Leistungs-Rechner

Leistung = Kraft × Weg / Zeit

F

Die Kraft, die die Arbeit verrichtet, in Pound-force, mit Newton, Kilonewton und Kilogramm-force im selben Feld. Die Voreinstellung von 550 lbf ist die Definition der mechanischen Pferdestärke und kein Zufall. Sie muss positiv sein: eine Kraft von null bewegt nichts, und die Leistung ist dann nicht null, sondern sinnlos

d

Der Weg, über den die Kraft den Körper verschiebt, in Fuß, mit Meter, Zentimeter, Kilometer, Zoll und Meile im selben Feld. Gemeint ist der Weg entlang der Kraftrichtung, deshalb passt der Fall des Hebens genau und das Ziehen über einen Boden nicht. Der voreingestellte eine Fuß vervollständigt die Definition der Pferdestärke

t

Wie lange die Bewegung dauert, in Sekunden, Minuten oder Stunden. Die Zeit steht im Nenner, dieselbe Kraft über denselben Weg ist also die doppelte Leistung, wenn sie in der halben Zeit wirkt — genau das unterscheidet die Leistung von der Arbeit. Sie muss positiv sein; null Sekunden wären eine Division durch null, und eine Bewegung in null Zeit gibt es nicht

P

Die Leistung, angegeben als mechanische Pferdestärke (hp), als metrische Pferdestärke (PS) und in Kilowatt. Die erste ist die über 550 ft·lbf/s definierte und das Hauptergebnis dieser Seite; die zweite ist 75 kgf·m/s und damit 735,49875 W, also 1,4 Prozent kleiner; die dritte ist die SI-Einheit und die einzige der drei, die überhaupt nicht Pferdestärke heißt. Die drei Zeilen sind dieselbe Leistung, nicht drei Ergebnisse

Diese Seite ist die richtige, wenn eine Kraft, ein Weg und eine Zeit vorliegen — eine Winde, die eine Last hebt, ein Motor, der einen Wagen auf einer Schiene zieht, ein Mensch, der etwas eine Treppe hinaufträgt — und die Frage lautet, wie schnell diese Arbeit verrichtet wird, und zwar in der Einheit, in der das Gerät verkauft wird. Sie ist ebenso die Seite zum Rückwärtslesen: 100 hp sind eine vertraute Angabe aus einem Prospekt, und die drei Ausgabezeilen sagen, was das in Kilowatt und in metrischer Pferdestärke ist — und genau dort entsteht die meiste Verwirrung um die Pferdestärke. Zwei Hinweise. Erstens: entscheiden Sie, welche Pferdestärke gemeint ist, bevor Sie eine Zahl weitergeben, denn ein Motor mit 224,7 hp und einer mit 224,7 PS sind nicht derselbe Motor — der zweite hat etwa 221,6 hp. Zweitens muss die Kraft entlang der Verschiebung wirken. Etwas seitwärts gegen die Reibung zu ziehen ist eine völlig berechtigte Leistungsrechnung, aber die Kraft in der Formel ist dann die Reibungskraft und nicht das Gewicht. Die Leistung eines Motors lässt sich außerdem aus Drehmoment und Drehzahl statt aus Kraft und Weg gewinnen; das ist dieselbe physikalische Größe auf dem anderen Weg und hat ihre eigene Seite.

1. Die Definition selbst: 550 lbf über einen Fuß in einer Sekunde

   1. Kraft 550 lbf, Weg 1 ft, Zeit 1 s — das ist die Herkunft der Einheit
   2. Zuerst in SI-Einheiten umrechnen, weil das Produkt nur in Newton und Metern Watt ergibt: 550 lbf × 4,44822 = 2.446,5 N (1 lbf = 4,44822 N). Im Kraft-Feld stehen N und kN als weitere Auswahl bereit
   3. Den Weg ebenso umrechnen: 1 ft × 0,3048 = 0,3048 m (1 ft = 0,3048 m); im Weg-Feld gibt es m und cm ebenfalls zur Auswahl
   4. Arbeit: 2.446,5 N × 0,3048 m = 745,7 J
   5. In einer Sekunde verrichtet, sind das 745,7 W
   6. Mechanische Pferdestärke: 745,7 ÷ 745,6999 = 1,0 hp
   7. Metrische Pferdestärke: 745,7 ÷ 735,49875 = 1,0139, angezeigt als 1,0 PS

   Die Einheit ist eine Festlegung und keine Messung: James Watt wählte 550 Fuß-Pfund pro Sekunde, damit ein Pferd im Vergleich zu den Dampfmaschinen, die er verkaufte, gut aussah, und jede Pferdestärkenangabe der Welt stammt von dieser Wahl ab. Bemerkenswert ist, dass diese Zeile den Unterschied der beiden Pferdestärken gar nicht zeigen kann — 1,0139 rundet in beiden Fällen auf 1,0 —, und genau deshalb muss der Vergleich bei einer größeren Zahl geführt werden. Das nächste Beispiel tut das.

2. 100 hp und die 1,4 Prozent, die die metrische Pferdestärke zu einer anderen Einheit machen

   1. 1.100 lbf × 4,44822 = 4.893,04 N und 100 ft × 0,3048 = 30,48 m
   2. Arbeit: 4.893,04 × 30,48 = 149.140 J
   3. Über 2 Sekunden: 149.140 ÷ 2 = 74.570 W
   4. Mechanische Pferdestärke: 74.570 ÷ 745,6999 = 100,0 hp
   5. Kilowatt: 74.570 ÷ 1.000 = 74,57, angezeigt als 74,6 kW
   6. Metrische Pferdestärke: 74.570 ÷ 735,49875 = 101,39, angezeigt als 101,4 PS

   Das ist die einzige Zeile auf dieser Seite, welche die beiden Pferdestärken auseinanderhält, und sie tut es mit einem Abstand, den bei einer einzelnen Einheit niemand bemerkt: 100,0 hp gegen 101,4 PS. Der Grund ist, dass die beiden Einheiten zweimal unabhängig festgelegt wurden — 550 ft·lbf/s in Großbritannien und 75 kgf·m/s in Kontinentaleuropa —, und 745,7 gegen 735,5 ist eine Lücke von 1,4 Prozent, die bei den Größen, die Menschen zitieren, zu einem echten Fehler wird. Die Richtung ist konkret: bei gleicher Leistung ist die metrische Zahl immer die größere, ein Auto mit 100 PS hat also etwa 98,6 hp, und ein Motor mit 224,7 hp leistet 227,8 PS.

3. Ein kleiner Kran: 2.000 lbf über 10 ft in 2 Sekunden

   1. 2.000 lbf × 4,44822 = 8.896,44 N und 10 ft × 0,3048 = 3,048 m
   2. Arbeit: 8.896,44 × 3,048 = 27.116 J
   3. Über 2 Sekunden: 27.116 ÷ 2 = 13.558 W
   4. Mechanische Pferdestärke: 13.558 ÷ 745,6999 = 18,18, angezeigt als 18,2 hp
   5. Kilowatt: 13,558, angezeigt als 13,6 kW
   6. Metrische Pferdestärke: 13.558 ÷ 735,49875 = 18,43, angezeigt als 18,4 PS

   Keine der drei Zahlen ist rund, und darin liegt der Wert dieser Zeile: sie fixiert den Weg über SI statt einer Abkürzung. Die naheliegende Umsetzung faltet das Pfund und den Fuß in einen einzigen Faktor 550 und überspringt die Umrechnung; sie liefert beim ersten Beispiel das richtige Ergebnis und driftet hier um ein paar Zehntel ab — was unsichtbar bleibt, bis jemand die dritte Stelle gegen einen Katalog prüft. Die andere Sache, die diese Zeile zeigt, ist, wie bescheiden eine echte Maschine ist: ein Kran, der zwei Tonnen in zwei Sekunden drei Meter weit zieht, bleibt unter zwanzig Pferdestärken, weshalb eine Winde mit 100 hp ein ernsthaftes Gerät ist und kein gewöhnliches.

Die Leistung ist eine Rate, deshalb sagt diese Seite nichts über die insgesamt umgesetzte Energie — dieselben 100 hp zehn Sekunden und zehn Stunden lang sind hier dieselbe Zahl, und der Unterschied ist das, was der Kraftstoff oder der Akku liefern muss. Außerdem wird eine konstante Kraft entlang der Bewegungsrichtung angenommen. Ein echter Hebezug beschleunigt am Anfang und bremst am Ende ab, seine Spitzenkraft liegt also über dem hier berechneten Mittel, und das Ergebnis ist die mittlere Leistung über die ganze Bewegung und nicht die Spitze, die der Motor aushalten muss. Die Reibung kommt in der Formel überhaupt nicht vor: wird der Körper gezogen, ist die gesuchte Zahl die Reibungskraft und nicht das Gewicht, und wird er gehoben, sind Verluste in Seil und Rolle eine echte Korrektur obendrauf. Der Wirkungsgrad fehlt ebenfalls, eine Angabe von 20 hp für einen Hebevorgang ist also die an der Last abgegebene Leistung und nicht die aufgenommene; ein Elektromotor bräuchte dafür etwa die Hälfte mehr. Und die Einheit selbst trägt eine Warnung statt einer Einschränkung: mechanische und metrische Pferdestärke unterscheiden sich um 1,4 Prozent, eine Angabe ohne diese Zuordnung ist also um mehrdeutig, als es die Toleranz der meisten Maschinen ist.

Wie lautet die Leistungsformel?

Für eine Kraft, die etwas bewegt, gilt P = F × d / t: die Kraft in Pound-force mal dem Weg in Fuß, geteilt durch die Zeit in Sekunden. In Watt kommt das erst heraus, wenn Kraft und Weg in Newton und Meter umgerechnet sind, danach teilt die Seite durch 745,6999 und erhält die mechanische Pferdestärke. Die Einheit selbst ist dieser Ausdruck mit eingesetzten Zahlen — 550 lbf über einen Fuß in einer Sekunde —, die Voreinstellung dieser Seite ist also weniger ein Beispiel für die Leistung als ihre Definition, und jede Leistungsberechnung ist von hier aus eine Umkehrung dieser einen Zeile.

Welche Pferdestärke ist gemeint — die mechanische oder die metrische?

Beide stehen auf dem Bildschirm, das Hauptergebnis ist die mechanische Pferdestärke, also die über 550 ft·lbf/s definierte mit 745,6999 W. Die metrische Pferdestärke, geschrieben PS, ist 75 kgf·m/s und damit 735,49875 W, also 1,4 Prozent kleiner. Bei gleicher Leistung ist die metrische Zahl deshalb die größere: 100 hp sind 101,4 PS, und ein Auto mit 100 PS hat etwa 98,6 hp. Prüfen Sie immer, welche der beiden ein Datenblatt meint, denn 1,4 Prozent sind mehr, als die meisten annehmen, und bei 1,0 der einen oder anderen Einheit unsichtbar.

Wie rechnet man Watt in PS um?

Durch 745,6999 für die mechanische Pferdestärke oder durch 735,49875 für die metrische. Andersherum sind eine Pferdestärke 745,7 W und ein PS 735,5 W, ein Motor mit 1.000 W leistet also 1,34 hp oder 1,36 PS. Die Watt in PS, in hp und in Kilowatt umzurechnen ist dieselbe Division; die Kilowatt-Zeile dieser Seite erspart das Merken, und wenn mehrere solche Rechnungen anstehen, ist kW die Zwischengröße der Wahl, weil dort nur der Faktor zehn steht und nicht 745,6999.

Ist die Leistung ein Maß für die Geschwindigkeit oder für die Kraft?

Für keines von beiden — sie ist die Rate, mit der Arbeit verrichtet wird, und verbindet beides. In der Formel stehen eine Kraft und ein Weg im Zähler und eine Zeit im Nenner, dieselbe Kraft über denselben Weg ist also doppelt so viel Leistung, wenn sie in der halben Zeit wirkt; eine große Kraft, die langsam wirkt, kann dieselbe Leistung ergeben wie eine kleine, die schnell wirkt. Deshalb können ein Traktor und ein Motorrad ähnliche Leistungswerte haben und sich völlig unterschiedlich verhalten: der Traktor setzt seine Leistung bei niedriger Geschwindigkeit in Kraft um, das Motorrad bei niedriger Kraft in Geschwindigkeit.

Setze ich das Gewicht des Körpers als Kraft ein?

Nur bei einer senkrechten Bewegung, wo die nötige Kraft das Gewicht ist — und dann ist der Weg die Hubhöhe und nicht die Länge irgendeines Pfades. Wer etwas über den Boden zieht, setzt als Kraft die Reibungskraft ein, bei einem gleitenden Körper also Reibungskoeffizient mal Normalkraft, und als Weg die Strecke, über die gezogen wird. Das Gewicht in diesem zweiten Fall überzeichnet die Leistung um ebendiesen Reibungskoeffizienten, oft um ein Vielfaches.

Warum steht als dritte Ausgabe Kilowatt da, wenn ich doch Pferdestärken wollte?

Weil die Pferdestärke keine SI-Einheit ist und das Kilowatt eine, die SI-Antwort also in jeder weiteren Rechnung mit dieser Zahl gültig bleibt. Es ist außerdem die Einheit, die außerhalb der USA fast überall verwendet wird. Und die Zeile mit der metrischen Pferdestärke steht aus demselben Grund dort wie die ganze Aufschlüsselung: drei Namen für beinahe dieselbe Größe sind genau der Weg, auf dem ein Fehler von 1,4 Prozent in ein Datenblatt gerät, und alle drei nebeneinander zu sehen macht die Größe des Unterschieds sichtbar, statt sie glauben zu müssen.

• Horsepower — the 550 ft·lbf/s definition, the metric horsepower of 75 kgf·m/s, and why the two differ by 1.4 percent — Wikipedia
• Work, Energy, and Power in Humans (College Physics 2e, §7.8) — power as a rate of doing work, and the sustained output of a human being as a familiar reference point — OpenStax
• NIST Guide to the SI, Chapter 5: Units Outside the SI — the status of the horsepower and other non-SI units whose continued use is permitted but not preferred — National Institute of Standards and Technology