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CalcMax

Calculadora de elipse

Intervalo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Intervalo: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Resultado

47,1239 cm²

Superficie

Perímetro
25,5270 cm
Excentricidad
0,8000

La calculadora de elipse toma los dos ejes de una elipse y devuelve su área, su perímetro y su excentricidad. El área es exacta, el perímetro es una aproximación y la excentricidad es un número entre 0 y 1 que mide cuánto se aparta la figura de ser un círculo. La distinción entre eje y semieje es lo primero que hay que fijar, porque es de donde salen casi todos los errores de esta página. Un eje mayor de 10 significa que la elipse mide 10 centímetros de punta a punta en su dirección más larga; el semieje mayor es la mitad, 5, y es el número que entra en las fórmulas. Esta página pide los ejes completos, que es lo que se mide con una regla sobre un dibujo o lo que dice la ficha de un óvalo, y hace la división entre dos por dentro. Si tu dato era en realidad un semieje, multiplícalo por dos antes de escribirlo, porque el área crece con el cuadrado y el error no será pequeño: con 10 y 6 el área es 47,1239, y con 5 y 3, que es lo que saldría de confundirse, el área es 11,7810. El área no necesita ninguna explicación: es π por el semieje mayor por el semieje menor, exactamente igual que el área de un círculo salvo que hay dos radios distintos. El perímetro sí la necesita. No existe una fórmula cerrada para el perímetro de una elipse, y esa es una rareza que conviene saber: el área se calcula con una multiplicación y el perímetro no se puede calcular del todo, solo aproximar. La página usa la aproximación de Ramanujan, que para cualquier elipse corriente se queda por debajo del error de redondeo a cuatro decimales, pero que se degrada en el caso extremo de una elipse muy aplastada, y por eso la última fila de la referencia lleva el eje menor a cero. La excentricidad es la medida del aplastamiento. Vale 0 en un círculo perfecto, sube a medida que la elipse se estira, y se acerca a 1 sin llegar nunca cuando la figura se convierte en una línea. Es la cifra que hay que mirar cuando se comparan dos elipses, porque el área sola no distingue una elipse redonda de una alargada del mismo tamaño, y la excentricidad sí: dos elipses con la misma área y excentricidades de 0,2 y 0,98 son figuras que no se parecen en nada.

Elipses que aparecen a menudo

Eje mayor (cm)Eje menor (cm)Área (cm²)Perímetro (cm)Excentricidad
101078.539831.41590
10862.831928.36170.6
10647.123925.5270.8
2012188.495651.0540.8
10431.415923.01310.9165
10215.70821.010.9798
1017.85420.31960.995
100019.9921

Los ejes de la tabla son los completos, los mismos que se escriben en la calculadora, y las áreas y los perímetros salen de dividirlos entre dos por dentro, así que la tabla y la página se leen igual. La primera fila es la entrada con la que carga la calculadora: 10 por 6, con un área de 47,1239, un perímetro de 25,527 y una excentricidad de 0,8 limpia, porque 3 y 5 vienen del triángulo 3-4-5. La segunda es la misma elipse al doble de tamaño: el área se multiplica por cuatro, el perímetro por dos y la excentricidad se queda igual, que es la demostración más corta de que la excentricidad mide forma y no tamaño. La tercera es el círculo de 10 por 10, con la excentricidad en cero y el perímetro exacto, porque el término de corrección desaparece. La cuarta, de 20 por 12, repite la proporción de la segunda y sirve para comprobar que ese 0,8 reaparece. La quinta, de 10 por 2, es una elipse muy alargada con la excentricidad en 0,9798, ya cerca del límite, y la sexta lleva el eje menor a cero para ver lo que hace la fórmula en el extremo: área nula, excentricidad exactamente 1 y un perímetro de 19,992 frente a los 20 que mide de verdad la figura degenerada, que es el error máximo de la aproximación.

Fórmula

A = πab P ≈ π(a + b)·(1 + 3h ÷ (10 + √(4 − 3h))) e = √(1 − b² ÷ a²)

a
El semieje mayor, que es la mitad del eje mayor que escribes. Es el radio de la elipse en su dirección más larga y siempre tiene que ser mayor o igual que el semieje menor; si escribes un eje mayor más corto que el menor, la página te lo dirá en vez de dar un resultado sin sentido
b
El semieje menor, la mitad del eje menor. Es el radio en la dirección corta. Cuando vale exactamente lo mismo que el semieje mayor la figura es un círculo, y entonces el área coincide con π por el radio al cuadrado y la excentricidad sale cero
πab
El área, una multiplicación directa de los dos semiejes por π. Es la única de las tres salidas que es exacta: no hay aproximación ni serie, y si los semiejes son exactos el área también lo es. Se imprime redondeada a cuatro decimales porque π es irracional
h
Un valor auxiliar del perímetro, igual a (a menos b) dividido entre (a más b), todo al cuadrado. Vale 0 en el círculo y se acerca a 1 en las elipses muy aplastadas, y es lo que mide lo mucho que los dos semiejes se diferencian entre sí en proporción a su suma
P
El perímetro, o longitud del borde, por la aproximación de Ramanujan. No es exacto y no puede serlo: la longitud del borde de una elipse no tiene fórmula cerrada, así que se calcula con esta expresión, que para las elipses corrientes es exacta hasta el cuarto decimal y solo se queda corta en las muy alargadas
e = √(1 − b² ÷ a²)
La excentricidad, entre 0 y 1. Vale 0 para el círculo, sube al estirarse la elipse y tiende a 1 cuando el eje menor se encoge hacia cero. Es independiente del tamaño: dos elipses con la misma proporción entre sus ejes tienen la misma excentricidad aunque una sea el doble de grande
Cuatro decimales
La precisión con que se imprimen las tres salidas. El área y el perímetro se recortan a cuatro decimales porque llevan π dentro, y la excentricidad igual porque casi siempre es una raíz cuadrada que tampoco termina

Se usa cuando hay que medir una figura ovalada y el dato que se tiene son sus dos anchos. El área y el perímetro de un espejo, de una mesa de comedor ovalada, de una piscina de forma elíptica o de la boca de un túnel: para pedir el material o calcular la pintura hace falta la superficie, y para el borde hace falta el perímetro. La excentricidad se usa cuando lo que importa es la forma y no el tamaño. En óptica y en astronomía es la cifra estándar para describir una órbita, porque una órbita es una elipse con el cuerpo central en uno de sus focos y su excentricidad decide si la trayectoria se parece a un círculo o a un cometa que se aleja mucho en un extremo. En dibujo técnico y en diseño sirve para que dos óvalos distintos se parezcan entre sí: igualar el área no lo consigue, igualar la excentricidad sí. Y hay un uso menos evidente que esta página facilita: comprobar que una figura es realmente un círculo. Si mides los dos ejes de algo que debería ser redondo, como una tubería o una pieza mecanizada, y la excentricidad sale distinta de cero, la pieza es ovalada y no redonda, y la excentricidad te dice cuánto. La página no convierte unidades: los ejes entran en centímetros en el ejemplo y en la tabla, pero la fórmula es indiferente a la unidad, así que área y perímetro salen en la unidad que hayas usado al cuadrado y sin elevar, respectivamente.

Ejemplos resueltos

  1. Una elipse de diez por seis

    1. Semiejes: 10 ÷ 2 = 5 y 6 ÷ 2 = 3
    2. Área: π × 5 × 3 = 47,1239
    3. Para el perímetro, h = (5 - 3)² ÷ (5 + 3)² = 4 ÷ 64 = 0,0625
    4. El factor de Ramanujan queda en 1 + 3 × 0,0625 ÷ (10 + √(4 - 0,1875)) = 1,0159, y π × 8 × 1,0159 = 25,527
    5. Excentricidad: √(1 - 9 ÷ 25) = √0,64 = 0,8

    La entrada con la que carga la página, y la que deja ver por qué la distinción entre eje y semieje importa tanto. Los semiejes son 5 y 3, y el área sale de multiplicarlos entre sí y por π. La excentricidad sale exactamente 0,8, un decimal limpio que no es casualidad: viene de que 3 y 5 forman el triángulo 3-4-5, así que la distancia de un foco al centro es 4 y el cociente 4 entre 5 da 0,8 sin redondeo. Merece la pena comparar el perímetro de 25,527 con la circunferencia de un círculo de radio 5, que serían 31,4159: la elipse tiene el mismo eje mayor pero mucho menos borde, porque le falta el trozo de arriba y de abajo.

  2. La misma proporción a doble tamaño

    1. Semiejes: 10 y 6
    2. Área: π × 10 × 6 = 188,4956, exactamente cuatro veces la del ejemplo anterior
    3. h = (10 - 6)² ÷ (10 + 6)² = 16 ÷ 256 = 0,0625, el mismo de antes
    4. Perímetro: π × 16 × 1,0159 = 51,054, el doble del anterior
    5. Excentricidad: √(1 - 36 ÷ 100) = √0,64 = 0,8, idéntica

    Los dos ejes multiplicados por dos, y las tres salidas se comportan cada una a su manera. El área se multiplica por cuatro, porque depende de dos longitudes. El perímetro se multiplica por dos, porque es una longitud. Y la excentricidad no cambia nada, porque es un cociente entre longitudes y el factor dos se cancela arriba y abajo. Ese es el sentido exacto de que la excentricidad describa la forma y no el tamaño, y esta fila es la demostración más corta que se puede hacer de ello.

  3. Un círculo

    1. Los dos semiejes valen 5
    2. Área: π × 5 × 5 = 78,5398, que es π por el radio al cuadrado
    3. h = (5 - 5)² ÷ (5 + 5)² = 0
    4. El factor de Ramanujan queda en 1 + 0 ÷ 11 = 1, así que el perímetro es π × 10 = 31,4159
    5. Excentricidad: √(1 - 25 ÷ 25) = √0 = 0

    El círculo entra en la fórmula como el caso en que los dos semiejes coinciden, y las tres salidas se reducen a las de siempre. El área es πr², el perímetro es 2πr y sale exacto en lugar de aproximado, porque con h igual a cero la corrección de Ramanujan desaparece y la fórmula se convierte en π por la suma de los semiejes. La excentricidad de cero es la firma del círculo, y sirve como comprobación: si al medir algo redondo sale distinta de cero, lo que mediste no era redondo.

  4. Una elipse muy alargada

    1. Semiejes: 5 y 1
    2. Área: π × 5 × 1 = 15,708
    3. h = (5 - 1)² ÷ (5 + 1)² = 16 ÷ 36 = 0,4444
    4. Perímetro: π × 6 × (1 + 3 × 0,4444 ÷ (10 + √(4 - 1,3333))) = π × 6 × 1,1149 = 21,01
    5. Excentricidad: √(1 - 1 ÷ 25) = √0,96 = 0,9798

    Aquí la elipse ya es más una cinta que un óvalo, y la excentricidad de 0,9798 avisa de ello: está muy cerca del 1 que solo alcanzaría una figura totalmente plana. El perímetro de 21,01 sigue siendo fiable, pero esta es la zona donde la aproximación de Ramanujan empieza a notarse, porque el valor de h se ha ido a 0,4444 y el término de corrección ya no es pequeño. Para comparar, una elipse más redondeada como la de 10 por 6 tenía h en 0,0625 y la corrección era de una milésima y media.

  5. El caso límite con el eje menor en cero

    1. Semiejes: 5 y 0
    2. Área: π × 5 × 0 = 0, porque un factor nulo anula el producto
    3. h = (5 - 0)² ÷ (5 + 0)² = 25 ÷ 25 = 1
    4. Perímetro: π × 5 × (1 + 3 ÷ (10 + √(4 - 3))) = π × 5 × 1,2727 = 19,992
    5. Excentricidad: √(1 - 0 ÷ 25) = √1 = 1

    El extremo al que se puede llegar sin que la figura deje de existir, y el más instructivo de la tabla. El área es cero porque la elipse se ha convertido en un segmento de longitud 10, así que no encierra nada. La excentricidad llega a 1, que es el valor que las elipses solo alcanzan en este límite exacto. Y el perímetro vale 19,992 en vez de 20: la elipse degenerada es un segmento que recorre sus 10 centímetros dos veces, o sea 20, y la aproximación de Ramanujan se queda corta en ocho milésimas. Ese es el error de la fórmula en su peor caso, y por eso la fila está aquí: sirve para poner un techo a la confianza que merece el perímetro cuando la elipse es extrema.

Limitaciones

El perímetro es una aproximación y no un valor exacto, porque la longitud del borde de una elipse no tiene fórmula cerrada. La aproximación de Ramanujan que usa esta página es correcta hasta el cuarto decimal en las elipses corrientes y solo se desvía en las muy aplastadas, donde el error puede llegar a unas pocas milésimas, como se ve en la última fila de la referencia, con 19,992 en lugar de 20. El área, en cambio, es exacta y no arrastra esa limitación. Los ejes que se piden son los completos y no los semiejes, y la página no puede adivinar cuál de los dos le estás dando: si escribes un semieje creyendo que es un eje, el área saldrá cuatro veces menor de lo que debería y nada lo advertirá. La página tampoco comprueba que el eje mayor sea realmente el mayor: si escribes 6 y 10 en el orden contrario, las tres salidas siguen siendo correctas para esa elipse, porque el área y el perímetro son simétricos respecto a los dos ejes y la excentricidad solo depende de la proporción, así que el resultado no será un error pero el orden de los campos no significará lo que dice la etiqueta. No hay entrada para la orientación ni para la posición, porque el área, el perímetro y la excentricidad no dependen de hacia dónde esté girada la elipse ni de dónde esté situada, y por eso la página no puede darte la ecuación de la elipse ni sus focos, que sí necesitarían esas coordenadas. Los ejes entran y las salidas salen en la unidad que uses, sin conversión y sin ninguna casilla para elegirla: el área va en esa unidad al cuadrado y el perímetro en la unidad simple, y una mezcla de centímetros y pulgadas entre los dos ejes dará un número sin sentido sin que nada lo señale. Los dos ejes deben ser mayores que cero, y el eje menor puede ser cero solo porque el caso límite es informativo; un eje mayor de cero no describe ninguna figura y la página lo rechazará.

Preguntas frecuentes

¿La fórmula del área de una elipse es exacta?
Sí, y es lo único exacto de esta página. El área es π multiplicado por el semieje mayor y por el semieje menor, sin aproximaciones ni series. Se imprime con cuatro decimales porque π es irracional y el producto casi nunca termina, no porque el método sea aproximado. Con 10 y 6 de ejes los semiejes son 5 y 3, el área es π por 15, o sea 47,1239, y ese valor es correcto hasta donde llega la precisión de π que se use.
¿Por qué el perímetro es aproximado y el área no?
Porque la longitud del borde de una elipse no se puede escribir con una fórmula cerrada. El área se obtiene con una multiplicación, pero el perímetro exige sumar infinitos trozos de una curva que no tiene expresión elemental, así que se aproxima. Esta página usa la fórmula de Ramanujan, que combina los dos semiejes con un término de corrección y es exacta hasta el cuarto decimal en las elipses normales. En las muy aplastadas el error crece: con los ejes 10 y 0 el perímetro real son 20 y la fórmula da 19,992.
¿Qué diferencia hay entre el eje y el semieje?
El semieje es la mitad del eje. El eje mayor es la anchura total de la elipse en su dirección larga, y el semieje mayor es la distancia del centro al borde. La página pide los ejes completos y hace la división por dentro, porque es lo que se mide con una regla sobre un dibujo. Confundirlos es el error más caro de esta página: con ejes de 10 y 6 el área es 47,1239, y con 5 y 3, que es lo que resultaría de dar semiejes en su lugar, el área baja a 11,7810, o sea cuatro veces menos.
¿Qué significa la excentricidad y qué valores puede tomar?
Es un número entre 0 y 1 que mide cuánto se aparta la elipse de ser un círculo. Vale 0 en el círculo perfecto, sube a medida que la figura se estira y se acerca a 1 sin alcanzarlo hasta el caso límite en que el eje menor se hace cero y la elipse degenera en un segmento. No depende del tamaño, solo de la proporción entre los dos ejes: dos elipses con la misma proporción tienen la misma excentricidad aunque una sea mucho más grande. Por eso es la cifra que sirve para comparar formas.
¿Sirve esta calculadora para una órbita?
Para el área y el perímetro de la elipse que describe la órbita, sí, y la excentricidad que devuelve es la misma magnitud que se usa en astronomía para describirla. Lo que esta página no hace es relacionar la órbita con el cuerpo central, porque no pide ni el periodo ni la masa ni la posición de los focos. Una órbita planetaria tiene una excentricidad baja y se parece bastante a un círculo, mientras que la de un cometa puede pasar de 0,9 y dibuja una elipse muy alargada, y el número de esta página basta para ver la diferencia.
¿Puedo escribir los dos ejes en unidades distintas?
Técnicamente la página lo aceptará y dará un número, pero el número no significará nada, porque la fórmula no convierte y no hay ninguna casilla para elegir unidad. Los dos ejes tienen que estar en la misma unidad, y entonces el área sale en esa unidad al cuadrado y el perímetro en la unidad simple. Con los ejes en centímetros, como en la tabla de referencia, el área va en centímetros cuadrados y el perímetro en centímetros. Si uno está en centímetros y el otro en pulgadas, convierte antes de escribir.

Referencias

Calculadoras relacionadas

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