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CalcMax

Calculadora de producto escalar

Resultado

8,0000

Producto escalar

Módulo de u
3,0000
Módulo de v
3,0000
Ángulo entre los vectores
27,2660 °

El producto escalar de dos vectores es un único número que dice cuánto apuntan los dos en la misma dirección. Escribes cada vector como una lista de componentes separadas por espacios y esta calculadora de vectores devuelve cuatro cosas: el producto escalar, el módulo de cada vector y el ángulo que forman entre sí. La cuenta en sí es corta. Se multiplica la primera componente de un vector por la primera del otro, la segunda por la segunda, y así hasta el final, y se suman todos esos productos. Para los vectores (1, 2, 2) y (2, 2, 1) los productos son 2, 4 y 2, que suman 8. Lo que hace que este número valga la pena no es la aritmética sino lo que lleva dentro. Si el producto escalar es positivo, los dos vectores apuntan más o menos hacia el mismo lado; si es negativo, van en sentidos opuestos; y si vale exactamente cero, son perpendiculares, y esa es la prueba de perpendicularidad que se usa en todas partes, porque es mucho más rápida que dibujar los dos vectores y mirar si forman un ángulo recto. El signo por sí solo no distingue entre «un poco en la misma dirección» y «casi lo mismo pero muy largos», y ahí es donde entran los módulos. El módulo de un vector es su longitud, y se calcula igual que una distancia desde el origen: se elevan las componentes al cuadrado, se suman y se saca la raíz cuadrada. Dividiendo el producto escalar entre el producto de los dos módulos se obtiene el coseno del ángulo, y de ahí sale el ángulo en grados. El coseno es la versión normalizada del producto escalar, y esa normalización es lo que convierte un número que depende del tamaño de los vectores en un número que solo depende de sus direcciones. Hay dos cosas que conviene tener presentes. Los dos vectores tienen que tener el mismo número de componentes: la página no rellena con ceros el más corto ni recorta el más largo, y si las listas no encajan te lo dirá en lugar de inventarse una respuesta. Y los vectores no llevan unidad, así que el producto escalar tampoco la lleva, mientras que los módulos van en lo que midan las componentes. Si las componentes son metros, los módulos son metros y el producto escalar son metros al cuadrado, lo cual no es un descuido: es la razón de que el coseno sea la cantidad con significado geométrico propio.

Productos escalares que aparecen a menudo

Vector uVector vProducto escalar|u||v|Ángulo (°)
1 2 22 2 183327.266
3 4 04 3 0245516.2602
1 00 101190
1 1 11 1 131.73211.73210
1 2 34 5 6323.74178.77512.9332
-1 0 01 0 0-111180
2 -34 5-73.60566.4031107.6501
1 23 4112.2361510.3048

La tabla cubre los casos que conviene reconocer de un vistazo y no solo los números. La primera fila es la entrada con la que carga la página: (1, 2, 2) y (2, 2, 1) dan 8, con los dos módulos en 3, porque son el mismo vector con las componentes giradas un paso. La segunda fila son los vectores unitarios de los ejes, que dan exactamente cero: la firma de la perpendicularidad, y la razón de que el producto escalar se use como prueba de ángulos rectos en lugar de medir el ángulo. La tercera fila son (0, 1) y (1, 0) en el plano, el mismo caso perpendicular con dos componentes. La cuarta es (3, 4, 0) y (4, 3, 0), el triángulo tres cuatro cinco con una tercera componente en cero, donde el coseno vale 0,96 y el ángulo 16,2602 grados: un coseno muy alto para un ángulo que no es tan pequeño. La quinta fila es (1, 2, 3) y (4, 5, 6), con un producto escalar de 32 y un ángulo de 12,9332, y sirve para ver que un producto escalar grande no implica vectores parecidos si uno es mucho más largo que el otro. Las dos últimas son los extremos del ángulo: (1, 0, 0) con (1, 0, 0), paralelos y del mismo sentido, que dan un coseno de 1 y 0 grados, y (-1, 0, 0) con (1, 0, 0), opuestos, que dan un coseno de -1 y 180 grados.

Fórmula

u · v = u₁v₁ + u₂v₂ + … + uₙvₙ |u| = √(u₁² + u₂² + … ) cos θ = (u · v) ÷ (|u| × |v|)

Vector u
El primer vector, escrito como componentes separadas por espacios: por ejemplo 3 4 0 para el vector que avanza tres, sube cuatro y no se mueve en el tercer eje. Puede tener dos, tres o más componentes, y admite negativas y decimales
Vector v
El segundo vector, con la misma forma y exactamente el mismo número de componentes que el primero. Si una lista es más larga que la otra no hay respuesta posible, porque cada componente de uno tiene que emparejarse con una del otro
u · v
El producto escalar: cada componente de u multiplicada por la que ocupa su misma posición en v, y todos esos productos sumados. Es un solo número, no un vector. Su signo dice si los vectores apuntan hacia el mismo lado (positivo), en sentidos opuestos (negativo) o si son perpendiculares (cero)
|u| y |v|
Los módulos, o sea las longitudes de los dos vectores, calculadas elevando sus componentes al cuadrado, sumándolas y sacando la raíz cuadrada. El módulo nunca es negativo y solo vale cero para el vector nulo, el que tiene todas sus componentes en cero
θ
El ángulo entre los dos vectores, en grados, entre 0 y 180. Nunca sale mayor de 180 porque el ángulo que se mide es el menor de los dos que forman, y nunca sale negativo. Dos vectores con el mismo sentido dan 0 grados, dos perpendiculares dan 90 y dos opuestos dan 180
cos θ
El coseno del ángulo, que es el producto escalar dividido entre el producto de los dos módulos. Es un número entre -1 y 1 y es la versión del producto escalar que no depende de lo largos que sean los vectores: 1 significa mismo sentido, 0 perpendicularidad y -1 sentidos opuestos
Grados
La unidad en que se imprime el ángulo. Se eligen grados y no radianes porque quien comprueba a mano un ángulo recto reconoce el 90 al instante, mientras que π partido por dos obliga a traducir
Cuatro decimales
La precisión de los módulos, del coseno y del ángulo. El producto escalar se imprime entero siempre que las componentes lo sean, porque es una suma de productos y no arrastra error de redondeo. Los módulos casi siempre son raíces cuadradas, así que se recortan a cuatro decimales

Se usa siempre que la pregunta sea cuánto se parecen dos direcciones. Para saber si dos vectores son perpendiculares, porque el producto escalar vale cero exactamente cuando lo son y esa comprobación no necesita el ángulo ni los módulos. Para medir el ángulo entre dos direcciones, que es lo que se pide al calcular el ángulo entre dos caras de una figura o entre dos tramos de una trayectoria. Para proyectar un vector sobre otro, porque la proyección es el producto escalar dividido entre el módulo del vector sobre el que se proyecta, y aparece en física cada vez que se pregunta qué parte de una fuerza actúa en una dirección determinada. Para saber si el ángulo es agudo u obtuso sin llegar a calcularlo, porque eso lo dice el signo por sí solo. Y para calcular el trabajo de una fuerza, que es el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento, y es el ejemplo con el que se explica casi siempre: empujar un carro hacia delante aprovecha toda la fuerza, empujarlo en diagonal aprovecha solo una parte, y empujarlo de lado no lo mueve. En todos esos casos la página da además los módulos y el coseno, que son las cantidades que hacen falta para seguir el razonamiento cuando el producto escalar por sí solo no basta.

Ejemplos resueltos

  1. Tres componentes que dan un producto escalar entero

    1. Se emparejan las componentes: 1 con 2, 2 con 2 y 2 con 1
    2. Se multiplican: 2, 4 y 2
    3. Se suman: 2 + 4 + 2 = 8, y ese es el producto escalar
    4. Módulos: √(1 + 4 + 4) = 3 para u y √(4 + 4 + 1) = 3 para v
    5. Coseno: 8 ÷ (3 × 3) = 0,8889, y su arcocoseno son 27,266 grados

    La entrada con la que carga la página, y un buen ejemplo de que un producto escalar entero no arrastra ningún redondeo: los tres productos son 2, 4 y 2 y la suma es exacta. Los dos módulos también salen enteros, 3 y 3, lo cual es casualidad y no algo que esperar. Con el coseno en 0,8889 y el ángulo en 27,266 grados queda claro que los vectores van bastante en la misma dirección sin llegar a coincidir, que es lo que se ve a ojo cuando uno se imagina (1, 2, 2) y (2, 2, 1): el mismo perfil con las componentes giradas un paso.

  2. El ejemplo clásico en el plano

    1. Se multiplican y se suman: 3 × 4 + 4 × 3 + 0 × 0 = 12 + 12 = 24
    2. Módulo de u: √(9 + 16 + 0) = 5
    3. Módulo de v: √(16 + 9 + 0) = 5, igual por simetría
    4. Coseno: 24 ÷ 25 = 0,96
    5. Arcocoseno: 16,2602 grados

    El mismo triángulo tres cuatro cinco que aparece en todas las páginas de coordenadas de esta familia, aquí con una tercera componente en cero porque el vector vive en el plano. Los dos módulos valen 5 y el coseno 0,96, un número incómodamente alto que sin embargo corresponde a un ángulo de 16 grados y no a los 4 o 5 que sugiere a primera vista. Es una buena advertencia sobre el coseno: cerca del uno cambia muy despacio, y una diferencia de 0,92 a 0,96 es una diferencia de ángulo mucho mayor de lo que parece.

  3. Dos vectores perpendiculares

    1. Se multiplican las componentes una a una: 1 × 0 = 0 y 0 × 1 = 0
    2. Se suman: 0, y un producto escalar de cero ya anuncia perpendicularidad
    3. Los dos módulos valen 1, así que el coseno es 0 ÷ 1 = 0
    4. El ángulo cuyo coseno es cero son 90 grados exactos

    Los dos vectores unitarios de los ejes, y el caso que hace que el producto escalar sea útil. Un resultado de cero no significa «sin relación» ni un cálculo fallido: significa perpendicularidad, y es la prueba de perpendicularidad más rápida que hay, porque no necesita los módulos ni el ángulo. Con componentes enteras el cero es un cero exacto y no un redondeo que casualmente cayó cerca, y ese detalle importa cuando se comprueba a mano si dos vectores dados son perpendiculares.

  4. Dos vectores de tres componentes que no guardan simetría

    1. Se multiplican: 4, 10 y 18
    2. Se suman: 32, el producto escalar
    3. Módulos: √14 = 3,7417 para u y √77 = 8,775 para v
    4. Coseno: 32 ÷ (3,7417 × 8,775) = 0,9746
    5. Arcocoseno: 12,9332 grados

    Productos escalares grandes no significan vectores parecidos: aquí el resultado es 32 y el ángulo es de 12,9 grados, mientras que el ejemplo anterior tenía un producto escalar de 24 y un ángulo de 16,3. La causa es que v es más del doble de largo que u, y el producto escalar crece con las dos longitudes a la vez. El coseno es la cifra que hay que mirar para comparar: 0,9746 frente a 0,96, y ahí sí se ve que estos dos vectores van más alineados que los del ejemplo clásico.

  5. Dos vectores opuestos

    1. Se multiplican: -1 × 1 = -1, y las demás componentes son cero
    2. El producto escalar es -1, un número negativo
    3. Los dos módulos valen 1, así que el coseno es -1
    4. El ángulo cuyo coseno es -1 son 180 grados: sentidos exactamente opuestos

    El extremo opuesto al caso perpendicular, y la única forma de que el coseno llegue a -1. Un producto escalar negativo no es un resultado inválido ni una señal de error: es la respuesta correcta cuando los vectores apuntan en sentidos contrarios, y su tamaño no dice nada sobre el ángulo porque aquí los dos módulos son 1 y el signo es toda la información. Compárese con el ejemplo de (1, 0) y (0, 1): el mismo par de módulos, un coseno de 0 y un ángulo de 90 grados en vez de 180.

Limitaciones

Los dos vectores tienen que tener el mismo número de componentes. La página no rellena con ceros el más corto ni recorta el más largo, porque ninguna de las dos cosas tiene una respuesta geométrica única, y te lo dirá en lugar de elegir por ti. El producto escalar devuelve un número y no un vector, así que si lo que buscabas era un vector perpendicular a los dos a la vez, esta página no es la herramienta. Los vectores no llevan unidad y la página no ofrece ninguna casilla para elegirla: si tus componentes son metros, los módulos van en metros y el producto escalar en metros al cuadrado, y una lista de componentes en metros mezclada con otra en centímetros dará un número equivocado sin que nada lo advierta. El ángulo se imprime en grados y solo entre 0 y 180, así que no sirve para orientaciones dirigidas ni para rumbo. Los módulos, el coseno y el ángulo se redondean a cuatro decimales, y eso puede hacer que dos vectores casi idénticos parezcan exactamente iguales: el coseno impreso puede ser 1 aunque los vectores no sean paralelos. Está el caso del vector nulo, el de todas las componentes en cero: su módulo vale cero, la división para obtener el coseno no está definida y la página no puede dar ángulo, porque un vector sin longitud no tiene dirección que comparar. Y hay un techo práctico en el número de componentes, no por la fórmula, que funciona igual con dos que con veinte, sino porque la casilla de entrada es una sola línea de texto y a partir de cierto punto se vuelve incómoda de escribir y de revisar a ojo.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula el producto escalar de dos vectores?
Se emparejan las componentes que ocupan la misma posición, se multiplica cada pareja y se suman todos los productos. Con (1, 2, 2) y (2, 2, 1) las parejas dan 2, 4 y 2, que suman 8. Es una multiplicación y una suma por cada componente, y el resultado es un solo número y no un vector. Esta página hace además las dos cuentas que suelen acompañarlo, el módulo de cada vector y el ángulo entre ellos, porque el producto escalar por sí solo no distingue entre vectores largos poco alineados y vectores cortos muy alineados.
¿Qué significa que el producto escalar sea cero?
Que los dos vectores son perpendiculares. Es la prueba de perpendicularidad más rápida que existe, porque no hace falta calcular módulos ni ángulos: basta con que la suma de los productos dé cero. Con componentes enteras el cero es exacto, así que la comprobación es fiable, y por eso se usa tanto en geometría y en gráficos por ordenador. Un producto escalar de cero no significa que los vectores no tengan relación, sino que forman un ángulo recto.
¿Por qué se llama escalar si se multiplican dos vectores?
Porque el resultado es un escalar, es decir un número corriente, y no un vector. La palabra describe lo que sale, no lo que entra. Existe otra operación entre vectores, el producto vectorial, cuyo resultado sí es un vector perpendicular a los dos, y el nombre de cada una sirve justo para no confundirlas. Si lo que necesitas es un vector perpendicular a los dos de partida, esta página no te lo dará: aquí solo salen números.
¿Qué pasa si los dos vectores tienen distinto número de componentes?
No hay respuesta y la página te lo dirá en vez de inventarse una. Cada componente necesita otra con la que emparejarse, así que una lista de tres componentes y otra de dos dejan una componente sin pareja. No se rellena con ceros la más corta, porque eso cambiaría el vector sin que lo hayas pedido y daría un ángulo que no corresponde a ninguno de los dos originales. Cuenta las componentes antes de escribir y empareja las listas.
¿El producto escalar lleva unidades?
Lleva las unidades que tenga el producto de las componentes, así que si las componentes son metros el producto escalar son metros al cuadrado. No es un descuido: es lo que hace que el coseno sea la cantidad con significado geométrico propio. Los módulos van en metros y el cociente entre el producto escalar y el producto de los módulos tiene metros cuadrados arriba y metros cuadrados abajo, así que el resultado es un número puro entre -1 y 1 que no depende de si mediste en metros o en centímetros.
¿Cómo se obtiene el ángulo entre los dos vectores?
Dividiendo el producto escalar entre el producto de los dos módulos se obtiene el coseno del ángulo, y el arcocoseno de ese número son los grados. Para (3, 4, 0) y (4, 3, 0) el producto escalar es 24, los dos módulos son 5, el coseno es 24 entre 25, o sea 0,96, y el ángulo son 16,2602 grados. El coseno siempre cae entre -1 y 1, así que el ángulo siempre sale entre 0 y 180 grados, y no hace falta comprobar ningún caso especial salvo el vector nulo, cuyo módulo es cero y que por tanto no tiene ángulo que calcular.

Referencias

Calculadoras relacionadas

Calculadora de producto vectorialProducto vectorial de dos vectores, y su módulo.Calculadora de módulo de vectorMódulo de un vector a partir de sus componentes.Calculadora de ángulo entre vectoresÁngulo entre dos vectores a partir del producto escalar.Calculadora de proyección de vectoresProyección de un vector sobre otro, escalar y vectorial.