Calculadora de vector unitario
Resultado
Componente x del vector unitario
- Componente y del vector unitario
- 0,8000
- Componente z del vector unitario
- 0,0000
- Módulo del vector
- 5,0000
Una calculadora de vector unitario convierte un vector en el vector de módulo 1 que apunta en la misma dirección, e imprime el módulo entre el que ha dividido. Escribe las componentes separadas por espacios o por comas —3 4 para un vector de dos dimensiones, 2 3 6 para uno de tres— y la página hace el resto. Se aceptan dos o tres componentes, y solo esos dos recuentos: el panel tiene tres filas de componentes, y un vector de una dimensión es en realidad un número con signo y no una dirección. La aritmética es una sola división. Mide el módulo del vector, que es la raíz de la suma de los cuadrados de sus componentes, y divide cada componente entre él. El resultado tiene módulo 1 por construcción, apunta a lo largo de exactamente la misma recta que la entrada y se llama vector unitario en esa dirección. Para lo que sirve la respuesta es para separar la dirección del tamaño. Dos vectores que solo se diferencian en el módulo tienen el mismo vector unitario, lo que lo convierte en la forma natural de comparar direcciones cuando los módulos no son comparables — una velocidad de viento contra un rumbo de brújula, o una pendiente medida contra una de referencia. También es la manera de llevar una dirección a una fórmula que supone una entrada normalizada, que son casi todas las de geometría y gráficos. Hay dos detalles que conviene saber antes de usar la salida. El signo de la respuesta sigue al de la entrada: el vector unitario de 3 4 es 0,6 y 0,8, y el de −3 4 es −0,6 y 0,8. Dividir entre un módulo positivo no puede invertir una dirección, y un vector que apunta hacia la izquierda o hacia abajo es una entrada perfectamente corriente. Y el módulo que se imprime al lado es el del vector que escribiste, no el de la respuesta — el de la respuesta es 1 por definición y no diría nada. Ver el módulo de la entrada es lo que hace visible la división: los números del panel son ese módulo dividido fuera de los números del recuadro. La única entrada que se rechaza es el vector nulo, cuyo módulo es cero, lo que no deja nada entre lo que dividir y, más importante, ninguna dirección que conservar.
Vectores y sus vectores unitarios
| Vector | Módulo del vector | Componente x del vector unitario | Componente y del vector unitario | Componente z del vector unitario |
|---|---|---|---|---|
| 3 4 | 5 | 0.6 | 0.8 | 0 |
| 1 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 1 | 1.4142 | 0.7071 | 0.7071 | 0 |
| 0 5 | 5 | 0 | 1 | 0 |
| -3 4 | 5 | -0.6 | 0.8 | 0 |
| 2 3 6 | 7 | 0.2857 | 0.4286 | 0.8571 |
| 1 1 1 | 1.7321 | 0.5774 | 0.5774 | 0.5774 |
| 3 4 -5 | 7.0711 | 0.4243 | 0.5657 | -0.7071 |
Ocho vectores y sus vectores unitarios, y la segunda columna es la que hace que la tabla merezca la pena: contiene el divisor, no la constante 1 que sale al final. La primera fila es la que carga la página, y sale exacta por los dos lados, porque un triángulo 3-4-5 da un módulo de 5 y dos componentes decimales que son exactas. La segunda y la cuarta fila son vectores que ya están sobre un eje, así que el vector unitario es la dirección del eje mismo, y la cuarta tiene un módulo de 5 en lugar de 1 — el sitio más claro para ver que la columna contiene el módulo de la entrada y no el de la respuesta. La tercera fila es el caso de componentes iguales en el plano, que da dos componentes de 0,7071 y un módulo de √2. La quinta fila es la primera con el signo cambiado en uno de los números, y el signo del vector unitario la sigue: −0,6 y 0,8. Normalizar no da la vuelta a un vector, y esta fila es la prueba. La sexta y la séptima son de tres dimensiones: una con módulo entero, 7, y sin componentes exactas; otra con módulo √3 y tres componentes iguales. La octava tiene la tercera componente negativa y da el único vector unitario de la tabla con la z negativa. No hay fila para el vector nulo, a propósito: no tiene dirección y la página lo rechaza. Cada cifra se recalcula al construir la página, y los espacios de la primera columna son los separadores, no parte de los números.
Fórmula
û ＝ u ÷ |u| |u| ＝ √（u₁² ＋ u₂² ＋ … ＋ uₙ²） |û| ＝ 1
- Vector u
- El vector que se quiere normalizar: dos o tres números separados por espacios o por comas, como 3 4. Dos componentes es un vector del plano y tres es un vector del espacio; no hay ningún campo de dimensión que rellenar, y es la longitud de la lista lo que dice cuál has querido decir
- |u|
- El módulo del vector de entrada: la raíz de la suma de los cuadrados de sus componentes. Es el número entre el que se divide todo, y es el cuarto output del panel — el módulo del vector que escribiste, no el del vector unitario, cuyo módulo es siempre 1
- û
- El vector unitario: cada componente de la entrada dividida entre su módulo. Apunta a lo largo de exactamente la misma recta que la entrada y mide 1, así que los dos se diferencian en el tamaño y no en la dirección. El acento circunflejo es la forma habitual de escribirlo
- x component
- La primera componente de la respuesta: la primera de la entrada dividida entre el módulo. Su signo es el de la entrada — dividir entre un módulo positivo no puede invertir una dirección, así que un vector que apunta a la izquierda da un vector unitario que apunta a la izquierda
- y component
- La segunda componente, dividida igual. Junto con la componente x fija la dirección en el plano, sea cual sea el módulo del vector original
- z component
- La tercera componente, dividida igual, y 0 cuando la entrada tiene dos componentes. Ese cero no es relleno: un vector de dos dimensiones está en el plano, y la misma dirección escrita en tres coordenadas tiene la tercera componente exactamente 0
- |û| ＝ 1
- La propiedad para la que se construyó la respuesta, y la razón de que no se imprima como quinta fila. El módulo de un vector unitario es 1 en todos los casos, así que una fila del panel que dijera 1,0000 sería una constante disfrazada de resultado
- Four decimal places
- El ancho con el que se escriben las salidas. Exactas solo cuando el módulo de la entrada sale entero o con una raíz corta — 3 4 da 5, y los tercios y las raíces en general no salen redondos
Usa esta página cuando quieras la dirección por sí sola, sin el tamaño pegado. El caso más claro es comparar dos direcciones cuyos módulos están en escalas distintas: dos vectores que solo se diferencian en la longitud tienen el mismo vector unitario, así que normalizar quita justo la parte que no estabas preguntando. El otro caso habitual es preparar una entrada para una fórmula que supone un vector de módulo 1 — los reflejos, las proyecciones y los cálculos de iluminación lo suponen, y darles un vector de módulo 5 escala la respuesta por 5 sin avisar. El módulo impreso al lado es lo que hace comprobable la división: 3 4 da 0,6 y 0,8, y se ve el 5 saliendo de los dos. Dos cosas que conviene recordar. La salida lleva los signos de la entrada, así que un vector que apunta a la izquierda o hacia abajo da un vector unitario que apunta a la izquierda o hacia abajo — normalizar cambia lo largo que es un vector y nada más. Y el módulo de la salida es 1 escribas lo que escribas, que es por lo que la página imprime el módulo de la entrada en su lugar; ese es el número que lleva información. Un vector de dos componentes es válido y vuelve con la tercera componente igual a 0, porque así es como se ve esa misma dirección escrita en tres coordenadas. El vector nulo es la única entrada que se rechaza, ya que no tiene dirección que normalizar.
Ejemplos resueltos
3 4
- Módulo: √(9 ＋ 16) ＝ √25 ＝ 5
- Componente x: 3 ÷ 5 ＝ 0,6
- Componente y: 4 ÷ 5 ＝ 0,8
- Componente z: 0 ÷ 5 ＝ 0, porque un vector de dos componentes está en el plano
La entrada con la que carga la página y el caso más limpio que hay: un triángulo 3-4-5 hace que el módulo sea entero, así que las dos componentes salen exactas. Esta es la fila que enseña para qué sirve el cuarto output — el 5 del panel es el módulo entre el que se dividieron el 3 y el 4, y leer 0,6 y 0,8 a su lado es todo el cálculo. Compruébalo elevando al cuadrado: 0,36 ＋ 0,64 ＝ 1.
2 3 6
- Módulo: √(4 ＋ 9 ＋ 36) ＝ √49 ＝ 7
- Componente x: 2 ÷ 7 ＝ 0,285714
- Componente y: 3 ÷ 7 ＝ 0,428571
- Componente z: 6 ÷ 7 ＝ 0,857143
Un caso de tres dimensiones cuyo módulo también sale entero, 7, mientras que ninguna de las tres componentes lo hace: las tres son decimales periódicos redondeados a cuatro cifras. Esa combinación es el caso corriente y no una rareza — un módulo entero es bastante frecuente, unas componentes enteras del vector unitario no lo son. La dirección es la misma que la de 2 3 6, y el módulo se ha dividido fuera de ella.
-3 4
- Módulo: √(9 ＋ 16) ＝ √25 ＝ 5, el mismo que el de 3 4
- Componente x: −3 ÷ 5 ＝ −0,6
- Componente y: 4 ÷ 5 ＝ 0,8
- Componente z: 0 ÷ 5 ＝ 0
El primer ejemplo con la primera componente negativa, y el vector unitario conserva el signo: −0,6 y 0,8. Dividir entre un módulo positivo no puede dar la vuelta a un vector, y esta es la fila donde eso se ve. Un vector que apunta hacia la izquierda y hacia arriba es una entrada perfectamente corriente, y su vector unitario también apunta hacia la izquierda y hacia arriba. El módulo es 5 en los dos casos, porque cambiar de signo una componente no lo altera.
0 5
- Módulo: √(0 ＋ 25) ＝ 5
- Componente x: 0 ÷ 5 ＝ 0
- Componente y: 5 ÷ 5 ＝ 1
- Componente z: 0 ÷ 5 ＝ 0
Un vector que ya está sobre uno de los ejes, así que su vector unitario es la dirección del eje mismo: 0, 1, 0. Aquí la fila que hay que mirar es la cuarta: dice 5, no 1. Un vector de módulo 5 que apunta en vertical tiene un vector unitario de módulo 1, y el panel lo dice imprimiendo el módulo que se dividió en lugar de la constante 1 que salió.
1 1 1
- Módulo: √(1 ＋ 1 ＋ 1) ＝ √3 ＝ 1,732051
- Cada componente: 1 ÷ 1,732051 ＝ 0,577350
La diagonal de un cubo, y las tres componentes salen iguales — como no podía ser de otra forma, ya que las tres componentes de la entrada eran iguales y dividirlas todas entre el mismo número no puede romper el empate. El módulo es una raíz y no un número entero, así que aquí nada es exacto. Comprueba el resultado como dice la propia definición de la página: 0,5774 al cuadrado son 0,3334, y tres de esos suman 1 dentro del redondeo.
Limitaciones
Se aceptan dos o tres componentes, y solo esas: un solo número es una cantidad con signo y no una dirección, y cuatro o más no caben en las tres filas de componentes del panel. Un vector de dos componentes no se rellena hasta tres en ningún sentido relevante — está en el plano, y el 0 de la tercera fila es el aspecto que tiene esa misma dirección escrita en tres coordenadas, que es la razón de que la página no necesite preguntarte cuál querías. El vector nulo se rechaza sin más: su módulo es cero, así que no habría nada entre lo que dividir, y no tiene dirección que la respuesta pueda conservar. Las componentes se leen como números corrientes: una coma seguida de un espacio separa componentes, una coma sin espacio detrás se lee como separador decimal (1,5 es uno y medio), y un separador de millares se rechaza en lugar de adivinarse — escribe 1500, no 1.500. Los cuatro decimales son un ancho de presentación, no una afirmación de precisión, y las componentes se calculan a partir del módulo sin redondear, así que las cifras impresas pueden no sumar exactamente 1 al elevarlas al cuadrado. El módulo que aparece en el panel es el de la entrada, no el de la respuesta; el de la respuesta es 1 por definición, e imprimirlo sería imprimir una constante. Nada en esta página sabe en qué se midieron las componentes — un vector unitario no tiene unidad, que es justamente su gracia, y el módulo lleva la unidad que tuviera la entrada. Hay una sutileza aritmética que conviene dejar dicha: el signo de cada componente sigue al de la entrada, así que un vector que apunta a la izquierda da un vector unitario que apunta a la izquierda. Si esperabas una respuesta positiva, esperabas otro vector.
Preguntas frecuentes
- ¿Qué es un vector unitario?
- Un vector de módulo 1 que apunta en una dirección dada. Es lo que sale de dividir un vector entre su propio módulo, y lleva la dirección sin el tamaño. Dos vectores que solo se diferencian en lo largos que son tienen el mismo vector unitario, y eso es lo que lo convierte en la forma de comparar direcciones que están en escalas distintas.
- ¿Por qué la cuarta fila muestra el módulo de la entrada y no 1?
- Porque el módulo de un vector unitario es 1 en todos los casos, y una fila que dijera 1,0000 siempre sería una constante y no un resultado. El módulo de la entrada es el número que se dividió, así que imprimirlo hace visible la división: escribe 3 4, mira el 5 y comprueba que 0,6 y 0,8 son cada uno de ellos dividido entre 5.
- ¿Puedo escribir un vector con solo dos componentes?
- Sí, y la tercera componente vuelve como 0. Eso no es relleno — un vector de dos dimensiones está en el plano, y 0 es lo que vale su tercera componente cuando esa misma dirección se escribe en tres coordenadas. El panel tiene tres filas de componentes, así que las entradas de dos y de tres comparten una sola disposición.
- ¿Por qué la respuesta conserva el signo menos?
- Porque dividir entre un módulo no puede dar la vuelta a un vector. El módulo es un número positivo, así que cada componente conserva su signo: el vector unitario de −3 4 es −0,6 y 0,8. Si esperabas que la respuesta saliera positiva, esa sería otra dirección y no la misma normalizada.
- ¿Por qué se rechaza un vector de todo ceros?
- Porque normalizarlo significa dividir entre su módulo, y su módulo es cero. Además de la división hay una segunda razón: el vector nulo no tiene dirección ninguna, así que la respuesta no tendría nada que conservar. Las páginas de ángulos y de producto escalar también lo rechazan, mientras que la del producto vectorial lo acepta — allí produce de verdad el vector nulo.
- ¿Para qué sirve normalizar un vector?
- Para separar una dirección de un tamaño. Las fórmulas de reflexión, proyección e iluminación suponen que el vector que les pasas mide 1, y pasarles uno de módulo 5 escala la respuesta por 5 sin ningún aviso. Comparar dos direcciones medidas en escalas distintas es el otro uso: normaliza las dos y los tamaños dejan de estorbar.
Referencias
- Unit vector — the vector of length 1 pointing in a given direction, which is what this page returns, and the normalisation-by-division that produces it — Wolfram MathWorld (United States)
- Vector — the object being normalised, and the definition of its length as the square root of the sum of the squares of its components — Wolfram MathWorld (United States)
- Norm — the general name for the length of a vector, of which the square-root-of-sum-of-squares is the ordinary Euclidean case used here — Wolfram MathWorld (United States)