Calculadora de producto vectorial
Resultado
Componente x de u × v
- Componente y de u × v
- 6,0000
- Componente z de u × v
- -3,0000
- Módulo de u × v
- 7,3485
Una calculadora de producto vectorial toma dos vectores de tres dimensiones y devuelve el vector perpendicular a los dos, escrito como sus componentes x, y y z junto con la longitud de ese vector resultante. Escribe cada vector como tres números separados por espacios o por comas —1 2 3 y 4 5 6— en el orden que quieras dentro de los dos recuadros, y la página hace el resto. Que sean tres números cada uno no es una simplificación sino la definición: el producto vectorial existe en tres dimensiones (y, con otra construcción, en siete), y no hay ningún producto vectorial de vectores de dos dimensiones que calcular. Cada componente sale de una diferencia de dos productos. La componente x es la segunda componente del primer vector por la tercera del segundo, menos su tercera por la segunda del segundo. La componente y repite ese patrón desplazado un puesto, y la componente z lo desplaza una vez más. El orden cíclico es lo que hay que no confundir, y confundirlo es lo que produce un error de signo en una componente en lugar de una respuesta visiblemente mala. Dos propiedades conviene conocerlas antes de usar la salida. El resultado apunta en ángulo recto a las dos entradas, así que es la forma natural de obtener una normal a una superficie o a un plano generado por dos direcciones. Y el orden importa: cambia los dos vectores de sitio y todas las componentes de la respuesta invierten su signo, mientras que la longitud no cambia. Esa es la regla de la mano derecha en forma aritmética, y esta página te la enseña directamente si escribes dos veces la misma pareja de vectores con los recuadros cambiados. La misma fórmula tiene una segunda lectura que muchas veces es más útil que el propio vector: la longitud del producto vectorial es el área del paralelogramo que generan los dos vectores, que es exactamente el doble del área del triángulo con esos dos lados. Un producto vectorial de longitud cero significa por tanto que los dos vectores son paralelos —no generan ninguna área—, y ese es también el caso que devuelve tres ceros.
Parejas de vectores y sus productos vectoriales
| Vector u | Vector v | Componente x de u × v | Componente y de u × v | Componente z de u × v | Módulo de u × v |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 2 3 | 4 5 6 | -3 | 6 | -3 | 7.3485 |
| 1 0 0 | 0 1 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 1 0 | 1 0 0 | 0 | 0 | -1 | 1 |
| 0 0 1 | 1 0 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 2 3 | 2 4 6 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 0 0 | 1 2 3 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 3 4 0 | 4 3 0 | 0 | 0 | -7 | 7 |
| 2 -3 1 | 4 5 6 | -23 | -8 | 22 | 32.8177 |
Ocho parejas, y el argumento entero de la página está repartido entre ellas. La primera fila es la que carga la página y la segunda es el ejemplo más simple que hay: el vector unitario a lo largo de x multiplicado vectorialmente por el de y da el de z, con longitud 1. La tercera fila es la segunda con las dos columnas intercambiadas, y la cuarta cierra el ciclo, que es todo el orden cíclico de esta operación demostrado en tres líneas. La quinta fila son dos vectores paralelos, y da tres ceros y una longitud de cero: dos vectores paralelos no generan área. La sexta fila es el vector nulo, y está en la tabla a propósito: la página lo acepta, al contrario que la del producto escalar y la del ángulo, porque aquí hay una respuesta verdadera que dar en lugar de una división que evitar. Esas dos filas se parecen mucho y significan cosas distintas, que es la única ambigüedad que la página no puede resolver por ti. La séptima fila es una pareja que está en el plano: la respuesta sale en vertical del plano, solo la tercera componente es distinta de cero, y la longitud de 7 es el área del paralelogramo que tiene estos dos como lados. La octava fila es la desordenada, con signos mezclados, en la que las tres componentes son distintas de cero: la fila con la que comparar si haces una a mano y quieres saber si tu patrón de signos es el correcto. Cada cifra se recalcula al construir la página, y los espacios de las dos primeras columnas son los separadores y no forman parte de los números.
Fórmula
u × v ＝ （u₂v₃ − u₃v₂, u₃v₁ − u₁v₃, u₁v₂ − u₂v₁） |u × v| ＝ |u| × |v| × sin θ ＝ área del paralelogramo
- Vector u
- El primer vector: exactamente tres números, separados por espacios o por comas, por ejemplo 1 2 3. Tres es el único recuento aceptado, porque el producto vectorial es una operación de tres dimensiones; una pareja de dos se rechaza en lugar de rellenarse con un cero, lo que cambiaría la respuesta en silencio
- Vector v
- El segundo vector, también exactamente tres números. El orden de los dos vectores importa aquí de una forma en la que no importa en un producto escalar: cambiarlos de sitio invierte el signo de todas las componentes de la respuesta
- Componente x
- La primera componente de la respuesta: la segunda componente del primer vector por la tercera del segundo, menos su tercera por la segunda del segundo. Cada componente de un producto vectorial es una diferencia de dos productos, y de ahí vienen los signos
- Componente y
- El mismo patrón desplazado un puesto: la tercera componente del primer vector por la primera del segundo, menos su primera por la tercera del segundo. Equivocar este desplazamiento es el error más corriente, y no produce una respuesta absurda, solo una componente con el signo cambiado
- Componente z
- El patrón desplazado una vez más: la primera componente del primer vector por la segunda del segundo, menos su segunda por la primera del segundo. Las tres componentes juntas son el vector perpendicular a las dos entradas
- Módulo
- La longitud del vector resultante: la raíz de la suma de los cuadrados de las tres componentes. Es también el área del paralelogramo que generan los dos vectores de entrada, y el doble del área del triángulo con esos dos lados, que suele ser la forma más útil de leerlo
- |u| × |v| × sin θ
- La misma longitud escrita desde el otro lado, con θ el ángulo entre las dos entradas. Dice que la longitud es máxima cuando los dos vectores son perpendiculares y baja hasta cero a medida que se alinean, que es por lo que un producto vectorial de cero significa paralelos, y por lo que el producto escalar, que se comporta exactamente al revés, es el complemento de esta página
- Perpendicular a los dos
- La propiedad que hace que la salida merezca la pena: el resultado está en ángulo recto con cada una de las dos entradas. Se comprueba en la salida haciendo cualquiera de los dos productos escalares: los dos dan cero, dentro del redondeo
- Four decimal places
- El ancho con el que se escriben las salidas. Las componentes son exactas siempre que las entradas sean números enteros y pequeños, lo que cubre la mayoría de los cálculos a mano; donde no lo son, las cifras van redondeadas
El producto vectorial responde a una pregunta distinta de la del producto escalar, y los dos son complementarios y no alternativas. El producto escalar toma dos vectores y da un número que es máximo cuando apuntan en la misma dirección; el producto vectorial toma dos vectores y da un vector que es más largo cuando son perpendiculares. Usa este cuando necesites una dirección en ángulo recto con dos direcciones conocidas: la normal a una superficie, el eje sobre el que gira algo, la dirección en la que empuja una fuerza magnética a una carga en movimiento. Úsalo cuando quieras el área de un paralelogramo o de un triángulo a partir de dos vectores que son lados: la longitud de la respuesta es el área del paralelogramo, así que la mitad es la del triángulo. Úsalo para comprobar si dos vectores son paralelos, ya que la respuesta son tres ceros exactamente cuando lo son. Y úsalo cuando necesites la dirección perpendicular en la orientación correcta, que es donde entran el orden de los dos vectores y la regla de la mano derecha: el primer vector es aquel del que se separan los dedos y el segundo aquel hacia el que se cierran, con el pulgar dando la respuesta. Dos advertencias. El resultado es perpendicular a las dos entradas, así que no es una dirección hacia la que apuntara ninguna de ellas; si esperabas una respuesta a lo largo de uno de los dos, querías el producto escalar. Y una longitud de cero es una respuesta real y no un fallo: dice que los dos vectores son paralelos, incluido el caso en que uno de ellos es el vector nulo.
Ejemplos resueltos
1 2 3 y 4 5 6
- Componente x: 2 × 6 − 3 × 5 ＝ 12 − 15 ＝ −3
- Componente y: 3 × 4 − 1 × 6 ＝ 12 − 6 ＝ 6
- Componente z: 1 × 5 − 2 × 4 ＝ 5 − 8 ＝ −3
- Módulo: √(9 + 36 + 9) ＝ √54 ＝ 7,348469
La entrada con la que carga la página y la fila que enseña lo corriente que es la aritmética: tres diferencias de dos productos y nada más. Las tres componentes son distintas de cero, lo que convierte esta fila en la más útil para contrastar un paso hecho a mano contra la página, ya que un error de signo no se puede esconder detrás de un cero. La longitud, 7,3485, es el área del paralelogramo que generan estos dos vectores; el triángulo con estos dos lados tiene la mitad.
1 0 0 y 0 1 0
- Componente x: 0 × 0 − 0 × 1 ＝ 0
- Componente y: 0 × 0 − 1 × 0 ＝ 0
- Componente z: 1 × 1 − 0 × 0 ＝ 1
- Módulo: √(0 + 0 + 1) ＝ 1
Los vectores unitarios a lo largo de los dos primeros ejes, y el producto vectorial vuelve como el tercero. Esta es la fila que muestra el orden cíclico sobre el que está construida la página: x por y es z, y la longitud de 1 dice que las dos entradas eran perpendiculares y que el paralelogramo es un cuadrado unitario. Merece la pena escribir a mano las tres componentes aquí una vez: es el caso en el que todos los términos que deben anularse se anulan.
0 1 0 y 1 0 0
- Componente x: 1 × 0 − 0 × 0 ＝ 0
- Componente y: 0 × 1 − 0 × 0 ＝ 0
- Componente z: 0 × 0 − 1 × 1 ＝ −1
- Módulo: √(0 + 0 + 1) ＝ 1
La fila anterior con los dos recuadros cambiados de sitio, y toda la diferencia es el signo de la tercera componente. Esa es la propiedad de esta operación que depende del orden, y esta página la demuestra sin nada de álgebra: escribe dos veces la misma pareja, cambia los recuadros y mira cómo una componente cambia de signo. La longitud no cambia, sigue siendo 1, que es la otra mitad de la afirmación: cambiar los dos vectores de sitio invierte la dirección de la respuesta pero no su tamaño.
1 2 3 y 2 4 6
- Componente x: 2 × 6 − 3 × 4 ＝ 12 − 12 ＝ 0
- Componente y: 3 × 2 − 1 × 6 ＝ 6 − 6 ＝ 0
- Componente z: 1 × 4 − 2 × 2 ＝ 4 − 4 ＝ 0
- Módulo: √(0 + 0 + 0) ＝ 0
Dos vectores que apuntan en la misma recta —el segundo es exactamente el doble del primero— y la respuesta son tres ceros. Este es el caso de vectores paralelos, y es el que conviene reconocer, porque la longitud de un producto vectorial es el área que generan los dos vectores y dos vectores paralelos no generan ninguna área. Obtener tres ceros es una respuesta correcta y no un fallo: dice que las dos direcciones son la misma recta y que ningún vector es perpendicular a esa recta como lo sería una normal a una superficie.
3 4 0 y 4 3 0
- Componente x: 4 × 0 − 0 × 3 ＝ 0
- Componente y: 0 × 4 − 3 × 0 ＝ 0
- Componente z: 3 × 3 − 4 × 4 ＝ 9 − 16 ＝ −7
- Módulo: √(0 + 0 + 49) ＝ 7
Dos vectores que están en el plano, así que la dirección perpendicular es la que sale en vertical de él y las dos primeras componentes son cero. La longitud de 7 es el área del paralelogramo que tiene estos dos como lados, y el triángulo con estos dos lados tiene 3,5. El signo de la tercera componente dice hacia qué lado del plano apunta la respuesta, y aquí es negativo porque el primer vector es el que gira hacia el segundo en sentido antihorario cuando se mira desde el otro lado. Los dos vectores miden 5, su producto escalar es 24, y 7, 24 y 25 forman una terna pitagórica, que es otra forma de decir que la longitud de aquí y el producto escalar son los dos catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el producto de las dos longitudes.
Limitaciones
Los dos vectores deben tener exactamente tres componentes, y una pareja de dos o de cuatro se rechaza en lugar de rellenarse. No existe el producto vectorial de dos dimensiones: la operación es de tres dimensiones por definición, y añadir en silencio un cero para que encaje una pareja de dos produciría una dirección que no tiene nada que ver con el plano en el que están los dos vectores. Las componentes se leen como números corrientes: una coma seguida de un espacio separa componentes, una coma sin espacio detrás se lee como separador decimal (1,5 es uno y medio), y un separador de millares se rechaza en lugar de adivinarse, así que escribe 1500 y no 1.500. Los cuatro decimales son un ancho de presentación y no una afirmación sobre la precisión. El vector nulo sí se acepta aquí, al contrario que en la página del producto escalar y en la del ángulo, y esa diferencia es deliberada: un producto vectorial con el vector nulo es de verdad el vector nulo, porque el vector nulo no genera ninguna área con nada, así que hay una respuesta verdadera que dar en lugar de un cálculo que declinar. Obtener tres ceros es por tanto ambiguo de una forma que la página no puede resolver por ti: significa que los dos vectores son paralelos, y significa también que uno de ellos es el vector nulo, y solo tú sabes cuál de las dos cosas es. Los dos casos son salidas correctas. No hay ningún tratamiento de unidades: las componentes son números sin más y la longitud de la respuesta también, aunque la longitud sí lleva la unidad que tuvieran las entradas elevada al cuadrado. Nada en la página comprueba la orientación del resultado contra una mano derecha física, así que si usas la salida como normal o como eje de giro, el orden en el que se escribieron los dos vectores es lo que decide cuál de las dos direcciones perpendiculares obtienes.
Preguntas frecuentes
- ¿Por qué no puedo escribir vectores de dos dimensiones?
- Porque no existe el producto vectorial de dos vectores de un plano. La operación está definida en tres dimensiones: la respuesta tiene que ser perpendicular a las dos entradas, y en un plano no queda ninguna dirección hacia la que pueda apuntar. Rellenar una pareja de dos con un cero para que encaje produciría una respuesta que no tiene nada que ver con ese plano, así que la página lo rechaza en lugar de hacerlo.
- ¿Qué significa geométricamente la respuesta?
- Es el vector en ángulo recto con las dos entradas, y su longitud es el área del paralelogramo que generan esas dos entradas. La mitad de esa longitud es el área del triángulo con esos dos lados. Esa doble lectura es la razón de que el mismo cálculo aparezca tanto cuando quieres una normal a una superficie como cuando quieres un área.
- Me han salido tres ceros, ¿ha ido algo mal?
- No: un producto vectorial nulo es una respuesta real. Significa que los dos vectores son paralelos y no generan ninguna área, y también sale cuando uno de ellos es el vector nulo. Los dos casos son resultados correctos y no fallos, y la página no tiene forma de decirte en cuál estás, porque los dos producen los mismos tres ceros.
- ¿Importa el orden de los dos vectores?
- Sí, y es el único punto en el que esta página se separa claramente de la del producto escalar. Cambiar los dos vectores de sitio invierte la dirección de la respuesta: todas las componentes cambian de signo, mientras que la longitud se queda exactamente igual. Escribe dos veces la misma pareja con los recuadros cambiados y lo verás ocurrir. Cuál de las dos direcciones perpendiculares quieres lo decide la regla de la mano derecha.
- ¿Qué componente va primero?
- La componente x, luego la y y luego la z, y la respuesta se imprime como un vector igual que se escribieron las entradas. Cada una es una diferencia de dos productos, con el patrón desplazándose un puesto alrededor del ciclo en cada paso: la componente y repite la receta de la x con las componentes giradas, y la componente z gira una vez más.
- ¿En qué se diferencia esto del producto escalar?
- El producto escalar toma dos vectores y da un solo número, máximo cuando los dos apuntan en la misma dirección; el producto vectorial da un vector, el más largo cuando son perpendiculares. Son complementarios. Si querías un único número —un ángulo, una proyección, una semejanza—, quieres el producto escalar; si querías una dirección en ángulo recto con las dos, quieres esta página.
Referencias
- Cross product — the operation this page computes, with the component-by-component definition and the two properties the page leans on, that the result is perpendicular to both inputs and that the order of the factors flips its sign — Wolfram MathWorld (United States)
- Determinant — the array of numbers whose evaluation is exactly the cross product's component formulas, which is why the same cycle turns up in both places and why this page points at the matrix calculator — Wolfram MathWorld (United States)
- Parallelogram — the figure whose area the length of a cross product gives, and the reason the answer is three zeros exactly when the two vectors are parallel — Wolfram MathWorld (United States)