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CalcMax

Calculadora de matrices

Resultado

25,0000

Resultado, fila 1 columna 1

Resultado, fila 1 columna 2
36,0000
Resultado, fila 2 columna 1
20,0000
Resultado, fila 2 columna 2
28,0000
Determinante de A
10,0000

Una calculadora de matrices de 2×2 que suma, multiplica o invierte matrices, e imprime los cuatro elementos del resultado junto con el determinante de la primera matriz. Rellena cada matriz con una fila por recuadro: la fila 4 7 va en un recuadro y la fila 2 6 en el siguiente, con los dos números separados por un espacio o por una coma. Elige la operación en el desplegable y la página hace el resto. Solo los recuadros de la segunda matriz pueden quedarse vacíos, y si hay que rellenarlos depende de lo que hayas pedido: sumar y multiplicar usan las dos matrices, invertir usa solo la primera, así que con esa operación seleccionada la segunda matriz no se lee. Tres operaciones, y cada una es una cosa distinta. Sumar dos matrices las suma elemento a elemento —arriba a la izquierda con arriba a la izquierda, y así sucesivamente— y es la única de las tres que se comporta como los números corrientes. Multiplicarlas no es elemento a elemento: cada elemento de la respuesta sale de una fila entera de la primera matriz y una columna entera de la segunda, multiplicadas por parejas y sumadas, y por eso la esquina superior izquierda de la respuesta no usa por separado ninguna de las dos entradas de esa esquina. E invertir pide la matriz que deshace la primera, esa por la que multiplicarías para obtener la identidad. Invertir es la operación que lleva una condición: necesita que el determinante no sea cero, y cuando el determinante es cero la página se niega en lugar de devolver algo, porque la matriz que la desharía no existe. Sumar y multiplicar una matriz con determinante cero son cosas perfectamente corrientes: lo único que desaparece es la inversa. El determinante se imprime en todos los cálculos, sea cual sea la operación elegida, y pertenece siempre a la primera matriz. Es a propósito: es un hecho sobre esa matriz y no sobre la aritmética que has pedido, así que se queda quieto mientras vas alternando entre sumar, multiplicar e invertir la misma entrada. Es el número que decide si la inversa existe, y su signo dice si la matriz le da la vuelta al plano, que es por lo que tenerlo en pantalla al lado de la respuesta es más útil que tenerlo en una página aparte.

Matrices de 2×2 y sus inversas

Matriz A, fila 1Matriz A, fila 2Determinante de AResultado, fila 1 columna 1Resultado, fila 1 columna 2Resultado, fila 2 columna 1Resultado, fila 2 columna 2
4 72 6100.6-0.7-0.20.4
1 00 111001
1 23 4-2-211.5-0.5
2 00 360.5000.3333
0 11 0-10110
2 41 321.5-2-0.51
3 51 212-5-13
1 11 212-1-11

Ocho matrices con sus inversas, y la tabla muestra una sola operación y no tres: todas las filas de aquí son inversas, porque esa es la operación contra la que hay que leer las columnas y porque sumar y multiplicar necesitan una segunda matriz que una tabla de matrices sueltas no puede aportar. La primera fila es la que carga la página: determinante 10 y cuatro elementos que salen exactos, ya que 10 divide las entradas intercambiadas sin dejar resto. La segunda fila es la identidad, cuya inversa es ella misma. La tercera es la matriz más pequeña con determinante negativo, y el signo negativo cambia de signo todos los elementos de la inversa, que es la forma más rápida de ver qué está haciendo el signo del determinante. La cuarta es diagonal, y la inversa son sencillamente las dos entradas de la diagonal puestas del revés, que es también de donde sale la respuesta menos limpia de la página, porque un tercio no da exacto. La quinta tiene los unos fuera de la diagonal en lugar de dentro: la matriz que intercambia las dos coordenadas de un vector. Su determinante es −1, así que la inversa vuelve a ser exacta, y la matriz es su propia inversa. La sexta tiene determinante 2 y produce mitades. La séptima tiene determinante 1 y da números enteros, que es exactamente lo que compra un determinante de 1, ya que dividir entre 1 una matriz adjunta de números enteros no puede cambiarla. Un determinante de 1 merece reconocerse por eso. La octava también tiene determinante 1 y también sale en números enteros. Ninguna fila de aquí tiene determinante cero, y es deliberado: esas matrices son las que la página se niega a invertir, y una fila de cuatro huecos en una tabla de referencia diría menos que la frase que hay en las limitaciones. Cada cifra se recalcula al construir la página, y los espacios de las dos primeras columnas son los separadores y no forman parte de los números.

Fórmula

A ＋ B ＝ （aᵢⱼ ＋ bᵢⱼ） （A × B）ᵢⱼ ＝ aᵢ₁b₁ⱼ ＋ aᵢ₂b₂ⱼ det A ＝ a₁₁a₂₂ − a₁₂a₂₁ A⁻¹ ＝ （1 ÷ det A）× （a₂₂, −a₁₂; −a₂₁, a₁₁）

Matrix A, fila 1 / fila 2
La primera matriz, una fila por recuadro y dos números en cada uno, por ejemplo 4 7 y 2 6. Filas en lugar de cuatro celdas separadas porque una matriz es un solo objeto: partirla en cuatro recuadros convertiría una entrada en cuatro y permitiría rellenar algo que no es una matriz
Matrix B, fila 1 / fila 2
La segunda matriz, escrita igual, y la única entrada opcional de la página. Sumar y multiplicar la necesitan; invertir la ignora por completo, así que con esa operación seleccionada puedes dejar los dos recuadros vacíos. Dejarlos vacíos no es un error: la clave simplemente no está
Operación
Cuál de las tres cosas hacer: sumar las dos matrices, multiplicarlas o invertir la primera. Una sola página en lugar de tres, porque las tres toman la misma entrada y solo se diferencian en la aritmética que se les aplica
Resultado, fila 1 columna 1
El elemento superior izquierdo de la respuesta, y con él los otros tres por las mismas etiquetas. En una suma son los dos números de arriba a la izquierda sumados; en una multiplicación es toda la primera fila de A contra toda la primera columna de B, y por eso no es simplemente el producto de las dos entradas de esa esquina
det A
El determinante de la primera matriz: arriba a la izquierda por abajo a la derecha, menos arriba a la derecha por abajo a la izquierda. Se imprime en todas las operaciones y pertenece siempre a A, no a la respuesta: es una propiedad de la matriz que escribiste, así que no cambia cuando pasas de sumar a multiplicar o a invertir los mismos números
1 ÷ det A
El factor de escala de la inversa, y la razón de que un determinante cero se rechace: es el número entre el que se divide la inversa. Ni sumar ni multiplicar lo necesitan, y por eso esas dos siguen funcionando con una matriz cuyo determinante es cero
A⁻¹
La matriz que deshace A: multiplica las dos en cualquier orden y obtienes la identidad, unos en la diagonal y ceros fuera. Eso es lo que la hace valiosa, y existe exactamente cuando el determinante no es cero
Identidad
La matriz con unos en la diagonal y ceros fuera de ella, que es para la multiplicación de matrices lo que el número 1 para la multiplicación corriente. La comprobación de que una inversa está bien es multiplicarla de vuelta y obtener esto
Four decimal places
El ancho con el que se escriben las salidas. Sumar y multiplicar números enteros da resultados exactos, igual que invertir cualquier matriz con determinante 1 o −1; el resto van redondeadas, y una matriz diagonal con un 3 en ella es el caso corriente que no sale exacto

La suma es la operación que casi nadie quiere, y está aquí sobre todo para que las tres puedan verse juntas: suma elemento a elemento, funciona siempre, y es el único sitio donde las matrices se comportan como los números corrientes. La multiplicación es la que importa para las transformaciones: aplicar a la misma figura un giro y luego un escalado es multiplicar sus dos matrices, y el orden en que las multiplicas es el orden en que se aplican. La inversión sirve para deshacer: si una matriz lleva las coordenadas en un sentido, su inversa las devuelve, que es lo que quieres cuando tienes el resultado de una transformación y necesitas la entrada que lo produjo. El determinante, impreso al lado, merece leerse por sí mismo. Un determinante cero significa que la matriz aplasta el plano sobre una recta, así que entradas distintas acaban en la misma salida y no se puede deshacer nada: esa es la misma afirmación que decir que la inversa no existe. Su signo dice si la matriz conserva la orientación del plano o se la da la vuelta. Dos cosas que conviene tener presentes al usar esta página. La multiplicación no es conmutativa: cambiar las dos matrices de sitio da una respuesta distinta, así que si estás componiendo transformaciones, el orden forma parte del problema y no es un detalle. Y solo se muestra el determinante de la primera matriz, así que si quieres también el de la segunda, inviértela sola: es el desplegable, y no los recuadros, lo que decide qué matriz cuenta como la primera.

Ejemplos resueltos

  1. 4 7 sobre 2 6, por 1 2 sobre 3 4

    1. Arriba a la izquierda: (4 × 1) + (7 × 3) ＝ 4 + 21 ＝ 25
    2. Arriba a la derecha: (4 × 2) + (7 × 4) ＝ 8 + 28 ＝ 36
    3. Abajo a la izquierda: (2 × 1) + (6 × 3) ＝ 2 + 18 ＝ 20
    4. Abajo a la derecha: (2 × 2) + (6 × 4) ＝ 4 + 24 ＝ 28
    5. Determinante de A: (4 × 6) − (7 × 2) ＝ 24 − 14 ＝ 10

    La entrada con la que carga la página. Cada elemento de la respuesta es una fila entera de la primera matriz contra una columna entera de la segunda, y eso es lo que hay que mirar aquí: la esquina superior izquierda de la respuesta es 25, y ninguno de los dos números que están en esa esquina en las entradas, el 4 y el 1, es 25. Su producto es 4. También se imprime el determinante, 10, y es el de A —4 y 7 sobre 2 y 6—, no el de la respuesta.

  2. Las mismas dos matrices, sumadas

    1. Arriba a la izquierda: 4 + 1 ＝ 5
    2. Arriba a la derecha: 7 + 2 ＝ 9
    3. Abajo a la izquierda: 2 + 3 ＝ 5
    4. Abajo a la derecha: 6 + 4 ＝ 10
    5. Determinante de A: sin cambios, 10, ya que A es la misma matriz que en el ejemplo anterior

    El ejemplo anterior con una sola cosa cambiada: el desplegable. Ahora cada elemento es una suma corriente, y esta es la única de las tres operaciones en la que las matrices se comportan como los números de siempre: el orden da igual y no hay nada que pueda salir mal. El determinante sigue siendo 10, porque es un hecho sobre A y A no ha cambiado. Alternar el desplegable entre sumar y multiplicar es la forma más rápida de ver que el determinante no es una propiedad del cálculo.

  3. Invertir 4 7 sobre 2 6

    1. Determinante de A: (4 × 6) − (7 × 2) ＝ 24 − 14 ＝ 10
    2. Intercambia las dos entradas de la diagonal: 6 y 4
    3. Cambia de signo las dos entradas fuera de la diagonal: −7 pasa a 7 y 2 pasa a −2
    4. Divide cada una entre el determinante: 6 ÷ 10 ＝ 0,6 · −7 ÷ 10 ＝ −0,7 · −2 ÷ 10 ＝ −0,2 · 4 ÷ 10 ＝ 0,4
    5. Comprobación: (4 × 0,6) + (7 × −0,2) ＝ 2,4 − 1,4 ＝ 1, que es la esquina superior izquierda de la identidad

    La primera de las tres operaciones con una condición, y los recuadros de la segunda matriz están vacíos a propósito: invertir solo lee A, y a la página no le parece mal. La receta es siempre los mismos pasos: intercambia la diagonal, cambia de signo las otras dos y divide entre el determinante. La comprobación del final merece hacerse una vez a mano: multiplicar la respuesta de vuelta por la original da unos en la diagonal y ceros fuera, y obtener cualquier otra cosa significa que se ha colado un signo.

  4. 1 2 sobre 3 4, por 5 6 sobre 7 8

    1. Arriba a la izquierda: (1 × 5) + (2 × 7) ＝ 5 + 14 ＝ 19
    2. Arriba a la derecha: (1 × 6) + (2 × 8) ＝ 6 + 16 ＝ 22
    3. Abajo a la izquierda: (3 × 5) + (4 × 7) ＝ 15 + 28 ＝ 43
    4. Abajo a la derecha: (3 × 6) + (4 × 8) ＝ 18 + 32 ＝ 50
    5. Determinante de A: (1 × 4) − (2 × 3) ＝ 4 − 6 ＝ −2

    La fila que hay que intercambiar. Pon los mismos cuatro números con A y B cambiadas de sitio y la respuesta pasa a ser 23, 34, 31 y 46: una matriz completamente distinta, a partir de las mismas entradas en otro orden. La multiplicación de matrices no es conmutativa, y esto es lo que significa en la práctica: si las dos matrices son dos transformaciones, el orden en que se multiplican es el orden en que se aplican. Fíjate en que el determinante de A es −2 aquí y −2 allí, ya que las dos matrices resultan tener el mismo determinante: las dos respuestas se diferencian en los cuatro elementos del resultado, y la columna del determinante no puede distinguirlas.

  5. Una matriz con determinante cero, multiplicada

    1. Arriba a la izquierda: (1 × 1) + (2 × 3) ＝ 1 + 6 ＝ 7
    2. Arriba a la derecha: (1 × 2) + (2 × 4) ＝ 2 + 8 ＝ 10
    3. Abajo a la izquierda: (2 × 1) + (4 × 3) ＝ 2 + 12 ＝ 14
    4. Abajo a la derecha: (2 × 2) + (4 × 4) ＝ 4 + 16 ＝ 20
    5. Determinante de A: (1 × 4) − (2 × 2) ＝ 4 − 4 ＝ 0

    La primera matriz tiene determinante cero —su segunda fila es exactamente el doble de la primera, así que aplasta el plano sobre una recta— y la multiplicación se calcula igualmente con toda normalidad. Ese es el sentido del ejemplo: un determinante cero es un problema para invertir y para nada más. Pídele a esta misma página que invierta esta matriz y se negará. Pídele que sume o que multiplique y responderá, porque las dos tienen aquí respuestas perfectamente definidas. La columna del determinante marca 0 en cualquiera de los dos casos.

Limitaciones

Solo se aceptan matrices de 2×2, con una fila por recuadro y dos números en cada una. Matrices más grandes necesitarían otra disposición y no un recuadro más grande, ya que el número de celdas crece con el cuadrado del tamaño. Los recuadros de la segunda matriz pueden quedarse vacíos, y si hay que rellenarlos depende de la operación y no del recuadro: sumar y multiplicar necesitan las dos matrices, invertir solo lee la primera. La inversa existe solo cuando el determinante no es cero, y esa comprobación se hace contra el cero exacto y no contra un valor cercano a cero, lo que es a la vez una limitación real y una decisión. Una tolerancia tendría que rechazar matrices que sí son invertibles para atrapar los casos cercanos al límite, así que no hay ninguna; el precio es que una matriz escrita con decimales que sea singular en aritmética exacta puede dar un determinante como 1,4e-17 en lugar de 0 y ser invertida, lo que devuelve cuatro números enormes en lugar de una negativa. Escribir números enteros evita esto por completo, y un determinante así de pequeño es ya una señal en sí mismo. Solo se muestra el determinante de la primera matriz, así que el de la segunda hay que sacarlo poniéndola en la primera posición. Las componentes se leen como números corrientes: una coma seguida de un espacio separa los dos números de una fila, una coma sin espacio detrás se lee como separador decimal (1,5 es uno y medio), y un separador de millares se rechaza en lugar de adivinarse, así que escribe 1500 y no 1.500. Los cuatro decimales son un ancho de presentación y no una afirmación sobre la precisión, y la inversa se calcula a partir del determinante sin redondear, así que multiplicar de vuelta la respuesta impresa por A puede no dar exactamente unos y ceros sobre las cifras impresas. No hay unidades en ningún sitio de esta página, ni se sobreentiende ninguna: los elementos son números sin más, y los cuatro decimales son lo único que se afirma sobre ellos.

Preguntas frecuentes

¿Por qué un recuadro por fila y no uno por número?
Porque una matriz es un solo objeto, y cuatro recuadros la convertirían en cuatro entradas que se pueden rellenar por separado, incluso de formas que no son una matriz. Una matriz entera en un solo recuadro tiene el problema contrario: no hay manera de distinguir un elemento que falta de uno mal colocado. Un recuadro por fila mantiene juntos los dos números de una fila y sigue permitiendo a la página comprobar que cada fila tiene exactamente dos.
¿Cuándo puedo dejar vacía la segunda matriz?
Cuando la operación que has elegido no la necesita. Invertir solo lee la primera matriz, así que los dos recuadros de la segunda pueden quedarse vacíos y no falta nada. Sumar y multiplicar necesitan las dos, y la página esperará en lugar de quejarse mientras todavía estás escribiendo. Que un recuadro haya que rellenarlo lo decide la operación, no el recuadro.
¿Por qué a veces se niega a invertir una matriz?
Porque la inversa es la matriz que deshace la primera, y una matriz singular —una cuyo determinante es cero— no tiene esa inversa: la primera matriz aplasta el plano sobre una recta, así que entradas distintas acaban en la misma salida y no se puede revertir nada. La página se niega en lugar de imprimir cuatro números que parecen una respuesta. Sumar y multiplicar esa misma matriz funcionan con normalidad.
¿A qué matriz pertenece el determinante?
Siempre a la primera, sea cual sea la operación elegida, así que se queda quieto mientras alternas entre sumar, multiplicar e invertir la misma entrada. Es una propiedad de esa matriz y no de la respuesta, y es lo que decide si la inversa existe. Si quieres el determinante de la segunda matriz, ponla en la primera posición e inviértela.
¿Importa el orden de las dos matrices?
Para multiplicar, sí, y es una diferencia real y no un tecnicismo: cambiar las dos matrices de sitio da cuatro elementos distintos. Si son dos transformaciones, el orden en que se multiplican es el orden en que se aplican. La suma es la excepción: las matrices se suman como los números corrientes y el orden no influye en absoluto.
¿Para qué sirve la inversa?
Para deshacer la matriz. Multiplica una matriz por su inversa en cualquier orden y obtienes la identidad: unos en la diagonal y ceros fuera. Eso es lo que la hace útil para ir hacia atrás, desde unas coordenadas transformadas hasta las que las produjeron. La página imprime el determinante al lado porque un determinante cero es exactamente el caso en el que eso no se puede hacer.

Referencias

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