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CalcMax

Calculadora de proyección de vectores

Resultado

3,0000

Proyección escalar

Componente x de la proyección
3,0000
Componente y de la proyección
0,0000
Componente z de la proyección
0,0000

Una calculadora de proyección de vectores averigua qué parte de un vector va en la dirección de otro y da la respuesta dos veces: como un escalar con signo y como un vector. Escribe los dos como listas de números, por ejemplo 3 4 y 1 0, y la página da primero la proyección escalar —la longitud de la sombra que el primer vector proyecta sobre el segundo, negativa cuando se inclinan en sentidos opuestos— y después el propio vector proyección, que es esa misma sombra escrita como un vector real que se apoya en el segundo. La proyección escalar es el producto escalar dividido entre la longitud del segundo vector; el vector proyección toma ese número y le devuelve la dirección. Se aceptan dos o tres componentes y los dos vectores deben tener el mismo número. Enseñar las dos salidas es el sentido de la página y no una redundancia: la proyección escalar mide sobre una recta y por eso conserva un signo, mientras que el vector proyección solo sabe sobre qué recta está, así que invertir el segundo vector cambia el signo del primer resultado y deja intacto el segundo. El segundo vector no puede ser el vector nulo, porque no habría dirección sobre la que proyectar; el primero sí puede serlo, y su proyección es entonces cero.

Vectores y sus proyecciones

Vector de origen uVector objetivo vProyección escalar de u sobre vComponente x de la proyecciónComponente y de la proyecciónComponente z de la proyección
3 41 03300
1 23 42.21.321.760
3 4-1 0-3300
1 00 10000
1 1 11 1 11.7321111
2 3 61 1 16.35093.66673.66673.6667
0 03 40000
1 2 22 2 12.66671.77781.77780.8889

Ocho parejas, proyectadas en un solo sentido, con el escalar primero y después las tres componentes del vector que le corresponde. La primera y la tercera fila son una pareja emparejada y la razón de que la tabla merezca leerse: el origen es 3 4 en las dos, el objetivo es 1 0 en una y −1 0 en la otra, y la proyección escalar pasa de 3 a −3 mientras que el vector proyección sigue siendo exactamente (3, 0, 0) en los dos casos. Cambiar de signo el objetivo pone un menos en el numerador y otro en el denominador al cuadrado, así que el vector no se entera y el escalar sí. La segunda fila es el caso corriente sin ningún vector normalizado, y el escalar sale limpio, 2,2, mientras que las componentes no. La cuarta fila es la pareja perpendicular: el escalar es 0 y el vector proyección es el vector nulo, que es una respuesta correcta y el único sitio de la tabla donde las dos salidas se anulan juntas sin que ninguna de las dos entradas sea cero. La quinta fila proyecta un vector sobre sí mismo, así que el escalar es su propia longitud, √3, y las componentes vuelven iguales. La sexta fila es de tres dimensiones con un objetivo de componentes iguales, lo que da tres componentes de proyección iguales. La séptima fila es el vector nulo como origen, aceptado con una proyección de cero. La octava fila es una pareja de tres dimensiones con una componente negativa en la proyección. No hay ninguna fila con un vector objetivo nulo, y es deliberado: ese caso se rechaza, porque el objetivo aporta a la vez la dirección y el divisor. Cada cifra se recalcula al construir la página; los espacios de las dos primeras columnas son separadores y no forman parte de los números.

Fórmula

s ＝ (u · v) ÷ |v| proj_v u ＝ (s ÷ |v|) · v ＝ ((u · v) ÷ |v|²) · v

Source vector u
El vector que se proyecta, aquel cuya sombra se quiere. Dos o tres números separados por espacios o por comas. Puede ser el vector nulo, y su proyección es entonces sencillamente cero
Target vector v
El vector sobre el que cae la sombra, y el que aporta la dirección. Este recuadro y el otro no son intercambiables: cambiarlos de sitio cambia la respuesta, y por eso están etiquetados por su papel en lugar de estar numerados
u · v
El producto escalar de los dos vectores: cada pareja de componentes multiplicada y los productos sumados. Aparece en el numerador de las dos fórmulas, así que conviene fijarse en que un producto escalar de cero significa que los dos vectores son perpendiculares, que es el caso que produce una proyección de cero
|v|
La longitud del vector objetivo, que es entre lo que se divide el producto escalar. Si el objetivo resulta tener longitud 1, esta división no cambia nada y la proyección escalar es entonces el propio producto escalar; la primera fila de la tabla de referencia es ese caso, y es la fila más fácil de comprobar a mano
s
La proyección escalar: hasta dónde llega el origen en la dirección del objetivo, como número con signo. Es negativa cuando los dos apuntan en sentidos más bien opuestos y cero cuando son perpendiculares. No es la longitud del vector de origen y tampoco es el producto escalar: es el producto escalar dividido entre la longitud del objetivo
proj_v u
El vector proyección: la proyección escalar multiplicada por el vector unitario del objetivo, lo que devuelve la dirección y da un vector que se apoya exactamente en la recta del objetivo. Su longitud es el valor absoluto de s
Signo de s
Lo que hace invertir el objetivo. Cambiar de signo el vector objetivo invierte el signo de la proyección escalar, porque el numerador cambia de signo y la longitud al cuadrado del denominador no; pero el vector proyección no cambia, ya que esa misma negación aparece una vez arriba y otra abajo
Zero target vector
Se rechaza. El objetivo aporta la dirección y el divisor, y el vector nulo no tiene ninguno de los dos: el denominador sería cero y no hay ninguna recta sobre la que proyectar. Un vector de origen nulo es otra cosa y sí se acepta, y da una proyección de cero
No unit
La proyección escalar y las tres componentes del vector proyección son aquí números sin más. La proyección escalar tiene la misma unidad que las componentes de entrada, ya que es una longitud medida en ellas, pero nada en esta página sabe cuál era esa unidad
Four decimal places
El ancho con el que se escriben las salidas. La proyección escalar es muchas veces una fracción limpia de las entradas —11 dividido entre 5 da 2,2 exacto—, mientras que las componentes del vector casi siempre van redondeadas

Usa esta página cuando quieras la parte de un vector que apunta en la dirección de otro, que es el paso que hay detrás de descomponer cualquier cosa en componentes. Tomar la parte horizontal y la vertical de una fuerza es una proyección sobre los dos ejes; el trabajo que realiza una fuerza es la proyección de la fuerza sobre la dirección del movimiento, multiplicada por la distancia; una sombra, una componente a lo largo de una pendiente y el coeficiente de un ajuste por mínimos cuadrados son la misma operación. Las dos salidas responden a dos preguntas distintas sobre ella. El escalar con signo responde cuánto, incluido hacia dónde: es el que se usa en aritmética posterior, donde un valor negativo significa que el origen se inclina en sentido contrario al objetivo. El vector responde dónde, y es el que se usa cuando la respuesta tiene que ser un vector: se apoya exactamente en la recta del objetivo, así que se puede sumar a otra cosa o dibujar. Invertir el vector objetivo es la forma más rápida de ver la diferencia: el escalar cambia de signo y el vector no, porque el escalar se mide respecto de una orientación y el vector no. Dos vectores perpendiculares dan una proyección de cero en las dos salidas, y cero es una respuesta real: dice que el origen no tiene ninguna componente a lo largo del objetivo. La única entrada que no se puede usar es el vector objetivo nulo, ya que una dirección y un divisor son exactamente lo que no aporta.

Ejemplos resueltos

  1. 3 4 sobre 1 0

    1. Producto escalar: 3 × 1 ＋ 4 × 0 ＝ 3
    2. Longitud del objetivo: |1 0| ＝ 1
    3. Proyección escalar: 3 ÷ 1 ＝ 3
    4. Vector proyección: (3 ÷ 1) × (1, 0) ＝ (3, 0, 0)

    La entrada con la que carga la página y el caso en el que no hay nada escondido: el objetivo es un vector unitario, así que dividir entre su longitud no cambia nada y la proyección escalar es el propio producto escalar. Es también el caso más fácil de comprobar a ojo, porque el objetivo está sobre el eje x y la proyección es el origen con su componente y descartada. Eso es lo que hace una proyección en el marco más sencillo posible: conserva la parte del vector que apunta hacia el objetivo y tira el resto.

  2. 1 2 sobre 3 4

    1. Producto escalar: 1 × 3 ＋ 2 × 4 ＝ 11
    2. Longitud del objetivo: √(9 ＋ 16) ＝ 5
    3. Proyección escalar: 11 ÷ 5 ＝ 2,2
    4. Vector proyección: (2,2 ÷ 5) × (3; 4) ＝ (1,32; 1,76; 0)

    El caso corriente, en el que el objetivo no es unitario y hay que hacer las dos divisiones. La proyección escalar sale exacta —11 dividido entre 5 es 2,2— mientras que las componentes del vector no. Comprueba que la respuesta se apoya de verdad en la recta del objetivo: 1,32 dividido entre 3 es 0,44, y 1,76 dividido entre 4 es 0,44, así que las dos componentes guardan la misma proporción que las del objetivo, que es lo que significa estar sobre esa recta. La longitud de la proyección es 2,2, el escalar, como debe ser.

  3. 3 4 sobre −1 0

    1. Producto escalar: 3 × (−1) ＋ 4 × 0 ＝ −3
    2. Longitud del objetivo: |−1 0| ＝ 1
    3. Proyección escalar: −3 ÷ 1 ＝ −3
    4. Vector proyección: (−3 ÷ 1) × (−1, 0) ＝ (3, 0, 0)

    El mismo origen y la misma recta que el primer ejemplo, con el objetivo apuntando al otro lado, y la demostración más clara de la página sobre qué sabe cada una de las dos salidas. La proyección escalar ha pasado a −3: se mide a lo largo de una orientación, y la orientación ha cambiado. El vector proyección es exactamente el del primer ejemplo, (3, 0, 0), porque cambiar de signo el objetivo introduce un menos en el numerador y otro en el denominador al cuadrado, y los dos se cancelan. El escalar sabe hacia dónde apunta el objetivo; el vector solo conoce su recta.

  4. 1 0 sobre 0 1

    1. Producto escalar: 1 × 0 ＋ 0 × 1 ＝ 0
    2. Longitud del objetivo: |0 1| ＝ 1
    3. Proyección escalar: 0 ÷ 1 ＝ 0
    4. Vector proyección: (0 ÷ 1) × (0, 1) ＝ (0, 0, 0)

    Dos vectores perpendiculares, y la proyección es cero en las dos salidas. Es una respuesta real y no un fallo: dice que el origen no tiene ninguna parte que apunte hacia el objetivo, que es exactamente lo que significa ser perpendicular. Un producto escalar de cero es la señal que hay que buscar, y es la única forma de obtener una proyección escalar nula sin que uno de los dos vectores sea cero. Aquí los dos vectores miden una unidad, así que ninguno es pequeño: una proyección nula entre dos vectores de longitud completa merece una pausa la primera vez que aparece.

  5. 0 0 sobre 3 4

    1. Producto escalar: 0 × 3 ＋ 0 × 4 ＝ 0
    2. Longitud del objetivo: √(9 ＋ 16) ＝ 5
    3. Proyección escalar: 0 ÷ 5 ＝ 0
    4. Vector proyección: (0 ÷ 5) × (3, 4) ＝ (0, 0, 0)

    El vector nulo como origen: todos los productos del producto escalar son cero, así que las dos salidas son cero sin que aparezca ningún problema de división. Esta página no rechaza esta entrada. El rechazo va en el otro sentido: el que no puede ser nulo es el vector objetivo, porque aporta la dirección y el divisor, y una proyección sobre el vector nulo no tiene ninguna recta sobre la que caer.

Limitaciones

Los dos vectores deben tener el mismo número de componentes, y cada uno debe tener dos o tres. Los dos recuadros no son intercambiables y las etiquetas dicen cuál es cuál: el origen es el vector que se proyecta y el objetivo es aquel sobre el que se proyecta. Cambiarlos de sitio da una respuesta distinta que parece del todo razonable, así que si un resultado te sorprende, revisa los dos recuadros antes de revisar la aritmética. El vector objetivo no puede ser el vector nulo, porque aporta a la vez la dirección y el divisor; el vector de origen sí puede serlo, y su proyección es entonces cero. Las componentes se leen como números corrientes: una coma seguida de un espacio separa componentes, una coma sin espacio detrás se lee como separador decimal (1,5 es uno y medio), y un separador de millares se rechaza en lugar de adivinarse, así que escribe 1500 y no 1.500. Los cuatro decimales son un ancho de presentación y no una afirmación de precisión, y el vector proyección se calcula a partir del escalar sin redondear, así que leer una componente de vuelta y dividirla entre la componente correspondiente del objetivo puede no reproducir exactamente el escalar impreso. La tabla de referencia muestra los vectores objetivo y de origen tal como se escriben y las cuatro salidas, y no tiene a propósito ninguna fila con un vector objetivo nulo, que es un caso que esta página no puede calcular. Un solapamiento que conviene nombrar: el producto escalar aparece en la fórmula de la proyección como su numerador, y el vector unitario aparece en la segunda fórmula como la dirección que se vuelve a multiplicar, así que esta página se apoya en esas dos herramientas sin ser ninguna de ellas; la proyección es el cociente, no el producto escalar y no un vector normalizado.

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la diferencia entre la proyección escalar y el vector proyección?
La proyección escalar es un único número con signo: hasta dónde llega el origen en la dirección del objetivo, negativo cuando los dos se inclinan en sentidos opuestos. El vector proyección es esa misma distancia escrita como un vector que apunta a lo largo de la recta del objetivo. El escalar sabe hacia dónde apunta el objetivo y el vector no: invierte el objetivo y el escalar cambia de signo mientras que el vector proyección no cambia. Usa el escalar en aritmética posterior y el vector cuando la respuesta tenga que ser un vector.
¿Por qué la proyección escalar sale negativa?
Porque el vector de origen se inclina en sentido contrario al objetivo y no hacia él. La proyección escalar se mide a lo largo de una orientación, así que cuando los dos vectores apuntan en sentidos más bien opuestos la respuesta es negativa. No es un error ni es una convención de signo que se pueda quitar: una fuerza que tira hacia atrás a lo largo de una dirección tiene de verdad una componente negativa en esa dirección, y el trabajo realizado puede salir negativo por la misma razón.
¿Cuál de los dos vectores es el que se proyecta?
El vector de origen, en el primer recuadro. El segundo recuadro es el vector objetivo, que aporta la dirección en la que cae la sombra. Los dos no son intercambiables en esta página: proyectar u sobre v y proyectar v sobre u son números distintos, y si cambias los dos recuadros de sitio la respuesta cambia sin que nada parezca roto. Por eso los recuadros están etiquetados por su papel en lugar de llamarse vector u y vector v.
¿Qué pasa cuando los dos vectores son perpendiculares?
Las dos salidas son cero, y eso es una respuesta real y no un fallo. Un producto escalar de cero significa que los dos vectores son perpendiculares —es la única forma de obtener una proyección escalar nula sin que uno de los vectores sea cero—, y una proyección nula dice que el origen no tiene ninguna parte que apunte hacia el objetivo. La cuarta fila de la tabla de referencia es este caso. Dos fuerzas perpendiculares no realizan trabajo entre sí, que es la misma afirmación en física.
¿Puede ser el vector nulo el que se proyecta?
Sí, y las dos salidas son cero: todos los productos del producto escalar son cero y la división es entre la longitud del objetivo, que no da problema. El rechazo de esta página va al revés. El que no puede ser nulo es el vector objetivo, porque aporta la dirección y el divisor, y no hay ninguna recta sobre la que proyectar sobre el vector nulo.
¿Cuál es la fórmula de la proyección?
La proyección escalar es el producto escalar de los dos vectores dividido entre la longitud del objetivo: s ＝ (u · v) ÷ |v|. El vector proyección multiplica ese escalar por el vector unitario del objetivo, lo que es lo mismo que el producto escalar por el objetivo dividido entre la longitud del objetivo al cuadrado. Cuando el objetivo ya tiene longitud 1 las dos fórmulas se simplifican y la proyección escalar es simplemente el producto escalar, que es por lo que la primera fila de la tabla de referencia es la que conviene comprobar a mano.

Referencias

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