¿Qué es el módulo de un vector?

Es la longitud del vector: cada componente al cuadrado, los cuadrados sumados y la raíz de ese total. Es un solo número, y dice cuánto mide el vector sin decir nada de hacia dónde apunta. Un vector dibujado del origen a un punto tiene el mismo módulo que la distancia del origen a ese punto, y por eso la expresión se parece a la fórmula de la distancia: es la fórmula de la distancia.

¿Cómo calculo a mano la longitud de un vector?

Eleva al cuadrado cada componente, suma los cuadrados y saca la raíz del total. Para 3 4 eso es 9 más 16, que son 25, y la raíz de 25 es 5. Para 1 1 es 1 más 1, que son 2, y la raíz de 2 es 1,4142 con cuatro decimales. El paso intermedio es el único con margen de error, y es el paso que la tabla de referencia de la página detalla en cada fila.

¿Puedo escribir un vector de dos dimensiones o uno de tres?

Cualquiera de los dos, y no hay ningún ajuste que cambiar: dos datos es un vector de dos dimensiones y tres datos es uno de tres dimensiones. El mismo recuadro admite ambos porque el cálculo es el mismo — un vector del plano es un vector del espacio cuya tercera componente resulta ser 0, y su módulo es la misma raíz con dos términos debajo en lugar de tres.

¿Cuál es el módulo del vector nulo?

Cero, y esta página lo indica en lugar de rechazar la entrada. Todas las componentes son 0, así que todos los cuadrados son 0, la suma es 0 y su raíz es 0. En el cálculo no se dividió entre el módulo, que es la razón de que aquí no haya ningún error — la página del vector unitario rechaza esta misma entrada precisamente porque allí el módulo es un divisor.

¿El módulo me dice la dirección?

No, y no puede: es un solo número, y una dirección necesita al menos dos. Los vectores 3 4, −3 4 y 0 5 tienen tres direcciones distintas y los tres miden cinco, así que el módulo no sirve para distinguirlos. Si lo que necesitas es la dirección, lee las componentes directamente o normaliza el vector hasta un vector unitario, que conserva la dirección y descarta el tamaño.

¿Para qué se usa el módulo de un vector?

Para comparar tamaños y para alimentar el paso siguiente de un cálculo más largo. Dos fuerzas o dos velocidades se ordenan por su módulo cuando la dirección es lo de menos. También es el número entre el que dividen o por el que multiplican muchísimas otras fórmulas — normalizar un vector, proyectar uno sobre otro y el producto escalar lo consumen —, así que calcularlo por separado es habitual aunque el módulo no sea la respuesta final.

Calculadora de módulo de vector

Resultado

5,0000

Módulo del vector

Una calculadora de módulo de vector da la longitud de un vector a partir de sus componentes. Escribe dos o tres números separados por espacios o por comas —3 4, o 2 3 6 para un vector de tres dimensiones— y la página eleva cada componente al cuadrado, suma los cuadrados y saca la raíz. Ese único número es el módulo del vector, y es también la distancia del origen al punto que nombran esas componentes, porque la longitud de la flecha trazada desde el origen es exactamente esa distancia. Se aceptan dos componentes y tres, y es el número de datos lo que dice cuál has querido decir. Ser un solo número es a la vez la utilidad y el límite de la respuesta: es como se comparan los tamaños cuando la dirección da igual, y es justo lo que se pierde cuando necesitas saber hacia dónde apunta algo. En la tabla de abajo, tres vectores muy distintos comparten una longitud de 5. Aquí no se divide entre nada, así que el vector nulo es una entrada corriente y su módulo de 0 es una respuesta corriente.

Vectores y sus módulos

Vector	Módulo del vector
3 4	5
5 12	13
1 1	1.4142
-3 4	5
2 3 6	7
1 1 1	1.7321
0 5	5
0 0	0

Ocho vectores y sus longitudes. La segunda columna es la que hay que leer primero, porque tres de las ocho filas imprimen el mismo valor: 3 4, −3 4 y 0 5 son tres vectores distintos —uno hacia arriba y a la derecha, otro hacia arriba y a la izquierda y otro en vertical— y todos los tres miden 5. Esa repetición es justamente lo que la tabla quiere mostrar. Un módulo es un único número y un único número no puede decir hacia dónde apunta un vector, así que la página que solo informa del módulo ha descartado esa información a propósito. Las dos primeras filas son los casos enteros, 3-4-5 y 5-12-13, en los que la suma de los cuadrados resulta ser un cuadrado perfecto y no se redondea nada. La tercera y la sexta son los casos de componentes iguales, en el plano y en el espacio, y las dos dan raíces que no terminan nunca. La quinta fila es el caso entero de tres dimensiones: 2-3-6 da exactamente 7. La séptima está sobre un eje, así que su módulo es simplemente la componente que no es cero. La octava es el vector nulo, que imprime 0 — esta página lo responde en lugar de rechazarlo, porque aquí el módulo no es un divisor. La primera columna contiene la entrada tal como se escribe; los espacios que hay en ella son separadores y no forman parte de los números.

Fórmula

|u| ＝ √（u₁² ＋ u₂² ＋ … ＋ uₙ²）

Vector u: El vector cuyo módulo se busca: dos o tres números separados por espacios o por comas. Nada más indica de qué tipo es — es el número de datos lo que dice si te referías a un vector del plano o a uno del espacio
|u|: El módulo propiamente dicho: cada componente al cuadrado, los cuadrados sumados y la raíz de ese total. Es el número que aparece en el panel
u₁² ＋ u₂² ＋ …: La suma de los cuadrados, que los ejemplos resueltos de abajo detallan término a término. Es el único paso intermedio del cálculo, y verlo escrito es lo que permite comprobar el resultado a mano
√: La raíz cuadrada, que es la razón de que tantas respuestas sean irracionales. 3 4 da 5 exacto porque 9 más 16 resulta ser 25; 1 1 da 1,4142 y ningún decimal finito es igual a eso
Two components: Un vector del plano. Se aceptan los dos recuentos y ninguno es un caso especial: un vector de dos dimensiones es uno de tres dimensiones cuya tercera componente vale 0
Zero vector: Un vector cuyas componentes son todas 0. Su módulo es 0, y eso es una respuesta y no una negativa — aquí no se divide entre nada, que es precisamente por lo que el vector nulo se acepta en esta página y lo rechazan las páginas que normalizan
Four decimal places: El ancho con el que se escribe la respuesta. Exacta cuando la suma de los cuadrados es un cuadrado perfecto, y redondeada a cuatro decimales en caso contrario
No unit: Nada en esta página sabe en qué se midieron las componentes, y la respuesta lleva la unidad que estas tuvieran. Un módulo de 5 significa 5 de lo que hayas escrito

Usa esta página cuando importe el tamaño de algo y dé igual hacia dónde apunta. El caso más claro es comparar tamaños: dos fuerzas, dos velocidades o dos desplazamientos se ordenan por su longitud y la dirección solo estorba. El segundo caso es un módulo que es un paso dentro de un cálculo más largo: el módulo es el divisor al normalizar un vector, el denominador en la fórmula de la proyección y uno de los dos factores del producto escalar, así que se calcula por separado mucho más a menudo de lo que se usa por sí solo. El tercer caso es el más concreto de todos: las componentes de un vector son las coordenadas de un punto, así que su módulo es lo lejos que está ese punto del origen, y la expresión es la fórmula de la distancia que quizá ya conoces con otro nombre. Lo que la respuesta no lleva es la dirección, y conviene decirlo porque es fácil leer de más. Un módulo de 5 salió igual de 3 4, de −3 4 y de 0 5. Si necesitas saber cuál de los tres tienes, el módulo no es la página que buscas: lo son las componentes o el vector unitario. Una entrada de dos componentes es válida y no hay que rellenarla — es un vector del plano, y su módulo es la misma fórmula de la distancia con dos términos. El vector nulo se acepta, y su módulo de 0 es una afirmación verdadera y no un error.

Ejemplos resueltos

3 4
1. Eleva cada componente al cuadrado: 3² ＝ 9 y 4² ＝ 16
2. Suma los cuadrados: 9 ＋ 16 ＝ 25
3. Saca la raíz: √25 ＝ 5
La entrada con la que carga la página y el caso más limpio que hay. 9 más 16 son 25, un cuadrado perfecto, así que la respuesta es un número entero sin nada redondeado — y sale así porque 3 y 4 son los dos catetos del triángulo rectángulo 3-4-5. Compruébalo al revés: un punto a tres de ancho y cuatro de alto está a cinco del origen, que es lo mismo que decir que el vector 3 4 mide cinco.
5 12
1. Eleva cada componente al cuadrado: 5² ＝ 25 y 12² ＝ 144
2. Suma los cuadrados: 25 ＋ 144 ＝ 169
3. Saca la raíz: √169 ＝ 13
La siguiente terna pitagórica después de 3-4-5, y la que demuestra que una respuesta exacta no es un caso aislado. Las dos componentes son mayores que en el primer ejemplo y el resultado sigue saliendo entero. También enseña que la respuesta no está acotada por ninguna de las componentes: 13 es mayor que 5 y mayor que 12, que es lo que hace la raíz de una suma.
1 1
1. Eleva cada componente al cuadrado: 1² ＝ 1 y 1² ＝ 1
2. Suma los cuadrados: 1 ＋ 1 ＝ 2
3. Saca la raíz: √2 ＝ 1,414214, que se imprime como 1,4142
El caso corriente y no la excepción: la mayoría de las sumas de cuadrados no son cuadrados perfectos, así que la mayoría de las respuestas son irracionales y se redondean a cuatro decimales. √2 es la más sencilla de todas y la que conviene reconocer — aparece siempre que una unidad se reparte a partes iguales entre dos componentes. Comprueba que la definición se sostiene hacia atrás: 1,4142 al cuadrado son 1,99996, que es 2 dentro del redondeo.
0 0
1. Eleva cada componente al cuadrado: 0² ＝ 0 y 0² ＝ 0
2. Suma los cuadrados: 0 ＋ 0 ＝ 0
3. Saca la raíz: √0 ＝ 0
El vector nulo, y esta página lo responde en lugar de rechazarlo. La longitud de un vector del origen al origen es 0, y en el cálculo no se ha dividido entre nada, así que no hay motivo para negarse. Las páginas que normalizan un vector sí rechazan esta misma entrada, porque allí el módulo es un divisor — el veredicto pertenece a la pregunta que se hace, no a la entrada.

Limitaciones

Se aceptan dos o tres componentes, y solo esas: un solo número es una cantidad con signo y no una dirección, y cuatro o más no corresponden a ninguna longitud que nadie haya pedido a esta página. Una entrada de dos componentes no se rellena hasta tres — está en el plano, y la misma dirección escrita en tres coordenadas tiene la tercera componente igual a 0, que es la razón de que el recuadro no necesite preguntar qué tipo querías. Las componentes se leen como números corrientes: una coma seguida de un espacio separa componentes, una coma sin espacio detrás se lee como separador decimal (1,5 es uno y medio), y un separador de millares se rechaza en lugar de adivinarse — escribe 1500, no 1.500. Los cuatro decimales son un ancho de presentación y no una afirmación de precisión, y la respuesta se calcula a partir de la suma de cuadrados sin redondear, así que la cifra impresa puede no dar exactamente el número del que partiste al elevarla al cuadrado. El módulo es un número puro: aquí nada sabe si las componentes eran metros, newtons o nada, y el módulo lleva la unidad que estas tuvieran. Lo único que la respuesta no puede hacer de verdad es decirte algo sobre la dirección. Un módulo de 5 lo comparten 3 4, −3 4 y 0 5, y una página que solo informa del módulo ha tirado esa distinción por construcción. Para la dirección usa las componentes mismas o el vector unitario construido a partir de ellas; para una comparación que ignore la dirección, esta página es la respuesta completa, que es de lo que se trata.

Preguntas frecuentes

¿Qué es el módulo de un vector?: Es la longitud del vector: cada componente al cuadrado, los cuadrados sumados y la raíz de ese total. Es un solo número, y dice cuánto mide el vector sin decir nada de hacia dónde apunta. Un vector dibujado del origen a un punto tiene el mismo módulo que la distancia del origen a ese punto, y por eso la expresión se parece a la fórmula de la distancia: es la fórmula de la distancia.
¿Cómo calculo a mano la longitud de un vector?: Eleva al cuadrado cada componente, suma los cuadrados y saca la raíz del total. Para 3 4 eso es 9 más 16, que son 25, y la raíz de 25 es 5. Para 1 1 es 1 más 1, que son 2, y la raíz de 2 es 1,4142 con cuatro decimales. El paso intermedio es el único con margen de error, y es el paso que la tabla de referencia de la página detalla en cada fila.
¿Puedo escribir un vector de dos dimensiones o uno de tres?: Cualquiera de los dos, y no hay ningún ajuste que cambiar: dos datos es un vector de dos dimensiones y tres datos es uno de tres dimensiones. El mismo recuadro admite ambos porque el cálculo es el mismo — un vector del plano es un vector del espacio cuya tercera componente resulta ser 0, y su módulo es la misma raíz con dos términos debajo en lugar de tres.
¿Cuál es el módulo del vector nulo?: Cero, y esta página lo indica en lugar de rechazar la entrada. Todas las componentes son 0, así que todos los cuadrados son 0, la suma es 0 y su raíz es 0. En el cálculo no se dividió entre el módulo, que es la razón de que aquí no haya ningún error — la página del vector unitario rechaza esta misma entrada precisamente porque allí el módulo es un divisor.
¿El módulo me dice la dirección?: No, y no puede: es un solo número, y una dirección necesita al menos dos. Los vectores 3 4, −3 4 y 0 5 tienen tres direcciones distintas y los tres miden cinco, así que el módulo no sirve para distinguirlos. Si lo que necesitas es la dirección, lee las componentes directamente o normaliza el vector hasta un vector unitario, que conserva la dirección y descarta el tamaño.
¿Para qué se usa el módulo de un vector?: Para comparar tamaños y para alimentar el paso siguiente de un cálculo más largo. Dos fuerzas o dos velocidades se ordenan por su módulo cuando la dirección es lo de menos. También es el número entre el que dividen o por el que multiplican muchísimas otras fórmulas — normalizar un vector, proyectar uno sobre otro y el producto escalar lo consumen —, así que calcularlo por separado es habitual aunque el módulo no sea la respuesta final.

Referencias

Vector magnitude — the length of a vector as the square root of the sum of the squares of its components, which is the operation this page performs and the definition its table is built on — Wolfram MathWorld (United States)
Norm — the general name for a length function on vectors, of which the square-root-of-sum-of-squares used here is the ordinary Euclidean case — Wolfram MathWorld (United States)
Distance — the distance between two points as the length of the vector joining them, which is why a vector's magnitude and the distance from the origin are the same calculation — Wolfram MathWorld (United States)

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