convierte en la herramienta con la que se identifica un muelle desconocido, y en la que se usa para comprobar si un muelle dado sirve para el trabajo que se le quiere encomendar.

La misma rigidez en tres unidades

Rigidez (N/m)	Rigidez (N/mm)	Rigidez (lbf/in)
10	0.01	0.057
50	0.05	0.286
100	0.1	0.571
500	0.5	2.855
1000	1	5.71
5000	5	28.551
10000	10	57.101
100000	100	571.015

Es una tabla de conversión y no de física: las tres columnas describen el mismo muelle, y multiplicar cualquiera de ellas por el desplazamiento en su unidad correspondiente da la misma fuerza. Las equivalencias que conviene retener son 1000 N/m = 1 N/mm = 5,71 lbf/in, porque son las que aparecen en las fichas técnicas, y el factor entre N/m y lbf/in es 5,7101. La tabla cubre cuatro órdenes de magnitud a propósito: 10 N/m es un muelle de bolígrafo, 100 N/m el de un juguete, 1000 N/m el de un pulsador o una válvula, y 100.000 N/m ya es un muelle de suspensión de vehículo o de un mecanismo industrial. Con el desplazamiento de trabajo que se tenga en mente, esa columna se multiplica por el recorrido y sale la fuerza: un muelle de 100.000 N/m comprimido 10 cm hace 10 kN, una tonelada.

Fórmula

fuerza del muelle = rigidez × desplazamiento rigidez = fuerza del muelle ÷ desplazamiento desplazamiento = fuerza del muelle ÷ rigidez

k: Constante del muelle, o rigidez: la fuerza por unidad de estiramiento, en N/m por defecto; la casilla acepta kN/m, N/mm y lbf/in. Es la pendiente de la recta fuerza-desplazamiento, y cuanto mayor sea, más duro es el muelle. Es el dato que hay que dejar en blanco cuando se quiere medir la rigidez de un muelle desconocido
x: Desplazamiento del muelle desde su longitud de reposo, en centímetros por defecto; la casilla acepta metros, milímetros y pulgadas. El estiramiento del muelle se mide desde la posición natural y no desde el montaje, y cuenta igual un estiramiento que una compresión, con el signo de la fuerza invertido
F: Fuerza del muelle, en newtons, en el desplazamiento dado. Es la fuerza que el muelle hace y a la vez la que hay que hacer para mantenerlo ahí, y crece en línea recta: no hay ningún umbral que superar y ningún valor por debajo del cual el muelle no responda. Es el dato que se deja en blanco cuando lo que se busca es cuánta fuerza hace falta para deformarlo una cantidad concreta

Usa esta página para las tres preguntas que se hacen con un muelle en la mano. Si tienes un muelle de rigidez conocida y quieres saber cuánto se estira con un peso dado, deja el desplazamiento en blanco. Si tienes un muelle desconocido y mides cuánto se alarga con una fuerza conocida, deja la rigidez en blanco y esto se convierte en el método para caracterizarlo: cuelgas una masa, mides el alargamiento y despejas k, que es el experimento que se hace en cualquier laboratorio de física de secundaria. Y si sabes cuánto tiene que moverse algo y cuánta fuerza hay disponible, deja la fuerza en blanco y sabrás si el muelle que tienes sirve. Dos detalles hacen que el resultado sea fiable o inútil. El primero es la unidad del desplazamiento, que va en centímetros en la casilla y en metros en la fórmula: 10 cm son 0,1 m, y multiplicar por 10 en lugar de por 0,1 da un resultado cien veces mayor. El segundo es el rango de validez: la ley de Hooke solo describe el tramo elástico y lineal del muelle, y pasado su límite elástico la rigidez cambia y el muelle no vuelve a su longitud original, así que conviene comprobar que el desplazamiento que se pide está dentro del recorrido útil. Todo lo que se puede calcular aquí es fuerza y geometría; si lo que buscas es la energía que el muelle guarda en ese desplazamiento, esa es otra pregunta y tiene su propia página, la de energía elástica.

Ejemplos resueltos

El muelle por defecto, estirado 10 cm
1. Rigidez: 100 N/m. Desplazamiento: 10 cm, que son 0,1 m — la fórmula va en metros
2. Fuerza del muelle: 100 × 0,1 = 10 N
3. Las otras dos filas repiten los datos de entrada, porque no había nada que despejar
4. Compáralo con una masa de 1 kg colgada de ese muelle: tiraría con 9,81 N y lo estiraría 9,81 cm
Diez newtons es el peso de un litro de agua, y esa comparación es la manera más rápida de saber qué significa una rigidez de 100 N/m: cuelga una botella de litro de este muelle y se estira alrededor de un centímetro por cada 100 gramos. Lo otro que hay que llevarse de esta fila es la trampa de unidades que atraviesa — los 10 cm tenían que convertirse en 0,1 m antes de multiplicar, y hacerlo al revés da 1000 N, cien veces demasiado. Ese es el error de cálculo más frecuente en esta página, y la razón de que el campo esté rotulado en centímetros mientras la fórmula no.
Se conoce la fuerza y no la rigidez: 25 N a 10 cm
1. Fuerza conocida: 25 N. Desplazamiento conocido: 10 cm = 0,1 m
2. Rigidez despejada: 25 ÷ 0,1 = 250 N/m
3. Fuerza y desplazamiento se repiten en la salida, porque eran los datos
4. Comprobación: 250 N/m × 0,1 m = 25 N, y vuelve a salir el dato de partida
Este es el caso del muelle desconocido que se quiere caracterizar, y es el experimento clásico: se cuelga un peso conocido, se mide cuánto se alarga con una regla y se divide. La comprobación de la última línea es la que hay que hacer siempre, porque este cálculo despeja una división y un error de unidades no avisa: si el desplazamiento se hubiera metido en centímetros, la rigidez habría salido 2,5 N/m, un muelle doscientas veces más blando del que se tiene en la mano. Conviene repetir la medida con dos o tres pesos distintos y comprobar que los puntos caen sobre una recta: si no lo hacen, el muelle está trabajando fuera de su zona lineal y la constante que se ha medido no lo describe.
Muelle conocido, fuerza conocida: ¿cuánto se desplaza?
1. Rigidez conocida: 1000 N/m. Fuerza disponible: 30 N
2. Desplazamiento despejado: 30 ÷ 1000 = 0,03 m
3. En la unidad de la casilla: 3 cm
4. Comprobación: 1000 × 0,03 = 30 N
La tercera dirección del cálculo es la que sirve para dimensionar: con un muelle de 1000 N/m y 30 N de fuerza disponible, el muelle se mueve 3 cm, y de ahí sale si ese movimiento es suficiente para el mecanismo o si hace falta un muelle más blando. Fíjate en la relación: con la misma fuerza, un muelle diez veces más rígido se mueve diez veces menos, así que la elección de k es directamente la elección del recorrido que se obtiene para una fuerza dada. Es el cálculo típico de un pulsador, de una válvula o de un tope, donde lo que se busca no es la fuerza máxima sino el recorrido útil.

Limitaciones

La ley de Hooke describe un comportamiento lineal y elástico, y ningún muelle real lo cumple en todo su recorrido. Todo muelle tiene un límite elástico por encima del cual la deformación deja de ser reversible, y la fórmula sigue dando un número aunque se haya pasado; un muelle estirado más allá de ese punto no vuelve a su longitud original y su rigidez ya no es la misma. Dentro del rango elástico los muelles reales también se desvían de la recta: un muelle de compresión se vuelve mucho más rígido cuando las espiras empiezan a tocarse, y un muelle progresivo cambia de pendiente a propósito. La rigidez se trata como una constante, pero en un muelle real depende de la temperatura, del número de ciclos que lleva y del montaje, y en un muelle muy estirado la sección del alambre se reduce y la constante cambia con el desplazamiento. La fórmula supone además que el muelle está descargado en su posición de reposo: un muelle de suspensión que ya soporta el peso del vehículo trabaja alrededor de un punto desplazado, y el desplazamiento que hay que usar es el que se mide desde ese punto de equilibrio, no desde la longitud libre. No hay masa en el cálculo: en un muelle que se suelta de golpe, la propia inercia de las espiras hace que el comportamiento no sea el de la ley de Hooke estática, y la fuerza que aparece en un choque puede superar bastante la que predice la fórmula con el desplazamiento máximo. Tampoco entra el amortiguamiento ni la histéresis, de modo que la fuerza de vuelta es algo menor que la de ida. Por último, la página calcula fuerzas y desplazamientos y no energías: la energía almacenada es ½kx², una cantidad cuadrática en el desplazamiento, y tiene su propia página en este mismo subgrupo.

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la fórmula de la ley de Hooke?: F = kx, la fuerza del muelle es igual a la rigidez multiplicada por el desplazamiento desde la posición de reposo. Con una rigidez de 100 N/m y un estiramiento de 10 cm, la fuerza es 100 × 0,1 = 10 N. La fórmula tiene tres magnitudes, así que conociendo dos se despeja la tercera: es lo que hace esta calculadora cuando se deja un campo en blanco.
¿Por qué hay que rellenar solo dos de los tres campos?: Porque la ley de Hooke relaciona tres magnitudes y con dos cualesquiera queda la tercera determinada. Si rellenas la rigidez y el desplazamiento, la página calcula la fuerza; si rellenas la fuerza y el desplazamiento, despeja la rigidez, que es el caso de caracterizar un muelle desconocido; y si rellenas la rigidez y la fuerza, devuelve el desplazamiento, que es el caso de saber si un muelle dado da el recorrido que hace falta. Si se rellenan los tres, el resultado de la fuerza se calcula con la rigidez y el desplazamiento y la fuerza introducida se ignora.
¿Cómo se mide la constante de un muelle?: Con el montaje clásico: se cuelga una masa conocida del muelle, se mide el alargamiento y se divide la fuerza entre el desplazamiento. Una masa de 1 kg pesa 9,80665 N, así que si el muelle se alarga 3,92 cm la rigidez es 9,80665 ÷ 0,0392 = 250 N/m. Conviene repetir la medida con dos o tres pesos y dibujar los puntos: si caen sobre una recta que pasa por el origen, el muelle es lineal y la constante es fiable; si se curvan hacia arriba, el muelle está saliendo de su rango elástico o las espiras se están tocando.
¿Qué significa la rigidez de un muelle en N/m?: Que hace falta esa fuerza por cada metro de estiramiento. Un muelle de 100 N/m necesita 100 N para estirarse un metro entero, o sea 10 N para estirarse 10 cm; y uno de 1000 N/m necesita diez veces más, 100 N por cada 10 cm. En la práctica la unidad N/mm es más cómoda para muelles pequeños, porque un valor típico queda en números enteros: 100 N/m es 0,1 N/mm, y 1000 N/m es 1 N/mm.
¿Qué pasa si se estira un muelle más allá de su límite elástico?: Que deja de cumplir la ley de Hooke y, cuando se suelta, no vuelve a su longitud original: se ha deformado de forma permanente. A partir de ese punto la rigidez aparente cambia, así que la constante que se había medido antes deja de valer, y el muelle puede además romperse si se sigue estirando. Es el mismo fenómeno que en cualquier material, y el motivo de que las especificaciones de un muelle incluyan un recorrido máximo útil además de la constante: la cifra de k solo describe el comportamiento dentro de ese recorrido.
¿La rigidez depende de la longitud del muelle?: Sí, y por eso dos muelles del mismo alambre pueden tener constantes distintas. Un muelle largo es más blando que uno corto del mismo material y del mismo diámetro de espira, porque cada espira se deforma la misma cantidad y el alargamiento total es la suma de todas: cortar un muelle por la mitad lo vuelve dos veces más rígido. La constante es por tanto una propiedad de ese muelle concreto, con su número de espiras y su longitud, y no del material con el que está hecho.

Referencias

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