Saltar al contenido principal
CalcMax

Calculadora de suma de vectores

Resultado

4,0000

Componente x de la resultante

Componente y de la resultante
6,0000
Componente z de la resultante
0,0000
Módulo de la resultante
7,2111

Una calculadora de suma de vectores suma o resta dos vectores componente a componente y da el resultado como tres componentes más su módulo. Escribe cada vector como una lista de números —3 4 y 1 2— y elige si quieres sumarlos o restarlos. Sumar dos vectores significa sumar las primeras componentes, luego las segundas y luego las terceras, y tomar esos totales como las componentes de la respuesta. Entre ellos no hay ninguna multiplicación ni ningún ángulo que calcular, y eso es lo que hace que sumar vectores sea mucho más sencillo que multiplicarlos: la operación nunca mezcla una componente con otra. Restar vectores es la misma operación con los signos del segundo vector cambiados de signo, así que u − v y u ＋ (−v) son un mismo cálculo escrito de dos maneras, y aquí los dos viven detrás de un solo control porque el signo es toda la diferencia. Se aceptan dos o tres componentes y los dos vectores deben tener el mismo número. El resultado puede ser perfectamente el vector nulo —sumar un vector a su propio negativo es una suma correcta, no un fallo—, así que esta página no rechaza ninguna entrada por dar ceros.

Vectores y sus sumas

Vector uVector vComponente x de u + vComponente y de u + vComponente z de u + vMódulo de u + v
3 41 24607.2111
1 00 11101.4142
1 1 11 1 12223.4641
2 -34 56206.3246
-1 23 -52-303.6056
1 0 01 0 02002
1 2 3-1 -2 -30000
3 4 -51 2 246-37.8102

Ocho parejas de vectores y sus sumas, con el módulo de cada suma en la última columna. Esta tabla es solo de sumas: la opción de restar de la página no puede mostrarse aquí porque la tabla se genera sin saber qué opción está elegida, así que la resta queda para los ejemplos resueltos y para una frase —se resta cambiando de signo el segundo vector y sumando—. La primera fila es la pareja con la que carga la página. La segunda es la pareja que va por los dos ejes, perpendicular a sí misma, y su módulo es el más pequeño de la tabla en relación con las dos entradas: √2 frente a unos módulos de 1 y 1. La tercera fila es la primera de las dos de la misma dirección, en la que el segundo vector es una copia exacta del primero y la respuesta es el doble; aquí el módulo de la suma sí es la suma de los módulos, 2√3, y este es el único tipo de pareja para el que eso es cierto. La cuarta y la quinta fila tienen componentes negativas en dos patrones distintos: en una los signos se cancelan en la componente x y en la otra la primera componente, mayor, del segundo vector empuja la suma más allá del cero. La sexta fila es el segundo caso de la misma dirección, y el más fácil de comprobar a ojo: las dos entradas miden una unidad y la suma mide dos. La séptima fila es un vector sumado a su negativo exacto, lo que da el vector nulo con un módulo de 0 —el extremo opuesto, y un resultado corriente y no un error—. La octava fila es de tres dimensiones sin ninguna componente nula, así que su tercera columna está haciendo un trabajo real. Cada cifra se recalcula al construir la página; los espacios de las dos primeras columnas son separadores y no forman parte de los números.

Fórmula

u ＋ v ＝ (u₁ ＋ v₁, u₂ ＋ v₂, u₃ ＋ v₃) u − v ＝ u ＋ (−v) |u ＋ v| ＝ √（w₁² ＋ w₂² ＋ w₃²）

Vector u
El primer vector, como lista de dos o tres números separados por espacios o por comas. En cuál de los dos recuadros vaya no cambia la respuesta en una suma y solo invierte el signo en una resta, así que no se pierde nada por tratarlo sencillamente como el primero
Vector v
El segundo vector, escrito igual. Tiene que tener el mismo número de componentes que el primero: no hay ninguna regla para sumar un vector de dos componentes con uno de tres, porque el tercer número no tendría con qué emparejarse
u ＋ v
La suma, hecha componente a componente. Cada componente de la respuesta usa solo las componentes que están en la misma posición en las dos entradas: las primeras juntas, las segundas juntas y así sucesivamente
u − v
La diferencia, que es la suma habiendo cambiado antes de signo todas las componentes del segundo vector. Cambiar de signo el segundo vector es toda la diferencia entre sumar y restar, y por eso un solo control sirve para las dos cosas
Componentes x, y y z del vector resultante
Las tres filas de la respuesta, leídas juntas como un vector. La tercera es 0 siempre que las dos entradas tengan dos componentes: ese cero no es relleno, es el aspecto que tiene la misma dirección escrita en tres coordenadas
|u ＋ v|
El módulo del vector resultante, que es la raíz de la suma de los cuadrados de sus componentes. Es una pregunta distinta de las tres componentes y merece su propia fila: las componentes dicen hacia dónde apunta la respuesta y el módulo dice cuánto alcanza
Sumar o restar
La única elección que pide esta página, y lo único que cambia entre los dos modos. Se usan los mismos dos recuadros y las mismas cuatro filas de salida en ambos casos; solo cambia la aritmética
Zero vector
Un vector cuyas componentes son todas 0. Una suma o una diferencia pueden dar el vector nulo y eso es una respuesta correcta, no un fallo: sumar un vector a su negativo da exactamente esto, y la tabla de referencia contiene una fila donde ocurre
Four decimal places
El ancho con el que se escriben las salidas. Las componentes son exactas siempre que las entradas sean números enteros, ya que solo hay sumas y restas; el redondeo es para el módulo, que es una raíz

Usa esta página cuando dos vectores actúen a la vez sobre lo mismo y quieras su efecto combinado. Dos fuerzas sobre un objeto, dos velocidades sumadas en una corriente, dos desplazamientos recorridos uno tras otro: todos son sumas componente a componente, y la respuesta es el único vector que haría el trabajo de los dos. La resta responde a la otra mitad de la misma pregunta: u − v es el vector que lleva desde la punta de v hasta la punta de u, y por eso es la operación que hay detrás de todo cálculo de posición relativa y de velocidad relativa. La razón de que los vectores se sumen con tanta facilidad es que las componentes nunca se mezclan —cada posición de la respuesta depende de la misma posición en las entradas y de nada más—, y conviene saberlo porque no es cierto en la multiplicación, donde cada componente de la respuesta depende de todas las componentes de los dos vectores y además aparece un ángulo. Dos componentes y tres componentes valen igual, y las dos entradas tienen que coincidir entre sí. Una suma de cero es un desenlace corriente: un vector más su negativo es cero, y cero es un vector perfectamente válido. Lo único que hay que no confundir es que el módulo que se imprime al lado es el del resultado y no la suma de los módulos de las dos entradas; salvo que los dos vectores apunten en la misma dirección, esos son números distintos, y esa diferencia es la razón entera de que los vectores no se sumen sumando sus tamaños.

Ejemplos resueltos

  1. 3 4 + 1 2

    1. Componente x: 3 ＋ 1 ＝ 4
    2. Componente y: 4 ＋ 2 ＝ 6
    3. Componente z: 0 ＋ 0 ＝ 0, porque las dos entradas tienen dos componentes
    4. Módulo: √(16 ＋ 36 ＋ 0) ＝ √52 ＝ 7,211103

    La entrada con la que carga la página, y un caso en el que se ve cada paso. Los dos vectores apuntan más o menos en la misma dirección, así que la respuesta es larga: 7,2111 frente a unos módulos de entrada de 5 y 2,2361, cuya suma sería 7,2361. Aquí los dos números están cerca pero no son iguales, y solo son iguales cuando los dos vectores apuntan exactamente en la misma dirección; dos filas de la tabla de referencia son ese caso, y en todas las demás la suma sale más corta que los dos módulos añadidos.

  2. 3 4 − 1 2

    1. Componente x: 3 − 1 ＝ 2
    2. Componente y: 4 − 2 ＝ 2
    3. Componente z: 0 − 0 ＝ 0
    4. Módulo: √(4 ＋ 4) ＝ √8 ＝ 2,828427

    Los mismos dos vectores del primer ejemplo con la otra opción seleccionada, y lo único que ha cambiado es el signo aplicado a la segunda entrada. La respuesta es en efecto 2u − (u ＋ v) y sale mucho más corta que cualquiera de las entradas, porque los dos vectores apuntan en direcciones parecidas y separarlos deja poco detrás. Alternar entre este ejemplo y el primero es la forma más rápida de ver qué hace el control.

  3. 1 2 3 + (−1) (−2) (−3)

    1. Componente x: 1 ＋ (−1) ＝ 0
    2. Componente y: 2 ＋ (−2) ＝ 0
    3. Componente z: 3 ＋ (−3) ＝ 0
    4. Módulo: √(0 ＋ 0 ＋ 0) ＝ 0

    Un vector sumado a su propio negativo, lo que da el vector nulo. No ha ido nada mal: las dos flechas tienen la misma longitud y direcciones opuestas, así que el recorrido que describen termina donde empezó. La página informa de esto en lugar de rechazarlo, y la séptima fila de la tabla de referencia es el mismo caso. Cambia el control a restar sobre esta misma entrada y la respuesta se duplica en cambio —2 4 6 con un módulo de 7,4833—, que es lo más claro que llega a verse el efecto del signo.

  4. −1 2 − (3 −5)

    1. Componente x: −1 − 3 ＝ −4
    2. Componente y: 2 − (−5) ＝ 2 ＋ 5 ＝ 7
    3. Componente z: 0 − 0 ＝ 0
    4. Módulo: √(16 ＋ 49) ＝ √65 ＝ 8,062258

    El caso en el que los signos no se cancelan y la aritmética hay que hacerla con cuidado. Restar menos cinco suma cinco, así que la componente y crece hasta 7, y la componente x se vuelve negativa porque la primera componente del segundo vector es mayor. El resultado es más largo que cualquiera de las entradas, lo que ocurre siempre que los dos vectores apuntan en direcciones opuestas; y el módulo es la señal más clara de ello, porque las componentes −4 y 7 no parecen a simple vista un vector largo hasta que se elevan al cuadrado y se suman.

Limitaciones

Los dos vectores deben tener el mismo número de componentes, y cada uno debe tener dos o tres: el panel tiene tres filas de componentes, y una discrepancia dejaría el tercer número de una entrada sin nada con lo que emparejarse. Un vector de dos componentes no se rellena hasta tres —está en el plano, y el 0 que se imprime en la tercera fila es el aspecto que tiene esa dirección en tres coordenadas—. Las componentes se leen como números corrientes: una coma seguida de un espacio separa componentes, una coma sin espacio detrás se lee como separador decimal (1,5 es uno y medio), y un separador de millares se rechaza en lugar de adivinarse, así que escribe 1500 y no 1.500. La tabla de referencia solo muestra sumas, porque se genera sin saber qué opción está seleccionada; restar son esas mismas filas con los signos del segundo vector cambiados, y los ejemplos resueltos de arriba lo cubren. El módulo que se imprime junto al resultado es el del resultado y no la suma de los módulos de las dos entradas. Sumar los dos módulos da la respuesta correcta solo cuando los vectores apuntan exactamente en la misma dirección; sumar un vector a su negativo da 0 en lugar del doble del módulo, que es lo más lejos que se puede estar de ese caso. Los cuatro decimales son un ancho de presentación y no una afirmación de precisión. Aquí nada sabe en qué se midieron las componentes, y la respuesta lleva la unidad que estas tuvieran; las componentes y el módulo están todos en esa misma unidad, así que las tres componentes no deben leerse por su cuenta como si fueran una longitud.

Preguntas frecuentes

¿Qué significa sumar dos vectores?
Sumar dos vectores significa sumar sus componentes posición a posición: las primeras juntas, luego las segundas y luego las terceras, y esos tres totales son las componentes de la respuesta. No se multiplica nada ni hace falta ningún ángulo, y eso es lo que hace la suma de vectores mucho más fácil que su multiplicación: las componentes nunca se mezclan, así que cada entrada de la respuesta depende de exactamente una entrada de cada vector.
¿En qué se diferencia restar vectores de sumarlos?
En un signo. Restar es sumar habiendo cambiado antes de signo el segundo vector, así que u − v y u ＋ (−v) son el mismo cálculo escrito de dos maneras. Por eso las dos cosas viven detrás de un solo control en esta página: la aritmética que cambia es un único signo, y ponerlas una al lado de la otra con las mismas entradas es la forma más clara de verlo. Resta 1 2 de 3 4 y obtienes 2 2; súmalos y obtienes 4 6.
¿Puede la suma dar el vector nulo?
Sí, y es una respuesta correcta y no un fallo. Sumar un vector a su negativo exacto da cero: las dos flechas tienen longitudes iguales y direcciones opuestas, así que el desplazamiento que describen vuelve a donde empezó. La página informa de 0 en las tres componentes y de un módulo de 0. La séptima fila de la tabla de referencia es este caso, y esa misma entrada con la resta da 2u en lugar de cero.
¿Tienen que tener los dos vectores el mismo número de componentes?
Sí. No hay ninguna regla para sumar un vector de dos componentes con uno de tres, porque el tercer número no tendría con qué emparejarse. Cada entrada puede tener dos o tres componentes —ese es el límite del panel, no el de la aritmética—, pero los dos recuentos tienen que coincidir, y la página lo dice en lugar de tratar en silencio la entrada que falta como un cero.
¿El módulo de la suma es la suma de los módulos?
No, y este es el error que la página más quiere evitar. El módulo de la suma solo es la suma de los dos módulos cuando los vectores apuntan exactamente en la misma dirección; cuando apuntan en direcciones opuestas puede ser la diferencia de los módulos, y cuando son perpendiculares es menor que cualquiera de los dos. La razón es que las componentes pueden cancelarse en parte, y hacia dónde va esa cancelación depende de las direcciones y no de los tamaños.
¿Puedo sumar un vector de dos dimensiones con uno de tres?
No, y la página lo rechaza en lugar de rellenar la tercera componente que falta con un cero. Un vector de dos componentes es un vector del plano, que es lo mismo que un vector de tres componentes cuya tercera entrada es 0, pero eso es un hecho sobre cómo se sitúa el plano dentro del espacio y no una autorización para sumar un número con nada. Escribe la tercera componente de forma explícita si es eso lo que quieres decir.

Referencias

Calculadoras relacionadas

Calculadora de vectoresMódulo, dirección y componentes de un vector.Calculadora de módulo de vectorMódulo de un vector a partir de sus componentes.Calculadora de proyección de vectoresProyección de un vector sobre otro, escalar y vectorial.