Normalkraft-Rechner

Normalkraft = Masse × Erdbeschleunigung × cos(Hangneigung)

m

Die Masse, die auf der Fläche liegt, in Kilogramm, mit Gramm, Tonnen und Pfund im selben Feld. Es ist eine Masse und keine Gewichtskraft: die Gewichtskraft ist m × g, und die Seite gibt sie als eigene Ergebniszeile aus. Das Feld weist die null ab, denn ein Körper ohne Masse ist kein kleiner Körper, sondern kein Körper — und auf dieser Seite würde er jede Zeile auf null setzen

θ

Die Hangneigung, gemessen zwischen der Fläche und der Waagerechten, in Grad, Bogenmaß oder Neugrad. Flacher Boden ist 0 und eine senkrechte Wand ist 90, und das Feld nimmt alles dazwischen an. Bei 30 Grad beträgt die Normalkraft 87 Prozent der Gewichtskraft; bei 90 ist sie null, weil die Fläche nicht mehr unter dem Körper liegt

g

Die Normfallbeschleunigung, fest auf 9,80665 m/s² — der definierte Wert und keine örtliche Messung. Sie ist hier bewusst kein Eingabefeld, weil sie keine Größe ist, die der Leser wählt; wer wissen will, was derselbe Körper auf dem Mond oder auf dem Mars wiegt und speichert, ist auf der Seite zur potenziellen Energie richtig, wo die Gravitation ein Feld mit einer Tabelle über sechs Himmelskörper ist

N

Die Normalkraft selbst: senkrecht zur Fläche und von ihr weg, in Newton und in Pound-force. Das Wort normal ist hier das geometrische und heißt senkrecht — diese Kraft ist durch ihre Richtung definiert und nicht durch eine Eigenschaft des Körpers. Sie ist eine Antwort und keine Ursache, sie ist das, was die Fläche tut, und nicht das, was der Körper tut

F∥

Die Hangabtriebskraft, m × g × sin θ, parallel zur Fläche und den Hang hinab gerichtet. Sie ist keine dritte Kraft, die am Körper angreift — sie ist der Rest der Gewichtskraft, der Teil, den die Fläche nicht trägt. Sie ist die Zahl, welche die Reibungsseiten brauchen, denn ob ein Körper rutscht, entscheidet sich am Vergleich mit der Reibung, die die Fläche aufbringen kann

Diese Seite ist die richtige, wenn eine Masse auf einer Rampe, einem Dach, einer Laderampe oder einer anderen geneigten Fläche liegt und die Kraft gefragt ist, die diese Fläche tatsächlich trägt: die Auslegung eines Unterlegkeils, die Prüfung, ob ein abgestellter Anhänger hält, die Frage, mit welcher Kraft die Kufen eines Schlittens drücken, oder die Hangabtriebskraft, bevor anschließend gefragt wird, ob es rutscht. Sie ist auch die Seite für den Fall, dass die Antwort überrascht — die Normalkraft auf einer schiefen Ebene ist nicht die Gewichtskraft, sondern die mit dem Kosinus der Hangneigung skalierte, eine Kiste von 100 kg drückt auf einer 30-Grad-Rampe also mit 849 N und nicht mit 981 N; die 981 N sind nicht verschwunden, sie haben sich nur aufgeteilt, und 490 N davon ziehen die Kiste jetzt den Hang hinab. Diese Aufteilung ist das ganze Thema, und die zwei Komponenten neben der Gewichtskraft zu sehen ist der Grund, warum drei Zeilen erscheinen. Wer die Normalkraft berechnen will, findet sie hier ohne Zwischenschritt; die beiden Komponentenzeilen sind zugleich die Übergabe an die Reibungsrechner, welche die Normalkraft auf einer schiefen Ebene als Eingabe nehmen, statt sie selbst zu berechnen.

1. Die Voreinstellung: 10 kg auf einer 30-Grad-Neigung

   1. Masse 10 kg, Hangneigung 30 Grad
   2. Gewichtskraft: W = m × g = 10 × 9,80665 = 98,0665 N, angezeigt als 98,07 N
   3. Normalkraft: N = W × cos 30 = 98,0665 × 0,8660254 = 84,9281, angezeigt als 84,93 N
   4. Hangabtriebskraft: F∥ = W × sin 30 = 98,0665 × 0,5 = 49,0333, angezeigt als 49,03 N
   5. Probe: 84,93² + 49,03² = 7.213,1 + 2.403,9 = 9.617, und 98,07² = 9.617,7 — die beiden Komponenten setzen die Gewichtskraft wieder zusammen
   6. In Pound-force: 84,9281 ÷ 4,4482216 = 19,0926, angezeigt als 19,09 lbf

   Die Probe im fünften Schritt ist der Grund, warum diese Seite drei Kraftzeilen druckt statt einer, und sie lohnt sich einmal von Hand: die Normalkraft und die Hangabtriebskraft stehen senkrecht aufeinander, ihre Quadrate addieren sich also zum Quadrat der Gewichtskraft. Auf einer 30-Grad-Neigung trägt die Fläche 87 Prozent der Gewichtskraft — 84,93 von 98,07 N —, während der Zug den Hang hinab 49,03 N beträgt, also die Hälfte der Gewichtskraft und nicht die 13 Prozent, die der Kosinus übrig lässt. Die beiden sind senkrechte Komponenten und keine zwei Hälften einer Summe, und deshalb ergibt 84,93² + 49,03² wieder 98,07². Diese 49 N sind die Zahl, die in den Reibungsrechner gehört, denn ob der Körper liegen bleibt, entscheidet der Vergleich mit der Reibung, die die Fläche aufbringen kann — und die ist der Reibungskoeffizient mal diese 84,93 N und nicht mal die Gewichtskraft.

2. Flacher Boden: 70 kg auf dem Fußboden

   1. Masse 70 kg, Hangneigung 0 Grad — eine Person auf einem ebenen Fußboden
   2. Gewichtskraft: W = 70 × 9,80665 = 686,4655 N
   3. Normalkraft: N = W × cos 0 = 686,4655 × 1 = 686,4655, also 686,47 N
   4. Hangabtriebskraft: F∥ = W × sin 0 = 686,4655 × 0 = 0 N, genau null
   5. In Pound-force: 686,4655 ÷ 4,4482216 = 154,3236, angezeigt als 154,32 lbf

   Bei null Grad sind die beiden oberen Zeilen dieselbe Zahl und die untere ist null, weshalb die Seite auf flachem Boden überflüssig aussieht und es nicht ist: das ist der Fall, in dem die Normalkraft tatsächlich gleich der Gewichtskraft ist, und der einzige, in dem das gilt. Die beiden Zeilen trennen sich, sobald die Fläche sich neigt — bei 30 Grad sind es 84,93 und 98,07 —, und beide zu drucken hat den Grund, dass ein Leser, der bisher nur den flachen Fall kennt, dazu neigt, N = m × g überall anzunehmen. Der Fußboden, auf dem Sie stehen, drückt mit 686 N nach oben, das sind 154 Pfund, und das tut er den ganzen Tag.

3. Die Grenze: 1.000 kg an einer senkrechten Wand

   1. Masse 1.000 kg, Hangneigung 90 Grad — die Fläche ist zu einer Wand geworden
   2. Gewichtskraft: W = 1.000 × 9,80665 = 9.806,65 N
   3. Normalkraft: N = W × cos 90 = 9.806,65 × 0 = 0 N
   4. Hangabtriebskraft: F∥ = W × sin 90 = 9.806,65 × 1 = 9.806,65 N — die ganze
   5. Die Fläche trägt also nichts von der Gewichtskraft, und die vollen 9.806,65 N ziehen senkrecht nach unten

   Das ist die Zeile, durch die die Formel Sinn ergibt. Eine senkrechte Fläche trägt überhaupt keine Gewichtskraft, weil unter dem Körper nichts ist, wogegen sie drücken könnte: cos 90 ist null, die Normalkraft ist also null, und die ganze Gewichtskraft ist in die Hangabtriebskraft gewandert, die bei 90 Grad senkrecht nach unten zeigt. Die Seite druckt die Gewichtskraft trotzdem, weil sie eine Eigenschaft des Körpers ist und nicht der Fläche; wer aber eine Wand bemisst, die diese Kiste halten soll, bekommt aus diesen Zeilen keine Hilfe — eine Wand, die nicht auf die Kiste drückt, liefert auch keine Reibung, und sie zu halten bräuchte eine Kraft, die diese Seite nicht abbildet.

Es wird eine gerade Ebene vorausgesetzt und der Körper als Punkt darauf: ein gewölbter Hang oder eine Kiste, die lang genug ist, um die Neigung an zwei Stellen zu berühren, passen nicht dazu. Gezählt wird nur die Schwerkraft, ein Seil, das nach oben zieht, eine Hand, die nach unten drückt, oder ein zweiter Körper obenauf verändern die Normalkraft also — sie ist eine Antwort und keine Größe, die diese Seite im Voraus kennen kann. Die Reibung kommt hier nirgends vor; die Seite berechnet die beiden Komponenten, welche die Reibungsrechner als Eingabe nehmen. Die Erdbeschleunigung ist auf den definierten Normwert 9,80665 m/s² festgelegt.

Wie lautet die Formel für die Normalkraft?

N = m × g × cos θ, wobei θ die Hangneigung ist, gemessen gegen die Waagerechte. Auf flachem Boden ist cos 0 gleich 1, die Normalkraft ist dort also gleich der Gewichtskraft; auf einer 30-Grad-Neigung ist cos 30 gleich 0,866, die Normalkraft eines Körpers von 10 kg beträgt dort also 84,93 N gegen eine Gewichtskraft von 98,07 N. Die Formel ist die Gewichtskraft mal dem Anteil von ihr, der in die Fläche drückt, und der Rest der Gewichtskraft ist die Komponente, die den Körper den Hang hinab zieht, m × g × sin θ.

Warum ist die Normalkraft auf einer schiefen Ebene kleiner als die Gewichtskraft?

Weil ein Teil der Gewichtskraft überhaupt nicht in die Fläche drückt. Die Gewichtskraft ist eine einzige nach unten gerichtete Kraft, und auf einer Neigung ist es nützlich, sie in einen Anteil senkrecht zur Fläche und einen Anteil parallel zu ihr zu zerlegen; nur der senkrechte Anteil ist der Teil der Gewichtskraft, den die Fläche tragen muss. Bei 30 Grad sind das 87 Prozent der Gewichtskraft, bei 45 Grad 71 Prozent und bei 60 Grad 50 Prozent. Der übrig bleibende Teil, m × g × sin θ, zieht den Körper die Neigung hinab.

Wie lässt sich die Normalkraft für eine Masse auf einer Neigung berechnen?

Masse und Hangneigung eingeben; mehr braucht die Seite nicht, weil die Erdbeschleunigung auf 9,80665 m/s² festliegt. Für ein Auto von 1.500 kg auf einer 10-Grad-Rampe ist die Normalkraft 1.500 × 9,80665 × cos 10 = 14.486,5 N, und die Hangabtriebskraft beträgt 2.554,4 N. Wer statt der Masse bereits die Gewichtskraft hat, teilt sie zuerst durch 9,80665 oder multipliziert sie gleich selbst mit cos θ — beide Wege ergeben auf die angezeigten Stellen dasselbe.

Wie groß ist die Normalkraft auf flachem Boden?

Sie ist genau die Gewichtskraft, m × g. Bei einer Hangneigung von 0 Grad ist der Kosinus 1 und der Sinus 0, eine Person von 70 kg auf einem ebenen Fußboden wird also mit 686,47 N getragen, während die Hangabtriebskraft null ist. Das ist der einzige Winkel, bei dem die beiden gleich sind, und deshalb lohnt es sich, mit dem flachen Fall anzufangen: er zeigt, was die Seite tut, bevor die Neigung die beiden Zahlen auseinanderbringt.

In welche Richtung zeigt die Normalkraft?

Senkrecht zur Fläche und von ihr weg — das ist die Bedeutung, die das Wort normal in der Geometrie hat. Auf einer 30-Grad-Neigung zeigt sie 30 Grad von der Senkrechten abweichend und nicht gerade nach oben, und sie hat nicht dieselbe Richtung wie die Gewichtskraft. Weil sie senkrecht zur Fläche steht, verrichtet sie an einem Körper, der entlang dieser Fläche gleitet, auch keine Arbeit: Kraft und Bewegung stehen im rechten Winkel, ihr Produkt ist also null. Sie ist eine Antwort und keine Ursache, und sie nimmt den Wert an, der nötig ist, damit die beiden Flächen nicht ineinandergeraten.

• Normal, Tension, and Other Examples of Forces (College Physics 2e, §4.5) — the normal force as a perpendicular response, and why it equals mg only on level ground — OpenStax
• Normal force — the definition as the perpendicular component of the contact force, and the worked inclined-plane case — Wikipedia
• Inclined plane — resolving weight into components parallel and perpendicular to the surface, and the friction conditions that follow — Wikipedia
• NIST Guide for the Use of the International System of Units (SI), Appendix B.8 — Factors for Units Listed Alphabetically: the pound-force row (1 lbf = 4.448 222 N) that this page's second row is converted with — NIST