Potenzielle-Energie-Rechner

Potenzielle Energie = Masse × Fallbeschleunigung × Hubhöhe

m

Die zu hebende Masse, in Kilogramm, mit Gramm, Tonnen und Pfund im selben Feld. Sie skaliert die Energie geradlinig: doppelte Masse, doppelte Joule, egal wie hoch es geht. In der Fallgeschwindigkeit kommt sie überhaupt nicht vor — das ist die eine Stelle auf dieser Seite, an der die Masse herausfällt, und es lohnt sich, darauf zu achten

h

Wie weit der Körper gehoben wird, in Metern, Fuß, Zentimetern oder Zoll. Es ist eine Differenz und keine Höhenlage: wer eine Kiste vom ersten in den dritten Stock trägt, hat als h die zwei Geschosshöhen von etwa sechs Metern und nicht die Höhe über dem Meeresspiegel und nicht den Abstand zum Erdmittelpunkt. Die null ist erlaubt und ein echtes Ergebnis — kein Hub, keine gespeicherte Energie

g

Die Fallbeschleunigung dort, wo gehoben wird, in m/s², ft/s² oder als Vielfaches der Normfallbeschleunigung. Das ist das Feld, um dessentwillen sich die Seite überhaupt lohnt: es steht voreingestellt auf 9,80665, und die Tabelle neben dem Rechner führt sechs Himmelskörper, damit der Wert direkt übernommen werden kann. Die 1,62 des Mondes sind ein Sechstel der irdischen, dieselbe Hubarbeit speichert dort also ein Sechstel der Energie; die 274 der Sonne sind achtundzwanzigmal die irdische, und eine Person von 70 kg wöge dort 19,2 kN

U

Die gespeicherte Energie, in Joule als Hauptzeile, mit Kilojoule und Fuß-Pfund darunter für Leser, die in einer der beiden Einheiten arbeiten. Sie ist die Arbeit, die die Schwerkraft zurückgibt, wenn der Körper herunterkommt, und zugleich die Arbeit, die hineingesteckt wurde — deshalb heißt sie auch Gravitationsenergie und nicht einfach Energie. Auf der Erde speichert eine um 2 m gehobene Person von 70 kg 1.372,93 J, etwa ein Drittel einer Nahrungskalorie

√(2gh)

Die Geschwindigkeit, die der Körper erreichen würde, wenn er aus dieser Höhe fiele — seine Aufprallgeschwindigkeit — in m/s. Sie ist dieselbe Energie vom anderen Ende her gesehen: die ganze gespeicherte Energie wird auf dem Weg nach unten zu Bewegungsenergie, und weil auf beiden Seiten von ½mv² = mgh ein m steht, kürzt es sich heraus und die Antwort hängt nur von Höhe und Gravitation ab. Doppelt so hoch gehoben heißt 1,41-mal so schnell aufschlagen, nicht doppelt so schnell

Diese Seite ist die richtige, wenn zu wissen ist, was ein Hub kostet oder was ein Sturz liefert: die Auslegung eines Hebezeugs oder eines Krans, die Energie in einem Pumpspeicher oder in einer Gewichtsuhr, der Vergleich mit dem, was eine Batterie zum Anheben einer Last liefern muss, oder die Frage aus dem Unterricht, wo die Energie bleibt, wenn ein Ball über dem Boden gehalten wird. Das Feld für die Gravitation ist es, was diese Seite von einer bloßen Multiplikation nach m × g × h unterscheidet — auf 1,62 gestellt, kostet dieselbe Hubarbeit ein Sechstel, und genau deshalb kümmert sich die Planung von Mond- und Marsmissionen um diesen Wert. Der zweite Grund, sie zu öffnen, ist die Aufprallgeschwindigkeit: wer eine Höhe hat und wissen will, wie hart etwas aufkommt, braucht die Masse nicht, die vielleicht unbekannt ist. Und wer die Fläche sucht, die eine ruhende Masse trägt, oder die Kräfte auf einer Neigung, ist auf der Seite zur Normalkraft richtig; diese hier rechnet Hubarbeit und sonst nichts.

1. Die Voreinstellung: 70 kg, um 2 m auf der Erde gehoben

   1. Masse 70 kg, Höhe 2 m, Fallbeschleunigung 9,80665 m/s²
   2. Energie: U = m × g × h = 70 × 9,80665 × 2 = 1.372,931 J, angezeigt als 1.372,93 J
   3. In Kilojoule: 1.372,931 ÷ 1.000 = 1,372931, angezeigt als 1,3729 kJ
   4. In Fuß-Pfund: 1.372,931 ÷ 1,3558179483 = 1.012,6219, angezeigt als 1.012,62 ft·lb
   5. Fallgeschwindigkeit: √(2 × 9,80665 × 2) = √39,2266 = 6,2631, angezeigt als 6,26 m/s
   6. Probe zur letzten Zeile: ½ × 70 × 6,2631² = 1.372,9 J — die Fallgeschwindigkeit ist dieselbe Energie und keine zweite Aussage

   Die Energie ist etwa ein Drittel einer Nahrungskalorie, und das ist die brauchbare Größenordnung, die man im Kopf behalten sollte: eine Person ein Stockwerk hochzuheben kostet rund ein Drittel einer Kalorie an mechanischer Arbeit, und der Körper gibt ein Mehrfaches davon aus, weil Muskeln nicht zu hundert Prozent Wirkungsgrad haben. Der letzte Schritt ist der Grund, warum die Fallgeschwindigkeit auf diese Seite gehört. Sie ist keine zusätzliche Formel, die angehängt wurde — sie sind dieselben 1.372,93 J, als Bewegung statt als Höhe geschrieben, und die Probe bestätigt es. Auffällig ist außerdem, was in der Fallgeschwindigkeit nicht steht: keine Masse. Lässt man eine Person von 70 kg und einen Beutel von 1 kg aus 2 m fallen, kommen beide mit 6,26 m/s an, und deshalb sagt die Fallhöhe die Aufprallgeschwindigkeit und das Gewicht nur den Schaden.

2. Eine Flasche Wasser auf den Schreibtisch gehoben: 1 kg, 1 m

   1. Masse 1 kg, Höhe 1 m, Fallbeschleunigung 9,80665 m/s²
   2. Energie: U = 1 × 9,80665 × 1 = 9,80665 J, angezeigt als 9,81 J
   3. In Kilojoule: 0,00980665, angezeigt als 0,0098 kJ — vier Nachkommastellen, nicht zwei
   4. In Fuß-Pfund: 9,80665 ÷ 1,3558179483 = 7,2330, angezeigt als 7,23 ft·lb
   5. Fallgeschwindigkeit: √(2 × 9,80665 × 1) = √19,6133 = 4,4287, angezeigt als 4,43 m/s

   Das ist die Zeile, die erklärt, warum das Kilojoule-Ergebnis vier Nachkommastellen behält statt zwei. In dieser Größenordnung würde die auf zwei Stellen gerundete Zeile 0,01 kJ lauten, was in der zweiten Stelle falsch und zugleich mit der daneben gedruckten Joule-Zeile unvereinbar wäre — 9,81 J sind 0,00981 kJ, und genau das zeigt das Panel. Auch die Fallgeschwindigkeit lohnt einen zweiten Blick: 4,43 m/s sind etwa 16 km/h, also ein zügiger Lauf, und das ist es, was eine Flasche erreicht, wenn sie von einem Regal in Schreibtischhöhe fällt. Kleine Höhen geben kleine Energien, und die Wurzel sorgt dafür, dass sie kleinere Geschwindigkeiten geben, als man erwarten würde.

3. Derselbe Hub auf dem Mond: 70 kg, 2 m, g = 1,62

   1. Masse 70 kg, Höhe 2 m, Fallbeschleunigung 1,62 m/s² — der Mond
   2. Energie: U = 70 × 1,62 × 2 = 226,8 J, genau ein Sechstel der 1.372,93 J, die es auf der Erde kostet
   3. In Kilojoule: 0,2268, angezeigt als 0,2268 kJ
   4. In Fuß-Pfund: 226,8 ÷ 1,3558179483 = 167,2791, angezeigt als 167,28 ft·lb
   5. Fallgeschwindigkeit: √(2 × 1,62 × 2) = √6,48 = 2,5456, angezeigt als 2,55 m/s

   Jede Zeile schrumpft um das Verhältnis der beiden Fallbeschleunigungen, 1,62 ÷ 9,80665 = 0,1652, und dieses Verhältnis ist der ganze Grund dafür, die Gravitation zu einem Eingabefeld zu machen, statt 9,81 in die Formel zu schreiben. Die Fallgeschwindigkeit schrumpft ebenfalls, aber um die Wurzel dieses Verhältnisses und nicht um das Verhältnis selbst — 6,2631 × √0,1652 = 2,5456, angezeigt als 2,55 —, und dieser Unterschied zwischen einer geradlinigen und einer Wurzel-Antwort ist es wert, bemerkt zu werden. Ein Astronaut in den Aufnahmen der Apollo-Missionen hüpft aus genau diesem Grund, statt zu gehen: derselbe Beinstoß, der ihn auf der Erde 20 cm hoch bringt, bringt ihn dort 1,2 m hoch, und die Landung aus dieser Höhe ist langsamer und weicher.

Die Höhe ist eine Differenz zwischen zwei Niveaus, die Antwort ist also die Energie genau dieses Hubs und nicht die Gesamtenergie, die ein Körper durch seine Lage hat: das Bezugsniveau liegt dort, wo man es festlegt. Die Fallbeschleunigung ist über den ganzen Hub hinweg konstant, was über ein Gebäude exakt gilt und über eine Strecke, die mit einem Planetenradius vergleichbar ist, falsch wird. Seitliche Bewegung kommt hier nicht vor: der Körper beginnt und endet in Ruhe. Der Luftwiderstand bleibt in der Fallgeschwindigkeit genauso unberücksichtigt wie die Erdrotation und der Auftrieb der Luft.

Wie lautet die Formel für die potenzielle Energie?

U = m × g × h: Masse mal Fallbeschleunigung mal Hubhöhe. Eine um 2 m gehobene Person von 70 kg speichert auf der Erde 70 × 9,80665 × 2 = 1.372,93 J. Die Formel ist eine einzige Multiplikation, und deshalb ist das Interessante an dieser Seite nicht die Rechnung, sondern die beiden Größen, die sich variieren lassen — die Gravitation, die dieselbe Hubarbeit auf dem Mond zu einem Sechstel der Energie macht, und die Höhe, die eine Differenz zwischen zwei Niveaus ist und keine Höhenlage.

Warum hängt die Aufprallgeschwindigkeit nicht von der Masse ab?

Weil die Masse auf beiden Seiten der Energiebilanz steht und sich herauskürzt. Der Fall wandelt gespeicherte Energie in Bewegungsenergie um, also gilt m × g × h = ½ × m × v², und eine Division beider Seiten durch m lässt g × h = ½v² übrig, was zu v = √(2gh) umgestellt wird. Eine Person von 70 kg und ein Beutel von 1 kg kommen aus 2 m Höhe beide mit 6,26 m/s an. Schwerere Körper tragen mehr Energie — das sind die 1.372,93 J —, sie brauchen aber auch mehr Energie, um beschleunigt zu werden, und die beiden Wirkungen heben sich genau auf.

Was bewirkt die doppelte Hubhöhe?

Sie verdoppelt die gespeicherte Energie, vervielfacht die Fallgeschwindigkeit aber nur mit 1,41, der Wurzel aus zwei. Der Weg von 2 m auf 4 m bringt eine Hubarbeit von 70 kg von 1.372,93 J auf 2.745,86 J, während die Aufprallgeschwindigkeit von 6,26 m/s auf 8,86 m/s steigt und nicht auf 12,5. Das sollte man sich einprägen, weil es dieselbe Beziehung ist, wegen der Bremswege mit dem Quadrat der Geschwindigkeit wachsen: die Energie folgt der Höhe, die Geschwindigkeit nur ihrer Wurzel.

Welchen Wert für die Gravitation nehme ich für Mond oder Mars?

Die Tabelle neben dem Rechner führt beide auf: der Mond hat 1,62 m/s² und der Mars 3,71, gegen die definierten 9,80665 der Erde. Das sind Oberflächenmittelwerte, die über jeden Himmelskörper um etwa ein Prozent schwanken, also weit unter den Unterschieden zwischen ihnen liegen und für die Auslegung von Missionen die richtigen Werte sind. Jupiter ist mit 24,79 m/s² angegeben, wobei seine Oberfläche eine 1-bar-Druckfläche und kein fester Grund ist, und die 274 der Sonne gehören zu ihrer Photosphäre — eine Person von 70 kg wöge dort 19,2 kN.

Ist potenzielle Energie dasselbe wie kinetische Energie?

Es ist dieselbe Größe in zwei Formen, und die zweite Hälfte dieser Seite ist der Wechselkurs. Als Höhe gespeicherte Energie wird auf dem Weg nach unten als Bewegungsenergie frei, die 1.372,93 J eines Hubs von 70 kg auf 2 m werden also im Augenblick vor dem Aufprall zu 1.372,93 J Bewegungsenergie, und das sind genau die 6,26 m/s, die die Seite meldet. Der Rechner für die kinetische Energie setzt am anderen Ende an und liefert die Höhe, die zu einer gegebenen Geschwindigkeit gehört; die beiden Seiten sind also Umkehrungen voneinander und keine Doppelungen.

• Gravitational Potential Energy (College Physics 2e, §7.3) — U = mgh, the choice of reference level, and the conversion between stored energy and falling speed — OpenStax
• Gravitational energy — the mgh form, its limits, and why the mass cancels out of the impact speed — Wikipedia
• NIST Guide for the Use of the International System of Units (SI), Appendix B.8 — Factors for Units Listed Alphabetically: the foot pound-force row (1 ft·lbf = 1.355 818 J) that this page's third row is converted with — NIST