Arbeits-Rechner

Arbeit = Kraft × Weg × cos θ, wobei θ der Winkel zwischen der Kraft und der Verschiebung ist

F

Die Kraft, welche die Arbeit verrichtet, in Newton, mit Kilonewton, Pound-force und Kilopond im selben Feld. Nur der Anteil entlang der Bewegung zählt, dieselbe Kraft richtet also umso weniger aus, je weiter sie an der Bewegungsrichtung vorbeizielt: bei 60 Grad verrichtet die Hälfte dieses Wertes Arbeit und die andere Hälfte nicht

s

Wie weit sich der Körper bewegt, während die Kraft wirkt, in Metern, Fuß, Zentimetern, Zoll oder Kilometern. Gemeint ist der Weg des Punktes, an dem die Kraft angreift — bei einem einfachen Schieben ist das dasselbe wie die Verschiebung des Körpers, bei einem Hebel überhaupt nicht. Die Null wird abgewiesen: keine Bewegung, keine Arbeit, so stark man auch drückt

θ

Der Winkel zwischen der Kraft und der Richtung der Bewegung, in Grad, Bogenmaß oder Neugrad. Er läuft von 0 bis 180, und sein Kosinus trägt die ganze Geschichte: 0 ergibt die volle Wirkung, 60 die Hälfte, 90 gar nichts, und jenseits von 90 wird die Arbeit negativ. Eine Kraft, die bei 180 nach hinten zieht, verrichtet genau das Negative derselben Kraft, die nach vorn zieht. Achtung: es ist der Winkel zwischen Kraft und Weg und nicht die Neigung des Untergrunds — auf der Seite zur Normalkraft trägt derselbe Buchstabe die Hangneigung

W

Die Arbeit dieser Kraft, in Joule als Hauptzeile mit Kilojoule und Foot-pound darunter. Sie ist mit Vorzeichen behaftet, und das Vorzeichen ist eine Information und kein Fehler: ein negativer Wert heißt, dass die Kraft der Bewegung Energie entzieht, und genau das tun Reibung und Bremsen. Das Joule ist ein Newtonmeter, 100 N über 5 m sind also 500 Joule

F cos θ

Der Anteil der Kraft, der in Richtung der Verschiebung liegt, in Newton — das Kraftfeld multipliziert mit dem Kosinus des Winkels. Er ist die ehrliche Fassung dieses Feldes, und ihn neben der Arbeit zu lesen ist der schnellste Weg zu sehen, woher die Antwort kommt: 100 N bei 60 Grad verrichten die Arbeit von 50 N, und 100 N bei 90 Grad verrichten die Arbeit von gar nichts

Diese Seite ist die richtige, wenn gefragt ist, was ein Ziehen, ein Schieben oder eine Reibung tatsächlich ausrichtet: wie viel einer Seilspannung nützliche Arbeit verrichtet, wenn man einen Schlitten schräg zieht, wie viel Energie ein Motor über eine gegebene Strecke liefern muss, oder wie viel Arbeit die Reibung entzieht, wenn eine Kiste zum Stehen kommt. Der Kosinus ist der Grund, diese Seite überhaupt zu öffnen, denn die Antwort ist meist kleiner als erwartet und manchmal null: eine Kraft im rechten Winkel zur Bewegung verrichtet überhaupt keine Arbeit, und eine nach hinten gerichtete verrichtet negative. Derselbe Kosinus ist auch der Grund, warum der Arbeitssatz die Form hat, die er hat — die an einem Körper verrichtete Arbeit ist gleich der Änderung seiner kinetischen Energie, und diese Seite ist in dieser Gruppe die einzige, auf der dieser Satz hingehört. Wer die Energie aus Masse und Geschwindigkeit sucht, ist auf der Seite zur kinetischen Energie richtig, wer sie aus der Höhe sucht, auf der zur potenziellen Energie.

1. Die Voreinstellung: 100 N über 5 m, gerade entlang der Bewegung

   1. Kraft 100 N, Weg 5 m, Winkel 0 Grad
   2. Die ganze Kraft liegt entlang der Bewegung: F cos 0 = 100 × 1 = 100 N, das ist die zweite Zeile des Panels
   3. Arbeit: W = 100 × 5 = 500 J
   4. In Kilojoule: 500 ÷ 1.000 = 0,5 kJ
   5. In Foot-pound: 500 ÷ 1,3558179483 = 368,7811, angezeigt als 368,78 ft·lb

   Das ist der Fall, auf den die Formel zusammenfällt, wenn nichts schräg steht, und es lohnt sich, ihn einmal zu sehen, bevor die Winkel anfangen: Arbeit wird in Joule gemessen, ein Joule ist ein Newtonmeter, und 500 J sind ein kräftiger Stoß über einen kleinen Raum hinweg. Vergleicht man es später mit den Kalorien auf einer Lebensmittelverpackung, wird der Maßstab deutlich — 500 J sind etwa ein Achtel einer Kilokalorie, und deshalb fühlt sich Heben und Tragen für die Muskeln nach Arbeit an, während es in der Energiebilanz des Gegenstands so gut wie nichts ausmacht. Der Körper gibt weit mehr als 500 J aus, um es zu tun, denn Muskeln arbeiten nicht verlustfrei, und eine Last zu halten kostet Energie, auch wenn sich nichts bewegt.

2. Derselbe Stoß unter 60 Grad: die halbe Kraft verrichtet die Arbeit

   1. Kraft 100 N, Weg 5 m, Winkel 60 Grad
   2. Entlang der Bewegung: F cos 60 = 100 × 0,5 = 50 N — die Hälfte der Kraft, und das Panel sagt es
   3. Arbeit: W = 50 × 5 = 250 J
   4. In Kilojoule: 250 ÷ 1.000 = 0,25 kJ
   5. In Foot-pound: 250 ÷ 1,3558179483 = 184,3905, angezeigt als 184,39 ft·lb

   Die Begleitzeile ist hier der Punkt. Ändert man nur den Winkel, halbieren sich die Kraft entlang des Wegs und die Arbeit zugleich, weil der Kosinus in beide eingeht: aus 100 N werden 50 N nutzbarer Zug, und die Arbeit fällt mit. Wer erwartet, dass die Arbeit nur vom Betrag der Kraft abhängt, liegt in diesem Fall um den Faktor zwei daneben und im nächsten um einen unendlichen. Deshalb druckt die Seite die Kraft entlang des Wegs überhaupt aus — sie verwandelt einen Kosinus in etwas, das auf demselben Bildschirm steht wie die Arbeit, die er erzeugt.

3. Eine Kiste waagerecht tragen: die Arbeit ist exakt null

   1. Kraft 100 N, Weg 5 m, Winkel 90 Grad — die Kraft zeigt gerade nach oben, die Bewegung geht gerade zur Seite
   2. Entlang der Bewegung: F cos 90 = 100 × 0 = 0 N
   3. Arbeit: W = 0 × 5 = 0 J
   4. Kilojoule und Foot-pound sind ebenfalls null, alle drei Energiezeilen zeigen also 0
   5. Die Kraft ist real und der Weg ist real, und die Arbeit ist trotzdem nichts

   Das ist die Zeile, an der die Definition klick macht, und die, über die am meisten gestritten wird. Man trägt eine schwere Kiste durch einen Raum, die Arme schmerzen, und die mechanische Arbeit, die man an der Kiste verrichtet hat, ist exakt null — denn die Kraft der Arme zeigt nach oben, die Kiste bewegt sich seitwärts, Kraft und Verschiebung stehen also senkrecht aufeinander und ihr Produkt verschwindet. Die Energie, die der Körper verbrannt hat, ist in Wärme gegangen, in die gehaltene Muskelspannung und in die Biochemie dieser Spannung. In die Kiste ist sie nicht gegangen. Diese Seite misst nur das Zweite.

4. Reibung: 180 Grad, und die Arbeit wird negativ

   1. Kraft 100 N, Weg 5 m, Winkel 180 Grad — die Kraft zeigt genau nach hinten
   2. Entlang der Bewegung: F cos 180 = 100 × (−1) = −100 N
   3. Arbeit: W = −100 × 5 = −500 J
   4. In Kilojoule: −0,5 kJ; in Foot-pound: −368,78 ft·lb
   5. Jede Zeile ist der Fall von 0 Grad mit umgedrehtem Vorzeichen

   Negative Arbeit ist kein Fehler und keine Vorzeichenkonvention, die man ignorieren könnte; sie ist das, was Reibung, Luftwiderstand und Bremsen den ganzen Tag tun. Ein Schlitten, der zum Stehen kommt, hat die Reibungskraft nach hinten entlang der Bewegung gerichtet, die Reibung verrichtet also −500 J Arbeit, und der Schlitten verliert genau 500 J kinetische Energie daran. Liest man die beiden Zeilen zusammen als Bilanz: der Stoß führt Energie zu, die Reibung führt Energie ab, und die Differenz behält der Körper. Eine Fassung dieser Seite, die den Betrag der Arbeit zurückgäbe, könnte das nicht aussagen, und sie würde dabei völlig normal aussehen.

Es wird nur eine konstante Kraft erfasst: ändert die Kraft beim Bewegen ihre Richtung oder ihre Stärke, wird die Arbeit zu einem Integral, und die Zeilen dieser Seite gelten nicht mehr. Der Weg ist der Weg des Punktes, an dem die Kraft angreift; bei einem Hebel oder einem rollenden Rad ist das nicht die Strecke, die der Körper zurücklegt, und bei einem Seil über eine Umlenkrolle schon gar nicht. Verfolgt wird nur eine einzige Kraft, während an realen Körpern meist mehrere gleichzeitig angreifen; die Arbeit mehrerer Kräfte addiert sich als vorzeichenbehaftete Summe, diese Seite liefert also nur einen Summanden davon. Und der Unterschied zwischen mechanischer Arbeit und dem, was der Körper verbraucht, bleibt bestehen: eine Kiste still zu halten kostet den Muskel Energie und ist trotzdem keine mechanische Arbeit.

Wie lautet die Arbeitsformel?

W = F × s × cos θ, also Kraft mal Weg mal dem Kosinus des Winkels zwischen Kraft und Bewegung. Ein Zug von 100 N über 5 m gerade in Bewegungsrichtung sind 500 J, derselbe Zug unter 60 Grad sind 250 J und unter 90 Grad null. Der Kosinus ist keine Verzierung, sondern wählt den Teil der Kraft aus, der tatsächlich die Arbeit verrichtet — deshalb gibt die Seite diesen Teil als eigene Zeile aus.

Warum ändert der Winkel die Arbeit?

Weil nur der Anteil der Kraft entlang der Verschiebung den Körper in die Richtung bringt, in die er sich bewegt. Zerlegt man die Kraft in einen Anteil entlang der Bewegung und einen quer dazu, verrichtet der erste die ganze Arbeit und der zweite gar keine, so groß er auch sein mag. Bei 60 Grad ist der nutzbare Anteil die Hälfte der Kraft, bei 90 Grad ist er nichts. Wer einen Schlitten an einem Seil unter 60 Grad zieht, vergeudet für die Bewegung des Schlittens tatsächlich die halbe Mühe.

Kann die Arbeit negativ sein?

Ja, und das Vorzeichen hat eine Bedeutung. Zeigt die Kraft der Bewegung entgegen, ist der Kosinus negativ und die Arbeit damit auch: die Kraft entzieht dem Körper Energie, statt ihm welche zuzuführen. Reibung und Bremsen verrichten negative Arbeit, und so verliert eine rutschende Kiste an Geschwindigkeit. Diese Seite behält das Vorzeichen, statt den Betrag zu nehmen — 100 N Reibung über 5 m lesen sich also als −500 J, und das ist die Zahl, die man zum +500 J des Stoßes addiert, um die Nettoänderung zu sehen.

Ist das Tragen einer Kiste durch einen Raum Arbeit?

In dem Sinn, den diese Seite definiert, nicht. Die Arme drücken nach oben auf die Kiste, während die Kiste sich waagerecht bewegt, Kraft und Verschiebung stehen also im rechten Winkel und die mechanische Arbeit ist null. Die Muskeln verbrauchen trotzdem Energie und nicht wenig davon, aber diese Energie geht in Wärme und in die Aufrechterhaltung der Spannung und nicht in die Kiste. Die Unterscheidung ist wichtig, weil genau sie die physikalische Definition brauchbar macht: sie misst die auf den Körper übertragene Energie.

Wie hängt die Arbeit mit der kinetischen Energie zusammen?

Die an einem Körper verrichtete Arbeit ist gleich der Änderung seiner kinetischen Energie — das ist der Arbeitssatz. Wird ein Schlitten mit 500 J Nettoarbeit geschoben, gewinnt er 500 J kinetische Energie; lässt man die Reibung −500 J verrichten, verliert er ebenso viel. Deshalb nimmt die Seite zur kinetischen Energie eine Masse und eine Geschwindigkeit und liefert Energie, während diese Seite eine Kraft, einen Weg und einen Winkel nimmt und dieselbe Größe aus der anderen Richtung liefert. Die beiden treffen sich in der Mitte, und der Treffpunkt ist dieser Satz.

• Work: The Scientific Definition (College Physics 2e, §7.1) — the definition of work as force times displacement times the cosine of the angle between them, and the cases where it comes out zero or negative — OpenStax
• Work (physics) — the sign convention, the work energy theorem, and why a force perpendicular to the displacement does no work — Wikipedia
• NIST Guide for the Use of the International System of Units (SI), Appendix B.8 — Factors for Units Listed Alphabetically: the foot pound-force row (1 ft·lbf = 1.355 818 J) that this page's third row is converted with — NIST