Calculadora de vectores

u ＝ (u₁, u₂, u₃) |u| ＝ √（u₁² ＋ u₂² ＋ u₃²） û ＝ u ÷ |u|

Vector u

La única entrada: dos o tres números separados por espacios o por comas. Dos datos es un vector del plano y tres es un vector del espacio, y el recuento es lo único que dice cuál has querido decir — no hay ningún ajuste de dimensión que cambiar

u ＝ (u₁, u₂, u₃)

Las componentes: los números que escribiste, leídos de vuelta como vector. La tercera es 0 cuando la entrada tiene dos componentes, lo cual no es relleno — ese es el aspecto que tiene la misma dirección escrita en tres coordenadas

|u|

El módulo: cada componente al cuadrado, los cuadrados sumados y la raíz extraída. Es la primera fila de la salida y la respuesta a cuánto mide el vector

û

El vector unitario, llamado también dirección: cada componente dividida entre el módulo. Apunta a lo largo de exactamente la misma recta que la entrada y mide 1 por construcción, así que los valores que lleva son la dirección y nada más

u ÷ |u|

La división que separa las dos lecturas. Las componentes son lo que entró, las del vector unitario son eso dividido entre el módulo, y esta página imprime las dos para que el paso sea visible en lugar de quedar implícito — que es justo lo que no hacen sus páginas hermanas

Zero vector

Se rechaza, y el motivo es estrecho: su módulo es 0, así que la división para el vector unitario sería 0 ÷ 0 y no hay dirección que informar. El vector nulo no es una entrada ilegal — la página del módulo responde a esa misma lista de ceros con 0 —, pero esta página promete tres lecturas y solo puede dar dos de ellas

Two components

Se acepta. Un vector de dos componentes es un vector del plano, su módulo es la misma raíz con dos términos debajo y la tercera componente de todas las salidas es 0

Four decimal places

El ancho con el que se escriben las salidas. Las filas de componentes reproducen la entrada exactamente siempre que fuera un número entero o un decimal finito; el módulo es a menudo un número entero; el vector unitario casi siempre va redondeado, porque dividir entre una raíz rara vez termina

No unit

Las componentes, el módulo y las componentes del vector unitario son todos números sin más. Aquí nada sabe en qué se midieron las componentes, y las tres lecturas llevan esa misma unidad desconocida — salvo el vector unitario, que no tiene dimensiones

Usa esta página cuando tengas un vector y quieras todo lo que se puede decir de él sin meter un segundo. Las filas de componentes son la entrada leída como números, útiles cuando se escribió a mano y quieres ver cómo se interpretó; la fila del módulo dice cuánto mide; las filas del vector unitario dicen hacia dónde apunta. Las dos últimas son la pareja que más importa en la práctica, porque entre las dos son las dos mitades de un vector —un tamaño y una dirección— y esta página es donde se pueden comparar directamente. Es un resumen y no un sustituto: si solo quieres la longitud, una página que imprima solo la longitud responde antes, y lo mismo vale para la dirección, y para el trabajo con dos vectores —sumar, proyectar o hacer un producto escalar— quieres una página con dos recuadros. Lo que esta página añade es la vista cara a cara. Las filas del vector unitario son las filas de componentes divididas entre el módulo, impresas en un mismo panel, así que la división se puede leer en lugar de darse por supuesta. Se aceptan dos y tres componentes, y la tercera componente de un vector de dos es 0 en todas las salidas. El vector nulo es la única entrada que se rechaza, y se rechaza porque una de las tres lecturas prometidas no existe para él, no porque la entrada sea inválida.

1. 3 4

   1. Componentes: la entrada leída de vuelta es (3, 4, 0)
   2. Módulo: √(9 ＋ 16) ＝ √25 ＝ 5
   3. Vector unitario x: 3 ÷ 5 ＝ 0,6
   4. Vector unitario y: 4 ÷ 5 ＝ 0,8
   5. Vector unitario z: 0 ÷ 5 ＝ 0

   La entrada con la que carga la página, y la fila que enseña para qué se imprimen las componentes. Cada número del segundo grupo es un número del primer grupo dividido entre 5, y tener los dos grupos en pantalla hace que la división se pueda leer en lugar de tener que calcularla. El módulo es entero aquí porque 3-4-5 es un triángulo rectángulo, que es también la razón de que las dos componentes del vector unitario salgan exactas. Comprueba la división al revés: 0,6 por 5 son 3 y 0,8 por 5 son 4, así que multiplicar el vector unitario por el módulo devuelve el vector.

2. 0 0 5

   1. Componentes: la entrada leída de vuelta es (0, 0, 5)
   2. Módulo: √(0 ＋ 0 ＋ 25) ＝ 5
   3. Vector unitario x: 0 ÷ 5 ＝ 0
   4. Vector unitario y: 0 ÷ 5 ＝ 0
   5. Vector unitario z: 5 ÷ 5 ＝ 1

   Un vector que está sobre el eje z, y el caso en el que las filas de componentes se ganan su sitio con más claridad. La entrada tal como se escribe, 0 0 5, podría leerse como un vector con un solo número dentro; las filas de componentes dejan claro que es un vector de tres dimensiones cuyas dos primeras entradas resultan ser cero. El vector unitario es entonces la dirección del eje mismo, 0 0 1, y la tercera lectura es la comprobación más fácil posible de la división: 5 entre 5 es 1 y 0 entre 5 es 0.

3. 2 3 6

   1. Componentes: (2, 3, 6)
   2. Módulo: √(4 ＋ 9 ＋ 36) ＝ √49 ＝ 7
   3. Vector unitario x: 2 ÷ 7 ＝ 0,285714
   4. Vector unitario y: 3 ÷ 7 ＝ 0,428571
   5. Vector unitario z: 6 ÷ 7 ＝ 0,857143

   El caso corriente de tres dimensiones, y el que enseña que las tres lecturas son números genuinamente distintos. El módulo es entero, 7, mientras que ninguna componente del vector unitario lo es: las tres son decimales periódicos redondeados a cuatro cifras. Las componentes sí son exactas, y compararlas con el grupo del vector unitario es todo el cálculo — 2 entre 7, 3 entre 7, 6 entre 7. Fíjate además en que la componente mayor, la 6, da la componente mayor del vector unitario, ya que dividir tres números entre el mismo valor no puede reordenarlos.

4. −3 4

   1. Componentes: (−3, 4, 0)
   2. Módulo: √(9 ＋ 16) ＝ 5, el mismo que el de 3 4
   3. Vector unitario x: −3 ÷ 5 ＝ −0,6
   4. Vector unitario y: 4 ÷ 5 ＝ 0,8
   5. Vector unitario z: 0 ÷ 5 ＝ 0

   El primer ejemplo con un signo cambiado, y la fila que enseña a cuál de las tres lecturas llega el signo. El módulo no cambia, sigue siendo 5, porque cambiar de signo una componente no altera la suma de sus cuadrados. Las componentes conservan el signo, como es obvio. El vector unitario también lo conserva, porque dividir entre un módulo positivo no puede dar la vuelta a un vector — así que de las tres lecturas solo las filas de componentes y de vector unitario llevan la dirección, y el módulo es la que no puede llevarla. Compara esta fila con la primera de la tabla: están una al lado de la otra y se diferencian en exactamente un signo.

Se aceptan dos o tres componentes y nada más. Los solapamientos con las herramientas vecinas son reales y conviene nombrarlos, porque esta página es un resumen y las hermanas son especialistas: la fila del módulo lleva exactamente el mismo número que la página del módulo de un vector, las tres filas del vector unitario llevan exactamente los mismos números que la página del vector unitario, y ninguna de esas dos páginas imprime las componentes. Si lo que quieres es una de esas respuestas sueltas, la página más corta la da antes; lo que añade esta es las componentes al lado del vector unitario, que es el único sitio donde la división se ve como una división. Maneja un vector, así que todo lo que implique dos —sumar, restar, proyectar, producto escalar, ángulos— pertenece a las páginas que tienen dos recuadros. El vector nulo se rechaza: su módulo es 0 y no tiene dirección, así que las filas del vector unitario no se podrían rellenar, y el panel imprime un número para cada fila o para ninguna. Esa negativa va sobre lo que promete esta página y no sobre la entrada, a la que la página del módulo responde con 0. Las componentes se leen como números corrientes: una coma seguida de un espacio separa componentes, una coma sin espacio detrás se lee como separador decimal (1,5 es uno y medio), y un separador de millares se rechaza en lugar de adivinarse — escribe 1500, no 1.500. Un vector de dos componentes se acepta y su tercera componente es 0 en todas las salidas, no está ausente. Aquí nada sabe en qué se midieron las componentes — el vector unitario no tiene dimensiones, y las componentes y el módulo llevan la unidad que tuviera la entrada. Los cuatro decimales son un ancho de presentación y no una afirmación de precisión.

¿Qué me da esta página que no me den las otras de vectores?

Las componentes, impresas como números junto al vector unitario en el que se dividieron. La fila del módulo es el mismo número que da la página del módulo de un vector y las filas del vector unitario son los mismos números que da la página del vector unitario, así que las lecturas en sí no son nuevas. Lo nuevo es tenerlas en un mismo panel con las componentes, que es el único sitio donde se ve un 3 y un 4 en un grupo y un 0,6 y un 0,8 en el siguiente, y la división se lee directamente.

¿Cuál de los números es la dirección?

Las tres filas del vector unitario, y hay que leerlas juntas: una componente sola no es una dirección. El vector unitario apunta a lo largo de exactamente la misma recta que el vector que escribiste, con el módulo dividido fuera, así que su propio módulo es 1 en todos los casos y los valores que contiene son puramente la dirección. La fila del módulo de arriba es un solo número y no puede expresar una dirección, y por eso hacen falta las tres filas.

¿Por qué se imprimen las componentes si las he escrito yo?

Porque ver la entrada como números junto al vector unitario es el sentido de la página. Además fija cómo se interpretó lo que escribiste: 0 0 5 tal cual podría tomarse por un vector con un solo número dentro, y las filas de componentes muestran que es un vector de tres dimensiones con dos entradas nulas. Sin ellas el panel mostraría un módulo y una dirección sin conexión visible entre la entrada y ninguno de los dos.

¿Por qué se rechaza el vector nulo si la página del módulo lo acepta?

Porque esta página promete tres lecturas y para el vector nulo solo existen dos: las componentes son 0 0 0 y el módulo es 0, pero no hay dirección — normalizarlo significaría dividir entre un módulo de cero. La página del módulo promete una lectura y puede darla, así que esa misma entrada se responde allí. El panel imprime un valor en cada fila, así que un resultado a medias no es algo que esta página pueda mostrar.

¿En qué se diferencia de la calculadora del módulo de un vector?

Aquella responde a una pregunta y esta a tres; el número del módulo en sí es idéntico en las dos. Si lo único que quieres es la longitud, la página más corta llega antes. Esta es para cuando quieres la longitud y la dirección y quieres ver cómo se relacionan — las componentes del vector unitario son las componentes divididas entre el módulo, y tener las dos cosas en pantalla convierte eso en algo que se comprueba en lugar de algo que se da por supuesto.

¿Puedo escribir un vector de dos dimensiones?

Sí, y la tercera componente de todas las filas vuelve como 0. Un vector de dos componentes es un vector del plano, que es lo mismo que un vector de tres dimensiones cuya tercera entrada es 0, así que un solo panel sirve para los dos sin ningún ajuste de dimensión. El módulo es la misma raíz con dos términos debajo, y el vector unitario son las dos componentes divididas entre ese módulo.

• Vector — the object this page describes, including the definition of its components and of the two quantities derived from them here, its magnitude and its direction — Wolfram MathWorld (United States)
• Vector magnitude — the length of a vector as the square root of the sum of the squares of its components, which is the first of this page's three readings — Wolfram MathWorld (United States)
• Unit vector — the vector of length 1 pointing in a given direction, which is how the direction reading is expressed and what the division by the magnitude produces — Wolfram MathWorld (United States)