Dreiecksprisma-Volumen-Rechner
Ergebnis
Volumen
Ein Rechner für das Volumen eines Dreiecksprismas nimmt die Fläche der dreieckigen Stirnseite und die Länge des Prismas und gibt zurück, wie viel das Prisma fasst, in Kubikzentimetern. Es ist eine einzige Multiplikation. Das ist die ganze Seite, und die Kürze ist Absicht und nicht Bequemlichkeit: Hat man die Fläche des Querschnitts, ist das Volumen jedes Prismas diese Fläche mal der Strecke, über die das Prisma läuft, und keine zusätzliche Eingabe ändert etwas an der Rechnung. Der Grund, trotzdem eine Seite dafür zu haben, ist, dass die Fläche oft die Zahl ist, die man schon hat. Eine Zeichnung nennt einen dreieckigen Querschnitt als so und so viele Quadratzentimeter, eine vorherige Rechnung hat ihn geliefert, ein Datenblatt eines Lieferanten führt ihn auf — und von Ihnen zu verlangen, diese Fläche wieder in drei Seitenlängen zu zerlegen, nur damit die Seite sie erneut multipliziert, wäre eine Fleißaufgabe ohne Ertrag. Was diese Seite nicht ist, ist ein Ersatz für die Übersichtsseite. Haben Sie die drei Seiten des Dreiecks statt seiner Fläche, hat diese Seite kein Feld, in das sie hineinpassen, und die ehrliche Antwort lautet, auf die Dreiecksprisma-Seite zu gehen oder die Fläche zuerst auf der Dreiecksflächen- oder der Heron-Seite auszurechnen und dann zurückzukommen. Das eine, was an der Multiplikation wissenswert ist, ist ihre Gutmütigkeit: Mit einer Grundfläche von 6 und einer Länge von 10 ist die Antwort genau 60, und dieselbe Grundfläche mit einer Länge von 1 ergibt genau 6, weil auf diesem Weg nirgends eine Division und nirgends eine Quadratwurzel steht. Weil hier nichts gerundet wird, ist die Antwort bei exakt darstellbaren Eingaben exakt und nicht genähert — und weil die Länge als Faktor eingeht und nicht als Kantenlänge eines Dreiecks, funktioniert die Seite auch für einen Querschnitt, den man gemessen statt gerechnet hat: Die Multiplikation fragt nie, woher die Fläche stammt.
Das Volumen eines Dreiecksprismas aus Grundfläche und Länge
| Grundfläche (cm²) | Länge (cm) | Volumen (cm³) |
|---|---|---|
| 6 | 10 | 60 |
| 6 | 1 | 6 |
| 1 | 10 | 10 |
| 0 | 10 | 0 |
| 6 | 0 | 0 |
| 2.5 | 4 | 10 |
| 3 | 2.5 | 7.5 |
| 1.5 | 1.5 | 2.25 |
Acht Prismen und drei Spalten, weil die Seite eine Multiplikation und eine Antwort hat. Die erste Zeile ist die Zeile der Übereinstimmung und die, die man sich merken sollte: Eine Grundfläche von 6 mit einer Länge von 10 ergibt 60, und 6 ist genau die Fläche einer dreieckigen Stirnseite mit den Seiten 3, 4 und 5, die Übersichtsseite gibt für diese Seiten bei derselben Länge also dieselbe 60 aus. Die zweite Zeile ist die Selbstkontrolle — bei einer Länge von 1 ist das Volumen gleich der Grundfläche, was bestätigt, dass die Multiplikation nichts weiter tut. Die dritte Zeile ist das Spiegelbild davon, wo eine Grundfläche von 1 das Volumen gleich der Länge macht. Die vierte und die fünfte Zeile sind die beiden Wege zu einem Volumen von null, und das sind nicht dieselben Situationen: Eine Fläche von null ist eine Stirnseite, die zu einer Linie plattgedrückt wurde, und eine Länge von null ist ein Prisma ohne Tiefe. Die sechste Zeile hat eine Grundfläche mit einem Bruch, die siebte eine Länge mit einem Bruch, und in der achten sind beide Eingaben gebrochen: 1,5 mal 1,5 gibt 2,25, und die Multiplikation ist auch dort exakt, weil nie dividiert wird. Jeder Wert hier wird beim Bau der Seite aus seinen zwei Eingaben neu berechnet, in Zentimetern, und die vier Nachkommastellen sind dieselben vier Nachkommastellen, die das Ergebnispanel verwendet. Die Zahlen gibt der Rechner unverändert aus: Der Dezimaltrenner ist in der Tabelle der Punkt (2.25 statt 2,25), weil die Spaltenwerte aus der Berechnung kommen und nicht aus einer Textvorlage.
Formel
V = A(Grundfläche) × L
- Grundfläche
- Die Fläche der dreieckigen Stirnseite, in Quadratzentimetern. Das ist der Querschnitt — die Form, die Sie sehen würden, wenn Sie das Prisma quer durchschnitten, im rechten Winkel zu seiner Länge
- Länge
- Wie weit das Prisma läuft, in Zentimetern — der Abstand zwischen den beiden gleichen dreieckigen Stirnseiten, gemessen entlang der Richtung, in der die Form gezogen wurde
- Volumen
- Wie viel das Prisma fasst, in Kubikzentimetern. Die Grundfläche mal der Länge, und sonst nichts
- A(Grundfläche) × L
- Eine einzige Multiplikation. Auf dieser Seite steht nirgends eine Division und nirgends eine Quadratwurzel, für exakt darstellbare Eingaben ist die Antwort also exakt und nicht gerundet
- Jedes Prisma
- Das ist die Regel für jedes Prisma und nicht nur für die dreieckigen. Ein Quader ist ein rechteckiger Querschnitt mal einer Länge, ein Zylinder ein Kreis mal einer Länge, und diese Seite ist ein Dreieck mal einer Länge
- Vier Nachkommastellen
- Wie breit der Wert geschrieben wird. Zwei ganze Zahlen ergeben immer eine ganze Zahl, die Nachkommastellen kommen also erst ins Spiel, wenn in der Fläche oder in der Länge ein Bruch steckt
- Kubikzentimeter
- Die Einheit der Antwort, gleichgültig was in den Auswahlfeldern steht. Das ist ein Volumen, die Umrechnung ist also kubisch — ein in Zoll gemessenes Prisma kommt in Kubikzentimetern zurück, und Sie teilen durch 16,387, um es in Kubikzoll zu lesen
Die Seite ist für alle, die eine Fläche in der Hand halten statt drei Seiten. Beton und Erdbau sind die größte Gruppe: eine dreieckige Bordsteinkante, ein Wall, ein Graben mit dreieckigem Querschnitt — alle in einer Zeichnung angegeben, die den Querschnitt als Fläche nennt und fragt, wie viel Beton die Strecke braucht. Weil solche Arbeiten nach Kubikmetern bestellt und bei Lieferung abgerechnet werden, muss die Zahl stimmen, bevor der Wagen kommt, und die Fläche aus der Zeichnung ist die maßgebliche Größe und nicht etwas, das man aus Seiten nachrechnet. Umhüllungs- und Beschichtungsarbeiten nutzen dieselbe Seite, wenn sie mit einer angegebenen Querschnittsfläche arbeiten. Dann ist da die kleine Gruppe von Aufgaben, bei denen die Stirnseite in keinem bequemen Sinn ein Dreieck ist — ein gekrümmter oder unregelmäßiger Querschnitt, dessen Fläche gemessen oder geschätzt statt gerechnet wurde. Das ist die eine Stelle, an der diese Seite etwas kann, was die Übersichtsseite nicht kann: Jeder Querschnitt mit bekannter Fläche funktioniert hier, weil die Multiplikation nie fragt, aus welcher Form die Fläche stammt. Der dreieckige Rahmen der Seite ist da, weil die Leute so suchen, und nicht, weil es die Rechnung kümmert. Praktisch heißt das: Haben Sie eine Querschnittsfläche aus einer Zeichnung, einem Aufmaß oder einer vorherigen Rechnung, tippen Sie sie direkt ein; haben Sie drei Seitenlängen, ist die Übersichtsseite die richtige Adresse, und diese hier hat für sie kein Feld.
Rechenbeispiele
Eine Grundfläche von 6 und eine Länge von 10
- Grundfläche mal Länge: 6 × 10 = 60
Die Werte, mit denen die Seite startet, und die Zeile der Übereinstimmung: Eine Fläche von 6 ist genau das, was eine dreieckige Stirnseite mit den Seiten 3, 4 und 5 hat, die Übersichtsseite gibt für diese Seiten bei einer Länge von 10 also dieselbe 60 aus. Tragen Sie dieselben zwei Zahlen auf einer der beiden Seiten ein, kommt dasselbe Volumen heraus — die eine hat die Fläche aus den Seiten gerechnet, der anderen wurde sie gereicht.
Eine Grundfläche von 6 und eine Länge von 1
- Grundfläche mal Länge: 6 × 1 = 6
Die Zeile zur Selbstkontrolle. Bei einer Länge von eins ist das Volumen zahlenmäßig dasselbe wie die Grundfläche, und das ist der schnellste Weg zu bestätigen, dass die Multiplikation das tut, was man denkt, und dass unterwegs nichts hineingerutscht ist.
Eine Grundfläche von 2,5 und eine Länge von 4
- Grundfläche mal Länge: 2,5 × 4 = 10
Eine Fläche mit einem Bruch darin, wie sie eine halbierte Dreiecksfläche oder ein gemessener Querschnitt oft ergibt. Die Multiplikation ist exakt und es folgt keine Division, die Antwort ist also eine saubere 10 und keine gerundete Annäherung daran.
Eine Grundfläche von 6 und eine Länge von 0
- Grundfläche mal Länge: 6 × 0 = 0
Eine Länge von null bedeutet, dass das Prisma keine Tiefe hat und nichts fasst. Die Null ist eine echte Eingabe und kein leeres Feld, das hier ist also eine echte Antwort — und es ist eine wirklich andere Situation als die entartete Stirnseite, die man mit einer Grundfläche von null bekäme, auch wenn beide ein Volumen von null ausgeben.
Einschränkungen
Diese Seite nimmt eine Grundfläche und eine Länge und sonst nichts. Sie kann nicht von den drei Seiten des Dreiecks aus arbeiten — das ist die Aufgabe der Dreiecksprisma-Seite oder der Dreiecksflächen- und Heron-Seiten, wenn Sie die Fläche selbst erreichen und zurückkommen wollen. Sie gibt keine Oberfläche und keine Mantelfläche, die die Übersichtsseite sehr wohl gibt; brauchen Sie also die Menge Hüllmaterial um das Prisma, ist das die falsche Seite. Sie setzt voraus, dass das Prisma gerade ist: die beiden Stirnseiten parallel und gleich, die Seiten senkrecht auf ihnen. Die Antwort steht immer in Kubikzentimetern, gleichgültig was in den Auswahlfeldern steht, und da das ein Volumen ist, ist die Umrechnung kubisch — ein in Zoll gemessener Querschnitt kommt in Kubikzentimetern zurück, und Sie teilen durch 16,387 statt durch 2,54. Vier Nachkommastellen sind eine Anzeigebreite und keine Aussage über die Genauigkeit. Die Null wird für beide Eingaben akzeptiert und ergibt ein Volumen von null, was eine echte Antwort und keine fehlende ist. Nichts hier behandelt ein hohles Prisma, eine Wandstärke, eine sich verjüngende oder schiefe Form oder einen Zuschlag für Verschnitt bei der Materialbestellung.
Häufige Fragen
- Woher bekomme ich die Grundfläche?
- Haben Sie die drei Seiten der dreieckigen Stirnseite gemessen, nehmen Sie den Satz des Heron auf seiner eigenen Seite oder die Dreiecksprisma-Seite, die das für Sie erledigt und das Volumen direkt ausgibt. Steht die Fläche schon auf einer Zeichnung oder einem Datenblatt, tippen Sie sie direkt ein — genau dafür ist diese Seite da, und die Multiplikation fragt nie, woher die Zahl stammt.
- Warum gibt es dafür eine eigene Seite?
- Weil die Eingabe eine andere ist und die Person, die sie benutzt, auch. Die Dreiecksprisma-Seite beginnt bei drei Seitenlängen und gibt drei Werte zurück; diese beginnt bei einer Fläche, die Sie schon haben, und gibt einen zurück. Wer eine Zeichnung mit einer Querschnittsfläche in der Hand hält, kann mit einer Seite, die nach drei Seiten fragt, nichts anfangen, und wer drei Seiten hat, hat hier nichts einzutippen.
- Ist die Grundfläche die untere Fläche?
- Nicht unbedingt, und das lohnt Klarheit. Hier bedeutet Grundfläche den Querschnitt — die dreieckige Stirnseite, die Sie sehen würden, wenn Sie das Prisma im rechten Winkel zu seiner Länge quer durchschnitten. Ein Prisma, das auf einer seiner rechteckigen Flächen liegt, hat ein aufrecht stehendes Dreieck, und seine untere Fläche ist ein Rechteck; die Fläche, die diese Seite will, ist trotzdem die des Dreiecks.
- Gilt die Regel auch für andere Formen?
- Ja — das Volumen jedes Prismas ist die Fläche seines Querschnitts mal seiner Länge, gleich welcher Form dieser Querschnitt ist. Ein Quader ist ein Rechteck mal einer Länge, ein Zylinder ein Kreis mal einer Länge. Die Multiplikation sieht sich die Form nie an, und deshalb funktioniert diese Seite auch für einen Querschnitt, dessen Fläche gemessen statt gerechnet wurde.
- Spielen die Einheiten eine Rolle?
- Die Auswahlfelder ändern, was Sie eintippen, nicht was herauskommt. Der Wert steht immer in Kubikzentimetern, und da das ein Volumen ist, ist die Umrechnung kubisch: Teilen Sie durch 16,387, um eine Kubikzentimeter-Antwort in Kubikzoll zu lesen, nicht durch 2,54. Einen Querschnitt in Quadratzoll einzugeben und das Volumen als Kubikzoll zu lesen ist der Fehler, auf den man achten sollte.
- Was ist, wenn die Länge null ist?
- Das Volumen ist null, und das ist richtig: Ein Prisma ohne Länge hat seine beiden Stirnseiten zusammengeschoben und fasst nichts. Die Null wird als echter Wert behandelt und nicht als leeres Feld, die Seite gibt also ein Ergebnis aus. Ein leeres Feld ist etwas anderes — es gibt nichts zu multiplizieren, und die Seite zeigt gar kein Ergebnis.
Quellen
- Prism — what makes a solid a prism, and why its volume is always the cross-section's area multiplied by its length — Wolfram MathWorld (United States)
- Volume — the general notion this page is a special case of, and the several ways the volume of a solid can be arrived at when it is not a prism — Wolfram MathWorld (United States)
- Heron's Formula — how to get the base area this page asks for when the three sides of the triangular end are what you actually measured — Wolfram MathWorld (United States)
- Prisma — Grundfläche, Deckfläche und Mantelfläche, die Kongruenz und Parallelität der beiden Grundflächen und die Volumenformel Grundfläche mal Höhe, die dieser Rechner auf den dreieckigen Querschnitt anwendet — Lernhelfer (Deutschland)