Dreiecksprisma-Rechner

V = A(Grundfläche) × L

Seite a

Die erste Seite der dreieckigen Grundfläche, in Zentimetern. Die drei Seiten müssen zusammen ein Dreieck ergeben, was die Seite prüft, bevor sie antwortet

Seite b

Die zweite Seite der Grundfläche, in Zentimetern. Zusammen mit a und c legt sie die Fläche der Grundfläche und damit das Volumen vollständig fest

Seite c

Die dritte Seite der Grundfläche, in Zentimetern. Die Reihenfolge der drei spielt keine Rolle — sie gehen symmetrisch ein, über den Umfang und den halben Umfang

Länge

Wie weit das Prisma läuft, in Zentimetern — der Abstand zwischen den beiden gleichen dreieckigen Enden, gemessen entlang der Richtung, in der die Form gezogen wurde. Das ist nicht die Höhe des Dreiecks, und bei einem flach liegenden Prisma sehen diese beiden Zahlen oft ähnlich aus

A(Grundfläche)

Die Fläche der dreieckigen Grundfläche, aus den drei Seiten mit dem Satz des Heron berechnet. Eine Grundfläche mit den Seiten 3, 4 und 5 hat eine Fläche von genau 6 Quadratzentimetern, weshalb sie in dieser Gruppe so oft auftaucht

Volumen

Wie viel das Prisma fasst, in Kubikzentimetern. Die Fläche der Grundfläche mal der Länge, was für jedes Prisma gilt, gleich welcher Form sein Querschnitt ist

Umfang und Mantelfläche

Der Weg um die Grundfläche herum und dieser Weg mal der Länge. Aufgerollt sind die Seiten jedes Prismas ein Rechteck, und das hier ist seine Fläche. Diese Mantelfläche lässt beide dreieckigen Enden aus

Beton und Erdbau sind die ältesten Nutzer: ein dreieckiger Wall, ein Abraumhaufen mit flacher Krone, eine Bordsteinkante aus dreieckigem Querschnitt — alles, was nach Volumen bestellt oder bezahlt wird, und das ist das meiste, was fuhren- oder kubikmeterweise verkauft wird. Hüll- und Bahnmaterialien sind die zweite Familie, und sie wollen die Mantelfläche: die Plane über dem First eines Zeltes, die Schrumpffolie um ein dreieckiges Paket, die Verkleidung eines Giebels, das Blech in einem dreieckigen Kanal. Solche Arbeiten werden nach Fläche abgerechnet, und die Zahl, die sie brauchen, ist der Umfang mal der Länge und nicht die gesamte Oberfläche, weil die Enden meist offen sind oder von etwas anderem abgedeckt werden. Streichen und Beschichten wollen dagegen die gesamte Oberfläche, weil die Enden mitgestrichen werden müssen, und sie beim Schätzen wegzulassen ist der übliche Weg, zu knapp zu kalkulieren. Dann ist da der dritte Wert, der gratis mitkommt und den man trotzdem kennen sollte: Das Volumen jedes Prismas ist die Fläche seines Querschnitts mal seiner Länge, und hat man das einmal gesehen, fallen Quader, Zylinder und diese Form zu einer einzigen Regel zusammen. Diese Verallgemeinerung ist der Grund, aus dem diese Seite und die Seite zum Volumen eines Dreiecksprismas als Paar existieren — die eine beginnt bei den drei Seiten, die andere bei einer Fläche, die man schon hat, und beide landen bei derselben Antwort, wenn die Zahlen zusammenpassen. Für die letzte Frage lohnt ein Blick auf die Prüfung der drei Seiten: Sie ist der Grund, aus dem manche Dreierzahlen kein Prisma hinter sich haben, und sie ist dieselbe Bedingung, die auch hinter jedem Dreieck steht, das man auf Papier zu zeichnen versucht.

1. Eine Grundfläche 3-4-5 mit einer Länge von 10

   1. Fläche der Grundfläche mit dem Satz des Heron: halber Umfang 6, also √(6 × 3 × 2 × 1) = 6
   2. Mal der Länge ergibt das Volumen: 6 × 10 = 60
   3. Die Seiten zusammenzählen und mal der Länge ergibt die Hülle: 12 × 10 = 120
   4. Die beiden dreieckigen Enden dazuzählen: 120 + 2 × 6 = 132

   Die Werte, mit denen die Seite startet, und die, welche die beiden Seiten aneinanderbinden: Die Grundfläche hat eine Fläche von genau 6, das Volumen ist also genau 60, und die Volumenseite gibt dieselbe 60 für eine Grundfläche von 6 bei einer Länge von 10 aus. Alle drei Werte kommen aus einem kleinen Satz Zahlen, und genau das ist der Sinn einer Übersichtsseite.

2. Eine gleichseitige Grundfläche von 6 mit einer Länge von 10

   1. Fläche der gleichseitigen Grundfläche: √3 ÷ 4 × 36 = 15,5884572…
   2. Mal der Länge ergibt das Volumen: 15,5884572… × 10 = 155,884572…

   Eine gleichseitige Grundfläche, bei der die Fläche keine ganze Zahl ist und die Antwort am Ende gerundet werden muss. Die Volumenseite erreicht dieselbe 155,8846 aus einer Grundfläche von 15,5884572 bei derselben Länge, und das ist die zweite Übereinstimmung zwischen den beiden Seiten.

3. Eine gleichschenklige Grundfläche von 5, 5 und 6 mit einer Länge von 4

   1. Fläche der Grundfläche: der halbe Umfang ist 8, also √(8 × 3 × 3 × 2) = 12
   2. Mal der Länge ergibt das Volumen: 12 × 4 = 48

   Der gewöhnliche Fall: eine Grundfläche, deren Fläche zufällig eine ganze Zahl ist, und ein kurzes Prisma. Hier ist nichts eine besondere Form, und keine Seite musste in einem bequemen Winkel gemessen werden — so sehen die meisten echten Aufgaben aus.

4. Eine Grundfläche 3-4-5 mit einer Länge von 0

   1. Fläche der Grundfläche: 6
   2. Mal der Länge: 6 × 0 = 0

   Eine Länge von null bedeutet, dass die beiden Enden zusammengeschoben wurden und kein Prisma mehr übrig ist — das Volumen ist wirklich null. Die Oberfläche ist auch hier nicht null, weil die beiden dreieckigen Enden noch da sind und weiter mitgezählt werden müssen; die Mantelfläche dagegen verschwindet mit der Länge, denn sie ist der Umfang der Grundfläche mal dieser Länge. Dass einer der beiden Werte stehen bleibt, während der andere auf null fällt, ist ein guter Weg zu sehen, dass Oberfläche und Volumen verschiedene Fragen beantworten.

Diese Seite nimmt die drei Seiten der Grundfläche und die Länge des Prismas und sonst nichts. Sie setzt voraus, dass das Prisma gerade ist — dass die Enden parallel und gleich geformt sind und die Seiten senkrecht auf ihnen stehen —, was die Bedeutung des Wortes Prisma ist, aber nicht jeder dreieckige Körper; ein Keil, der zu einem Ende hin schmaler wird, braucht eine andere Rechnung. Der Querschnitt muss ein Dreieck sein: Ein Prisma mit einem allgemeinen Viereck als Grundfläche ist eine andere Form mit einer anderen Seite. Die drei Seiten müssen die Dreiecksungleichung erfüllen, und wenn die beiden kürzeren zusammen weniger ergeben als die längste, verweigert die Seite die Antwort. Ergeben sie zusammen genau die längste, ist die Grundfläche entartet, und das Volumen wird als null akzeptiert. Die Antwort steht immer in Zentimetern, Quadratzentimetern und Kubikzentimetern, gleichgültig was in den Auswahlfeldern steht, und die Umrechnungen sind für alle drei nicht dieselben: Eine Länge rechnet sich mit 2,54 in Zoll um, eine Fläche mit 6,4516 und ein Volumen mit 16,387. Vier Nachkommastellen sind eine Anzeigebreite und keine Aussage über die Genauigkeit, und ein Volumen mit einer Quadratwurzel darin hat wirklich mehr Stellen, als gezeigt werden. Die Mantelfläche lässt beide dreieckigen Enden aus, was ein Hüllmaterial braucht, ein Farbenanstrich aber nicht — für Farbe nehmen Sie die gesamte Oberfläche. Nichts hier behandelt ein hohles Prisma, eine Wandstärke oder einen Zuschlag für Verschnitt beim Zuschnitt des Materials.

Was ist der Unterschied zwischen Mantelfläche und Oberfläche?

Die Mantelfläche ist nur die Hülle um die Seiten — der Umfang des Dreiecks mal der Länge. Die gesamte Oberfläche zählt die beiden dreieckigen Enden mit, sie ist also die Mantelfläche plus zweimal die Fläche der Grundfläche. Welche Sie wollen, hängt an der Aufgabe: Eine Hülle, ein Etikett oder eine Verkleidung braucht die Mantelfläche, weil die Enden des Pakets offen sind. Farbe, Galvanik oder Blech brauchen den Gesamtwert, weil die Enden mit abgedeckt werden müssen.

Welches Maß ist die Länge?

Wie weit das Prisma läuft — der Abstand von einem dreieckigen Ende zum anderen, gemessen entlang der Richtung, in der die Form gezogen wurde. Es ist nicht die Höhe des Dreiecks, und bei einem auf dem Tisch liegenden Prisma sehen diese beiden Zahlen oft ähnlich aus, weshalb es sich lohnt zu prüfen, welche man vor sich hat. Ist Ihr Prisma ein Zelt, ist die Länge der First.

Dürfen die drei Seiten beliebige Zahlen sein?

Nein. Drei Längen bilden nur dann ein Dreieck, wenn je zwei von ihnen zusammen mehr ergeben als die dritte. Ergeben die beiden kürzeren zusammen weniger als die längste, gibt es keine Grundfläche, und die Seite verweigert die Antwort. Ergeben sie zusammen genau die längste, ist das Ende eine flache Linie und das Volumen wirklich null, dieser Fall wird also akzeptiert und als null ausgegeben.

Warum gibt die Volumenseite bei manchen Eingaben dieselbe Antwort?

Weil die beiden Seiten dieselbe Regel von verschiedenen Ausgangspunkten aus sind. Das Volumen jedes Prismas ist die Fläche seines Querschnitts mal seiner Länge; kennt man die Fläche der Grundfläche schon, kann man die drei Seiten ganz überspringen. Eine Grundfläche 3-4-5 hat eine Fläche von genau 6, beide Seiten ergeben also 60 für eine Länge von 10 — die eine rechnet die Fläche erst aus, der anderen wird sie gesagt.

Spielt es eine Rolle, welche Seite ich a, b und c nenne?

Nein. Die drei Seiten gehen symmetrisch in die Rechnung ein — über den Umfang werden sie einfach addiert, und im Satz des Heron kommen sie nur im halben Umfang und in den drei Differenzen vor, und das ist dieselbe Zahlenmenge, in welcher Reihenfolge Sie sie auch eintippen. Die Bezeichnungen sind dazu da, den Feldern Namen zu geben, und sollen nichts andeuten.

Kann ich diese Seite für einen Zylinder oder einen Quader benutzen?

Auf dieser Seite nicht, weil die Grundfläche hier ein Dreieck ist und die Felder nach drei Seiten fragen. Die Regel ist aber dieselbe: Das Volumen jedes Prismas ist sein Querschnitt mal seiner Länge, und die Mantelfläche jedes Prismas ist sein Umfang mal seiner Länge. Die Quader-Seite in dieser Gruppe ist dieselbe Rechnung mit rechteckiger Grundfläche, die Zylinderseite dieselbe mit kreisförmiger.

• Prism — what makes a solid a prism, why the volume is always the cross-section times the length, and how the lateral area is defined — Wolfram MathWorld (United States)
• Heron's Formula — how the area of the triangular end, and therefore the volume of the whole prism, is worked out from the three sides alone — Wolfram MathWorld (United States)
• Triangle Inequality — the condition the three sides of the end must satisfy, and the reason some sets of three lengths have no prism behind them — Wolfram MathWorld (United States)
• Was ist ein Prisma? — Volumen und Oberfläche berechnen: Grundfläche, Deckfläche und Mantelfläche, die Formeln Volumen gleich Grundfläche mal Höhe, Mantelfläche gleich Umfang mal Höhe und Oberfläche gleich zweimal Grundfläche plus Mantel, dazu das dreieckige Prisma als Sonderfall — Studienkreis (Deutschland)