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CalcMax

Calculadora de ángulo entre vectores

Resultado

60,0000 °

Ángulo entre los vectores

Coseno del ángulo
0,5000
Ángulo en radianes
1,0472

Una calculadora del ángulo entre dos vectores toma dos vectores y devuelve el ángulo que forman, junto con el coseno del que sale ese ángulo y el mismo ángulo en radianes. Escribe las componentes de cada vector separadas por espacios o por comas —1 1 0 para un vector de tres dimensiones, 0 3 para uno de dos— y la página hace el resto. Los dos vectores deben tener el mismo número de componentes, pero no hay ningún otro límite en cuántas, y las componentes negativas no son problema. La aritmética que hay detrás de la respuesta es corta. Multiplica las dos primeras componentes entre sí, las dos segundas, y así sucesivamente, y suma los productos: eso es el producto escalar. Toma la longitud de cada vector, que es la raíz de la suma de los cuadrados de sus componentes. Divide el producto escalar entre el producto de las dos longitudes y tienes el coseno del ángulo. El ángulo en sí es el arcocoseno de ese número. Pasar por el coseno en lugar de ir al ángulo directamente es todo el truco, porque el coseno es lo que el producto escalar produce de forma natural, y además es el número que merece la pena mirar: va de 1 para dos vectores que apuntan en la misma dirección, pasando por 0 en ángulo recto, hasta −1 para dos vectores que apuntan en direcciones opuestas. Esos tres son los resultados que la gente reconoce de verdad, y ninguno necesita calculadora para detectarse. Los vectores perpendiculares, que es el caso para el que más se usa la página, son los que tienen un coseno exactamente cero. Todo lo demás cae en algún punto intermedio, y la página lo da con cuatro decimales en grados y en radianes a la vez, ya que la mitad de las fórmulas del mundo quieren lo segundo y casi todo el mundo lee lo primero. Una entrada se rechaza en lugar de responderse: el vector nulo, cuya longitud es cero y que por tanto no tiene ninguna dirección. Dividir entre su longitud para obtener un coseno sería dividir entre cero, y devolver un ángulo de cero sería afirmar que apunta en la misma dirección que tu vector, así que la página declina el cálculo entero.

Parejas de vectores y el ángulo entre ellos

Vector uVector vCoseno del ánguloÁngulo (°)
1 1 01 0 10.560
1 00 1090
1 0 01 0 010
-1 0 01 0 0-1180
1 11 00.707145
3 4 04 3 00.9616.2602
1 2 22 2 10.888927.266
2 -34 5-0.3032107.6501

Ocho parejas, y la primera fila es la que carga la página. La columna del coseno es el sentido de la tabla: la columna del ángulo por sí sola esconde el patrón, y con el coseno al lado los tres valores especiales destacan de inmediato. La primera fila es un coseno de exactamente 0,5 que da exactamente 60°, y la sexta es un coseno de 0,96 que da 16,26°: entre esas dos filas está toda la advertencia sobre esta página, que el coseno comprime el intervalo de 0° a 90° en el de 1 a 0 y lo comprime de forma desigual. La segunda fila es el ángulo recto más simple que hay y la tercera es un vector contra sí mismo, lo que da los dos extremos del intervalo del coseno, 0 y 1, con la cuarta fila aportando el tercer extremo en −1 al emparejar un vector con su propio negativo. Esas tres filas juntas son toda la escala. La quinta fila es una pareja a 45°, el medio ángulo recto que aparece constantemente en la práctica, y la séptima es la desordenada de tres dimensiones: las dos longitudes son exactamente 3, pero el producto escalar es 8, así que el coseno es 8 ÷ 9 y no termina nunca. La octava fila es un caso obtuso con componentes de signos mezclados: un coseno de −0,3032 y un ángulo de 107,6501, los dos de acuerdo como no puede ser de otra forma, ya que un coseno negativo y un ángulo menor de 90° no pueden ser ciertos a la vez. La cifra en radianes no es una columna aquí a propósito: es el mismo ángulo en otra notación, y una quinta columna no diría nada nuevo. Cada cifra se recalcula al construir la página, y los espacios de las dos primeras columnas son los separadores y no forman parte de los números.

Fórmula

cos θ = (u · v) ÷ (|u| × |v|) θ = arccos(cos θ) u · v = u₁v₁ + u₂v₂ + … + uₙvₙ

Vector u
El primer vector, escrito como sus componentes separadas por espacios o por comas: 1 1 0 para tres dimensiones, 0 3 para dos, o tantas como necesites. No hay un número fijo de recuadros porque la página acepta cualquier dimensión, y los dos vectores deben tener el mismo número de componentes entre sí
Vector v
El segundo vector, escrito igual y con el mismo número de componentes que el primero. Cambiar los dos vectores de sitio no cambia nada: el ángulo entre ellos es el mismo en un sentido y en el otro
u · v
El producto escalar, que esta página usa pero no imprime: multiplica las dos primeras componentes, las dos segundas, y así sucesivamente, y suma los productos. Aquí es la materia prima del ángulo y no una respuesta por sí mismo
|u| y |v|
La longitud de cada vector, en la unidad en la que se midieran las componentes: la raíz de la suma de los cuadrados de sus componentes. Son los dos números entre los que se divide el producto escalar, y cada uno es asunto de su propio vector: que uno sea grande no dice nada del otro
cos θ
El coseno del ángulo entre los dos vectores: el producto escalar dividido entre el producto de las dos longitudes. Va de 1 para vectores que apuntan en la misma dirección, pasando por 0 en ángulo recto, hasta −1 para vectores que apuntan en direcciones opuestas, y nunca se sale de ese intervalo. Es el número del que se calcula realmente el ángulo, y por eso la página lo imprime
θ
El ángulo entre los dos vectores, en grados, desde 0 cuando apuntan en la misma dirección, pasando por 90 cuando son perpendiculares, hasta 180 cuando apuntan en direcciones opuestas. Es el arcocoseno del número de arriba, así que hereda su intervalo y nunca puede volver fuera de él
Radianes
El mismo ángulo escrito de la otra manera: 180 grados son π radianes, 90 es la mitad, y la salida es un número sin más, sin unidad. Las fórmulas del cálculo y de la mayoría de los lenguajes de programación quieren radianes, así que la página da los dos en lugar de obligarte a multiplicar por π y dividir entre 180
Grados
La unidad de la salida principal, y la única salida de la página que tiene unidad. El coseno y la cifra en radianes son números sin más
Four decimal places
El ancho con el que se escribe cada salida. El coseno solo es exacto en los casos especiales —0 · 0,5 · 1 y −1— y el ángulo solo es exacto cuando el coseno es uno de esos, así que casi todas las filas de esta página llevan cifras redondeadas

Esta es la página para cuando quieres el ángulo en sí y no solo la relación entre dos direcciones. Hay tres ángulos que merecen reconocerse sin hacer ninguna operación: un coseno de 1 significa 0° y que los vectores apuntan en la misma dirección, un coseno de 0 significa 90° y que son perpendiculares, y un coseno de −1 significa 180° y que apuntan en direcciones opuestas. Cualquier otro es un ángulo genuino y la página lo da con cuatro decimales. El uso real más corriente es contrastar una dirección con una de referencia: cuánto se ha desviado un viento del norte, cuánto ha girado una cámara, cuánto se ha apartado una dirección medida de la que debería tener. Los problemas de geometría con dos direcciones conocidas son el mismo cálculo, y también lo es el ángulo entre dos rectas una vez que has escrito cada una como un vector. La comprobación de sentido útil para cualquier respuesta es que el coseno y el ángulo cuenten la misma historia: un coseno mayor que cero va siempre con un ángulo menor de 90°, un coseno negativo con uno mayor, y un coseno de cero con exactamente 90. Si los dos no coinciden, las componentes no son las que creías. La salida en radianes está ahí para el caso en que el ángulo esté a punto de entrar en una fórmula o en una línea de código, ya que esos casi siempre quieren radianes, y convertir a mano es de donde salen los errores de signo y los factores de 180.

Ejemplos resueltos

  1. 1 1 0 y 1 0 1

    1. Producto escalar: 1 × 1 + 1 × 0 + 0 × 1 = 1
    2. Longitud de u: √(1 + 1 + 0) = √2 = 1,414214
    3. Longitud de v: √(1 + 0 + 1) = √2 = 1,414214
    4. Coseno: 1 ÷ (1,414214 × 1,414214) = 1 ÷ 2 = 0,5
    5. Ángulo: el arcocoseno de 0,5 es 60°, que son 60 × π ÷ 180 = 1,047198 radianes

    La entrada con la que carga la página y la fila más limpia que hay: el coseno sale exactamente un medio y el ángulo exactamente 60°. Fíjate en que el producto escalar, 1, no está en ningún sitio del panel: esta página imprime el coseno y el ángulo, y el producto escalar es el paso intermedio. Las dos longitudes son las dos la raíz de dos, así que multiplicadas dan exactamente 2, que es por lo que el coseno y el ángulo salen exactos y no redondeados.

  2. 3 4 0 y 4 3 0

    1. Producto escalar: 3 × 4 + 4 × 3 + 0 × 0 = 24
    2. Longitud de cada uno: √(9 + 16) = 5, ya que la tercera componente es cero
    3. Coseno: 24 ÷ (5 × 5) = 0,96
    4. Ángulo: el arcocoseno de 0,96 es 16,2602°, que son 0,2838 radianes

    La fila que muestra por qué merece la pena imprimir el coseno. Un coseno de 0,96 suena a dos vectores casi idénticos, y el ángulo es 16,26°, más o menos un sexto de un ángulo recto. El coseno comprime todo el intervalo de 0° a 90° en los números entre 1 y 0, y lo hace de forma desigual, que es por lo que leer el coseno como una fracción de cualquier cosa sale mal. Aquí las dos longitudes son exactamente 5, así que el triángulo 3-4-5 está haciendo su trabajo de siempre.

  3. 1 0 y 0 1

    1. Producto escalar: 1 × 0 + 0 × 1 = 0
    2. Longitud de cada uno: 1
    3. Coseno: 0 ÷ 1 = 0
    4. Ángulo: el arcocoseno de cero es exactamente 90°, que son 1,570796 radianes

    La respuesta por la que más se abre la página, y el caso exacto: un coseno de cero significa vectores perpendiculares, y el ángulo vuelve como exactamente 90 y no como una cifra redondeada. Estos dos son la pareja perpendicular más simple que hay, uno sobre el eje x y otro sobre el eje y. La cifra en radianes, 1,5708, es π ÷ 2.

  4. −1 0 0 y 1 0 0

    1. Producto escalar: (−1) × 1 + 0 × 0 + 0 × 0 = −1
    2. Longitud de cada uno: 1
    3. Coseno: −1 ÷ 1 = −1
    4. Ángulo: el arcocoseno de −1 es exactamente 180°, que son 3,141593 radianes

    El otro extremo del intervalo. Un coseno de −1 es el ángulo más grande que pueden formar dos vectores, 180°, y la cifra en radianes es π. Dos vectores que apuntan en direcciones exactamente opuestas siguen siendo dos vectores, y el ángulo entre ellos no es cero: esta es la fila que hay que mirar cuando una respuesta de 180 parece equivocada. No lo es: opuesto es una relación, igual que paralelo.

  5. 2 −3 y 4 5

    1. Producto escalar: 2 × 4 + (−3) × 5 = 8 − 15 = −7
    2. Longitud de u: √(4 + 9) = √13 = 3,605551
    3. Longitud de v: √(16 + 25) = √41 = 6,403124
    4. Coseno: −7 ÷ (3,605551 × 6,403124) = −7 ÷ 23,086793 = −0,303201
    5. Ángulo: el arcocoseno de −0,303201 es 107,6501°, que son 1,8788 radianes

    Una respuesta obtusa, que es el caso que pilla desprevenido a la gente: dos vectores pueden formar un ángulo mayor de 90°, y lo hacen siempre que el producto escalar es negativo. Aquí una componente de u es negativa, que es como se escribe un vector que apunta hacia la izquierda o hacia abajo. El coseno de −0,3032 es pequeño, pero su signo es todo el mensaje: dice que los dos vectores se inclinan en sentidos que se separan, y el ángulo de 107,6501° coincide con él.

Limitaciones

Los dos vectores deben tener el mismo número de componentes, y una pareja que no encaje se rechaza en lugar de rellenarse con ceros. El vector nulo se rechaza por completo: un vector cuyas componentes son todas cero no tiene dirección, así que el ángulo entre él y cualquier otra cosa está indefinido, y la página declina el cálculo entero en lugar de mostrar un ángulo de cero que se leería como que apunta en la misma dirección. Las componentes se leen como números corrientes: una coma seguida de un espacio separa componentes, una coma sin espacio detrás se lee como separador decimal (1,5 es uno y medio), y un separador de millares se rechaza en lugar de adivinarse, así que escribe 1500 y no 1.500. Se aceptan hasta 200 componentes en cada vector, muy por encima de cualquier caso escrito a mano pero por debajo de los tamaños que usaría un proceso de datos. El producto escalar no está entre las salidas, y es a propósito: es el paso del que se calcula el ángulo, y la página que lo imprime como respuesta es otra. Los cuatro decimales son un ancho de presentación y no una afirmación sobre la precisión, y las dos salidas se calculan a partir de las longitudes sin redondear, así que multiplicar de vuelta las cifras impresas puede no reproducir exactamente el ángulo impreso. Nada en la página sabe en qué se midieron las componentes: las entradas son números sin más, y también lo son el coseno y la cifra en radianes, con los grados como única unidad en todo el panel.

Preguntas frecuentes

¿Cómo escribo las componentes?
Sepáralas con espacios o con una coma y un espacio: 1 1 0 y 1, 1, 0 funcionan los dos. Una coma entre dos dígitos sin espacio detrás se lee como separador decimal (1,5 es uno y medio); un separador de millares como 1.500 se rechaza en lugar de adivinarse, así que escribe 1500. Los dos vectores deben tener el mismo número de componentes, y no hay límite en cuántas siempre que coincidan: dos dimensiones y tres dimensiones son la misma página.
¿Para qué sirve el coseno del ángulo?
Es el número del que se calcula el ángulo, y es más fácil de leer que el ángulo en los tres casos que importan. Un coseno de 1 significa que los vectores apuntan en la misma dirección, 0 significa perpendiculares y −1 significa opuestos. Cualquier valor intermedio es un ángulo real y la página lo da en grados y en radianes.
¿Cómo sé si dos vectores son perpendiculares?
Su coseno del ángulo es cero, y la página leerá exactamente 90°. Esa comprobación no necesita nada de la trigonometría que usa la salida del ángulo: es cierta exactamente cuando el producto escalar es cero, lo que solo requiere las multiplicaciones. Esta página muestra el coseno para que el caso del ángulo recto sea visible sin calcular nada.
¿Por qué el ángulo nunca pasa de 180°?
Porque el coseno del ángulo está acotado entre −1 y 1, y el arcocoseno solo devuelve valores de 0° a 180°. Un ángulo de 180° significa que los dos vectores apuntan en direcciones exactamente opuestas, y no existe un ángulo de 200° entre dos direcciones: 200 y 160 describen la misma pareja de flechas.
¿Por qué hay dos salidas de ángulo, grados y radianes?
Porque los dos públicos son distintos. La gente lee grados; las fórmulas y los lenguajes de programación quieren casi siempre radianes, y 180 grados son π radianes. Imprimir los dos evita que nadie tenga que multiplicar por π y dividir entre 180, que es de donde salen los errores de factor 180. La cifra en radianes es un número sin más, sin unidad.
¿Por qué rechaza un vector de ceros?
Porque el vector nulo no tiene dirección, así que el ángulo entre él y cualquier otra cosa está indefinido. Su longitud es cero y el coseno es el producto escalar dividido entre el producto de las dos longitudes, así que calcularlo sería dividir entre cero. Una página que devolviera 0° estaría diciendo que apunta en la misma dirección que tu vector, que es una afirmación sobre una dirección que no existe.

Referencias

Calculadoras relacionadas

Calculadora de producto escalarProducto escalar de dos vectores, y el ángulo entre ellos.Calculadora de producto vectorialProducto vectorial de dos vectores, y su módulo.Calculadora de vector unitarioVector unitario de un vector dado, y su módulo.