Calculadora de fuerza gravitatoria

fuerza gravitatoria = G × masa del primer cuerpo × masa del segundo cuerpo ÷ distancia entre los centros² G = 6,6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg² gravedad superficial = G × masa del cuerpo ÷ su radio²

G

Constante de gravitación universal, 6,6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg². Es la constante física fundamental peor medida de todas, con una incertidumbre relativa de unas 2,2 × 10⁻⁵, y su valor diminuto es la razón de que la gravedad sea la más débil de las cuatro fuerzas fundamentales: domina el universo porque no se puede apantallar y solo suma, y no porque sea fuerte

m₁

Masa del primer cuerpo, en kilogramos; la casilla acepta gramos, toneladas y libras. La fórmula es simétrica en las dos masas, así que el orden no cambia nada y solo hay que dejar claro cuál es cuál

m₂

Masa del segundo cuerpo, en las mismas unidades. Lo que decide el resultado es el producto de las dos, y por eso la fuerza se desploma tan rápido con la distancia: pasar de dos personas a un planeta multiplica la masa por 10²²

r

Distancia entre los centros de los dos cuerpos, en metros; la casilla acepta kilómetros, centímetros, pies y millas. Se mide de centro a centro y no entre superficies, así que para un objeto sobre la Tierra hay que usar el radio del planeta, 6371 km, y no la altura a la que está

F

Fuerza gravitatoria entre los dos cuerpos, en newtons y en libras-fuerza. Es la misma fuerza sobre cada uno de ellos, en sentidos contrarios, y no se apantalla: poner algo en medio no la reduce, y por eso no existe una jaula antigravedad

Usa esta página para poner una atracción concreta en números: saber cuánto tira la Tierra de un satélite a su altura de trabajo, calcular la fuerza entre dos cuerpos celestes, entender por qué la gravedad superficial de la Luna es una sexta parte de la terrestre, o simplemente comprobar lo débil que resulta la gravedad entre dos objetos cotidianos. La tabla que hay más abajo reúne la masa, el radio y la gravedad superficial de ocho cuerpos del sistema solar, y con esas tres columnas se pueden reconstruir casi todas las comparaciones que uno quiere hacer: la columna de masa relativa dice cuánto tira el cuerpo, la de radio dice a qué distancia del centro se nota, y la de gravedad superficial es el resultado de las dos: la masa y la distancia son las dos únicas entradas de la ley, y todo lo demás sale de combinarlas. Dos cosas conviene tener claras antes de interpretar el resultado. La primera es que la fórmula usa distancias entre centros: para un objeto en la superficie terrestre r es el radio de la Tierra, 6371 km, y no la altura sobre el suelo, que a escala planetaria es despreciable, mientras que para un satélite en órbita r sí es el radio del planeta más la altura. La segunda es que la fuerza no depende del medio que haya entre los dos cuerpos, así que no existe nada que la apantalle y no se puede construir un aislante gravitatorio; en cambio, la fuerza que mide esta página sobre un objeto en la superficie de un planeta es igual a su peso, lo que quiere decir que la fórmula del peso, P = mg, no es más que esta ley con los datos del planeta ya sustituidos.

1. Dos personas de 70 kg, a un metro de distancia

   1. Masas: 70 kg y 70 kg, y la distancia entre sus centros es 1 m
   2. Producto de las masas: 70 × 70 = 4900 kg²
   3. Cuadrado de la distancia: 1² = 1 m²
   4. Fuerza: 6,6743 × 10⁻¹¹ × 4900 ÷ 1 = 3,2704 × 10⁻⁷ N
   5. En libras-fuerza: 3,2704 × 10⁻⁷ ÷ 4,4482 = 7,352 × 10⁻⁸ lbf

   Un tercio de micronewton, y esa es la cifra que hace que el tema encaje: dos personas de pie una al lado de la otra se atraen con la fuerza con la que pesaría una fracción de miligramo, y nada en la vida diaria lo delata. Fíjate en que la aritmética no sale nunca del exponente: 4900 tiene cuatro dígitos y el factor que encoge el resultado es el 10⁻¹¹. En ese sentido se dice que la gravedad es débil, no porque su constante sea pequeña comparada con otros números, sino porque es pequeña comparada con cualquier masa que un ser humano pueda poner en juego.

2. La Tierra y la Luna

   1. Masas: 5,972 × 10²⁴ kg la Tierra y 7,342 × 10²² kg la Luna
   2. Distancia entre los centros: 384.400 km = 3,844 × 10⁸ m
   3. Producto de las masas: 4,384 × 10⁴⁷ kg²
   4. Cuadrado de la distancia: (3,844 × 10⁸)² = 1,4776 × 10¹⁷ m²
   5. Fuerza: 6,6743 × 10⁻¹¹ × 4,384 × 10⁴⁷ ÷ 1,4776 × 10¹⁷ = 1,980 × 10²⁰ N
   6. En libras-fuerza: 4,452 × 10¹⁹ lbf

   Cien trillones de newtons, y ese número es exactamente la fuerza centrípeta que mantiene a la Luna en su órbita: la Luna cae hacia la Tierra igual que una piedra, solo que va tan deprisa de lado que la superficie del planeta se le curva por debajo y no llega a tocarlo. Las dos masas entran igual en el producto, así que la Tierra tira de la Luna con la misma fuerza con la que la Luna tira de la Tierra, y lo que las distingue es la aceleración: 1,98 × 10²⁰ N divididos entre la masa de la Luna dan 0,0027 m/s², y los mismos newtons divididos entre la masa terrestre dan 3,3 × 10⁻⁵ m/s², que es el pequeño bamboleo de la Tierra alrededor del centro de masas común.

3. La Tierra y una persona de 70 kg de pie sobre ella

   1. Masas: 5,972 × 10²⁴ kg la Tierra y 70 kg la persona
   2. Distancia entre los centros: el radio de la Tierra, 6.371.000 m — no la altura sobre el suelo
   3. Producto de las masas: 4,1804 × 10²⁶ kg²
   4. Cuadrado de la distancia: 6.371.000² = 4,059 × 10¹³ m²
   5. Fuerza: 6,6743 × 10⁻¹¹ × 4,1804 × 10²⁶ ÷ 4,059 × 10¹³ = 687,398 N
   6. En libras-fuerza: 154,533 lbf

   Este resultado es el peso de la persona, y equivale a multiplicar 70 kg por la gravedad estándar: 70 × 9,80665 = 686,5 N, prácticamente lo mismo, con la diferencia de que aquí se ha usado el radio medio terrestre y una masa media, mientras que el peso real varía con la latitud y con la altitud. Esa coincidencia no es un accidente: la fórmula del peso, P = mg, es esta misma ley con la masa y el radio del planeta ya metidos dentro de la g. Volver a mirar el cálculo desde fuera es lo que hace entender por qué el peso cambia de un planeta a otro: el radio importa tanto como la masa, y por eso Marte, con un 11 % de la masa terrestre y la mitad de su radio, tiene un 38 % de la gravedad superficial.

La fórmula es exacta solo para masas puntuales, y se puede aplicar a esferas sin más que medir la distancia desde sus centros: eso es un teorema para cuerpos esféricamente simétricos, y por eso vale para planetas y estrellas, pero no para una montaña, un satélite alargado o un asteroide irregular, donde la fuerza depende de la forma y de la orientación. La constante G es la constante fundamental peor medida de la física, con una incertidumbre relativa del orden de 2,2 × 10⁻⁵, así que el resultado hereda ese margen y no tiene sentido dar más de cuatro o cinco cifras significativas por buenas. El cálculo es newtoniano y de dos cuerpos: no incluye la precesión del perihelio de Mercurio ni la curvatura del espaciotiempo, que son efectos relativistas y solo importan en campos muy intensos o en órbitas muy precisas, y supone que no hay un tercer cuerpo cuya atracción perturbe el sistema, que es lo que hace que las órbitas reales de los satélites y de la Luna se desvíen de la predicción de dos cuerpos. Tampoco entra la rotación: en un planeta que gira, la fuerza gravitatoria no es el peso aparente, porque hay que restar la aceleración centrífuga del ecuador, y por eso la gravedad efectiva es mayor en los polos que en el ecuador. La masa se trata como constante, aunque en relatividad general la energía también gravita, de modo que un objeto caliente o cargado pesa algo más que el mismo objeto frío. Por último, la fuerza entre dos masas de tamaño humano es tan pequeña que cualquier otra interacción la enmascara, así que el resultado de la primera fila no se puede medir en la práctica con instrumentos de sobremesa; hace falta una balanza de torsión, que es precisamente con lo que Cavendish midió G en 1798.

¿Cuál es la fórmula de la fuerza gravitatoria?

F = G·m₁m₂ ÷ r², con G = 6,6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg², las dos masas en kilogramos y la distancia entre sus centros en metros. Dos personas de 70 kg a un metro se atraen con 3,270 × 10⁻⁷ N, y la Tierra con una persona de 70 kg, a 6371 km de distancia entre centros, con 687,398 N. La fuerza es la misma sobre cada cuerpo y apunta siempre hacia el otro.

¿Por qué la distancia se mide entre los centros y no entre las superficies?

Porque para un cuerpo con simetría esférica la gravedad que ejerce es idéntica a la que ejercería toda su masa concentrada en su centro: ese resultado se llama teorema de la corteza y es lo que permite usar la fórmula sin más. En la práctica significa que para un objeto sobre la Tierra hay que usar el radio del planeta, 6371 km, y no la altura a la que esté. Un satélite a 400 km de altura se encuentra a 6771 km del centro, y esa diferencia del 6 % reduce la fuerza un 12 %.

¿Por qué la gravedad es tan débil entre dos personas?

Porque la constante G vale 6,6743 × 10⁻¹¹, un valor diminuto, y la fuerza crece con el producto de las masas, que entre dos personas es de unos pocos miles. El resultado son décimas de micronewton, fuerzas que quedan completamente enmascaradas por cualquier vibración, corriente de aire o carga electrostática del entorno. La gravedad domina a escala astronómica no porque sea fuerte, sino porque no se puede apantallar, es siempre atractiva y se acumula sin límite cuando hay mucha masa.

¿Qué es la gravedad superficial de un planeta?

Es la aceleración que ese planeta comunica a un objeto en su superficie, y sale de la misma ley con las dos masas del sistema y el radio del planeta: g = G·M ÷ R². La Tierra tiene 9,82 m/s², la Luna 1,62 y Júpiter 25,92, y esa cifra es la que multiplica a la masa para dar el peso. El radio cuenta tanto como la masa: Marte tiene un 11 % de la masa terrestre y un 53 % de su radio, y su gravedad superficial es el 38 % de la nuestra.

¿Se puede apantallar la gravedad?

No. No se conoce ningún material ni configuración que reduzca la atracción gravitatoria entre dos cuerpos, y no es una limitación tecnológica sino una propiedad de la ley: la masa que pongas en medio añade su propia atracción en lugar de restarla. Los intentos de medir un efecto de apantallamiento han dado siempre resultados nulos, y la relatividad general explica por qué: la gravedad no es una fuerza que se propague por un medio que se pueda bloquear, sino la geometría del espaciotiempo.

¿Por qué la gravedad de la Luna es una sexta parte de la terrestre?

Porque su masa es 0,012 veces la terrestre y su radio 0,273 veces el terrestre, y en g = G·M ÷ R² el radio entra al cuadrado: 0,012 ÷ 0,273² = 0,161, o sea un 16 %, aproximadamente una sexta parte. La comprobación se hace con la tabla de esta página, 1,62 m/s² frente a 9,82 m/s², y sirve para ver que un cuerpo pequeño y denso puede tener una gravedad apreciable: la relación entre masa y radio decide el resultado, no la masa sola.

• Newton's Universal Law of Gravitation (College Physics 2e, §6.5) — F = Gm₁m₂/r², the centre-to-centre distance in the derivation, and surface gravity as the same law applied to a planet — OpenStax
• Newton's law of universal gravitation — the shell theorem that lets spheres be treated as point masses, the measurement of G, and the limits of the two-body model — Wikipedia
• CODATA Value: Newtonian constant of gravitation — the recommended value G = 6.67430 × 10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻² and its relative standard uncertainty of 2.2 × 10⁻⁵ — National Institute of Standards and Technology