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CalcMax

Zeitwert-des-Geldes-Rechner

Bereich: 1 – 10.000.000

Bereich: 0 – 50

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Ergebnis

16.288,95

Endwert

Barwert
6.139,13
Differenz zwischen Endwert und Barwert
10.149,82

Ein Betrag heute und derselbe Betrag in zehn Jahren sind nicht derselbe Betrag, und diese Seite zeigt, wie weit sie auseinanderliegen. Sie geben einen Betrag, einen Zinssatz und eine Anzahl von Jahren ein, und die Seite liest dieselbe Summe an zwei Zeitpunkten: nach vorn, als das, was daraus bis zum Ende der Laufzeit wird, und nach hinten, als das, was eine so weit entfernte Zahlung heute wert ist. Die dritte Zahl ist der Abstand zwischen diesen beiden — die Wertdifferenz, die allein die Zeit hinzufügt oder wegnimmt, und damit der Zeitwert des Geldes als eine einzige Zahl statt als ein Zinssatz. Der Zinssatz lässt sich jährlich, halbjährlich, vierteljährlich, monatlich, täglich oder stetig verzinsen, und die Verzinsungshäufigkeit bewegt mehr, als sie aussieht: Dieselben 5 % über zehn Jahre ergeben 16.288,95 bei jährlicher und 16.487,21 bei stetiger Verzinsung, ein Unterschied von 198, der vollständig aus der Häufigkeit stammt. Was die Seite nicht beantwortet, ist die Frage, ob 5 % der richtige Zinssatz sind — sie rechnet zwischen zwei Daten um, und das ist alles, was sie tut. Der Zinseszins steckt in beiden Richtungen: Er lässt den Endwert wachsen, und er ist derselbe Grund, aus dem der Barwert fällt. Abzinsen ist nichts anderes als dieses Rückwärtslesen.

10.000 bei 5 % jährlich verzinst, an sechs Horizonten gelesen

JahreEndwertBarwertDifferenz
1105009523.81976.19
2110259070.291954.71
311576.258638.382937.87
512762.827835.264927.56
1016288.956139.1310149.82
2026532.983768.8922764.09

Ein Betrag und ein Zinssatz durch die ganze Tabelle — 10.000 bei 5 % und jährlicher Verzinsung —, bewegt wird also nur, wie viele Jahre zwischen den beiden Lesarten liegen, und die Tabelle von oben nach unten zu lesen heißt zu lesen, was die Zeit allein anrichtet. Die drei Zahlenspalten verhalten sich völlig unterschiedlich, und das ist der Punkt. Der Endwert steigt und beschleunigt: 10.500 nach einem Jahr, 12.762,82 nach fünf, 16.288,95 nach zehn und 26.532,98 nach zwanzig — die zehn Jahre von der Zehn-Jahres-Zeile zur Zwanzig-Jahres-Zeile legen also mehr zu als die ersten fünf zusammen. Der Barwert fällt und wird dabei langsamer, von 9.523,81 auf 3.768,89 über dieselbe Spanne, weil beim Abzinsen durch einen Faktor geteilt wird, der selbst wächst. Die letzte Spalte lohnt sich für sich allein: Die Differenz beträgt 976,19 nach einem Jahr, 4.927,56 nach fünf, 10.149,82 nach zehn und 22.764,09 nach zwanzig. Von einem Jahr auf zwei verdoppelt sie sich mehr als, und von zehn Jahren auf zwanzig noch einmal — der Effekt ist nicht linear in der Zeit und wird es nie sein, weil im Exponenten gerechnet wird. Lesen Sie die beiden mittleren Spalten als denselben Betrag von beiden Enden aus: In der Zwanzig-Jahres-Zeile sind 26.532,98 das, was aus dem heutigen Geld wird, und 3.768,89 das, was ein Anspruch auf 10.000 in zwanzig Jahren heute wert ist. Die Zahlen gibt der Rechner unverändert aus: Der Dezimaltrenner ist in der Tabelle der Punkt (16288.95 statt 16.288,95), weil die Spaltenwerte aus der Berechnung kommen und nicht durch eine Textvorlage laufen.

Formel

Endwert = Betrag × (1 + Jährlicher Zinssatz ÷ m)^(m × Jahre) Barwert = Betrag ÷ (1 + Jährlicher Zinssatz ÷ m)^(m × Jahre)

Betrag
Die Summe, die an zwei Zeitpunkten gelesen wird: für die Vorwärtsrichtung das Geld, das Sie heute haben, für die Rückwärtsrichtung das Geld, das am Ende fällig ist
Jährlicher Zinssatz
Der nominale Zinssatz pro Jahr vor jeder Verzinsung; tragen Sie 2 für 2 Prozent ein, und beachten Sie, dass dies der angegebene Zinssatz ist und nicht der effektive, den die Verzinsung erzeugt
m
Die Verzinsungen pro Jahr — 1 für jährlich, 2 für halbjährlich, 4 für vierteljährlich, 12 für monatlich, 365 für täglich; je höher er ist, desto mehr bringt derselbe angegebene Zinssatz
Jahre
Wie lange das Geld liegen bleibt, in Jahren; der Exponent ist m × Jahre, gezählt werden also Verzinsungsperioden und nicht Jahre
Endwert
Was aus dem heutigen Betrag bis zum Ende der Laufzeit wird — die Vorwärtslesart und die Hauptzahl der Seite
Barwert
Was ein so weit in der Zukunft liegender Betrag heute wert ist: dieselbe Formel rückwärts gelesen, mit Division statt Multiplikation
Differenz
Der Endwert minus dem Barwert: dieselbe Summe an zwei Daten gelesen, und der Unterschied zwischen ihnen ist es, was die ganze Wartezeit in Geld wert ist
Stetige Verzinsung
Der Grenzfall, in dem m über jede Schranke wächst und die Formel zu Betrag × e^(Zinssatz × Jahre) wird; das ist ein anderer Ausdruck als der oben und keine weitere Häufigkeitseinstellung, und kein endliches m erreicht ihn je

Nehmen Sie die Vorwärtslesart, wenn Sie wissen wollen, was aus einer Summe wird — was aus einer Einlage heranwächst, was ein Einmalbetrag erreichen muss, damit sich das Sparen überhaupt lohnt, was eine Zielzahl über Zinssatz oder Laufzeit verrät. Nehmen Sie die Rückwärtslesart, wenn Sie wissen wollen, was eine künftige Zahlung heute wert ist; das ist der Vorgang hinter jedem Abzinsen und hinter jeder Bewertung, die auf Abzinsen beruht: ein Leasingvertrag, ein Vergleich, ein Zahlungsversprechen in fünf Jahren. Und nehmen Sie die Differenz, wenn Sie jemandem die Größe des Effekts vorführen wollen statt den Zinssatz, der ihn verursacht — das ist meist die überzeugendere Hälfte des Arguments. In drei Fällen ist die Seite das falsche Werkzeug. Sie kann keine Zahlungsreihe bewerten; dafür muss derselbe Betrag nach einem Plan wiederholt werden, und das sind die Rentenrechner. Sie sagt nichts über Risiko: Sie rechnet zwischen Daten um, mit einem Zinssatz, den Sie liefern, und ob das Geld überhaupt ankommt, ist eine andere Frage, die sie nicht berührt. Und sie ist gleichgültig dagegen, welche Richtung die wirkliche ist: Wenn Sie eine Zahlung abzinsen, die Ihnen ein Schuldner zugesagt hat, ist der richtige Zinssatz der, den Sie mit Geld vergleichbaren Risikos tatsächlich erzielen könnten, und nicht der, den der Schuldner Ihnen glauben machen möchte.

Rechenbeispiele

  1. 10.000 bei 5 % über zehn Jahre, jährlich verzinst

    1. Zehn Jahre bei 5 % und jährlicher Verzinsung ergeben den Faktor 1,05^10 = 1,628894627
    2. Endwert: 10.000 × 1,628894627 = 16.288,95
    3. Barwert: 10.000 ÷ 1,628894627 = 6.139,13
    4. Differenz: 16.288,95 − 6.139,13 = 10.149,82

    Die Voreinstellung und die sauberste Darstellung des ganzen Gedankens. Lesen Sie die beiden Beträge als dieselben 10.000 von beiden Enden einer Zehnjahresspanne aus: 16.288,95 ist das, was aus dem heutigen Geld wird, 6.139,13 ist das, was ein Anspruch auf 10.000 in zehn Jahren heute wert ist. Die 10.149,82 dazwischen sind keine Gebühr und kein Verlust — sie sind die Zeit, bepreist. Beachten Sie, dass der Endwert um 6.288,95 über dem Betrag liegt und der Barwert um 3.860,87 darunter, und dass die Differenz die Summe dieser beiden Bewegungen ist und nicht eine von ihnen; die Seite druckt alle drei Zahlen, damit diese Rechnung nachvollziehbar bleibt.

  2. Ein Zinssatz von null: 8.000 über fünfzehn Jahre ändern nichts

    1. Bei 0 % ist der Faktor 1,00^15 = 1
    2. Endwert: 8.000 × 1 = 8.000
    3. Barwert: 8.000 ÷ 1 = 8.000
    4. Differenz: 8.000 − 8.000 = 0

    Kein entarteter Fall und kein Fehler — ein Zinssatz von null ist die ehrliche Art zu sagen, dass in genau diesem Vergleich ein Betrag heute und ein Betrag in fünfzehn Jahren als dasselbe behandelt werden. Alles, was die Seite tut, fällt in sich zusammen: beide Richtungen geben den Betrag unverändert zurück, und die Differenz ist exakt null. Das lohnt sich als Bezugspunkt, denn es isoliert den ganzen Effekt: Jede andere Zeile der Tabelle weiter unten unterscheidet sich von dieser nur dadurch, dass der Zinssatz nicht null ist. Sehen Sie je eine Differenz von null bei einem Zinssatz ungleich null, ist einer der beiden Beträge nicht angewendet worden.

  3. Dieselben 10.000 und 5 %, stetig verzinst

    1. Stetiges Verzinsen rechnet mit e^(Zinssatz × Jahre) statt mit einer Potenz von (1 + Zinssatz ÷ m)
    2. Der Faktor: e^(0,05 × 10) = e^0,5 = 1,648721271
    3. Endwert: 10.000 × 1,648721271 = 16.487,21
    4. Barwert: 10.000 ÷ 1,648721271 = 6.065,31, und die Differenz beträgt 10.421,90

    Dieselben Eingaben wie in der Voreinstellung und 198,26 mehr, allein wegen der Häufigkeit. Die stetige Verzinsung ist die Obergrenze, der sich die übrigen Häufigkeiten nähern: jährlich ergibt 16.288,95, täglich 16.486,65, und das Verzinsungsintervall auf null schrumpfen zu lassen legt auf die tägliche Verzinsung nur noch 0,56 obendrauf. Darin liegt die praktische Lehre — von jährlich auf monatlich bewegt sich die Zahl um mehrere Hundert, von täglich auf stetig um Cents, die Wahl unter den niedrigen Häufigkeiten ist also die, auf die es ankommt. Die stetige Verzinsung ist außerdem die einzige Option hier, die ein anderer Ausdruck ist und nicht eine andere Einstellung desselben.

  4. 5.000 bei 6 % über zwanzig Jahre, vierteljährlich verzinst

    1. Vierteljährlich heißt 1,5 % pro Quartal über 80 Quartale: 1,015^80 = 3,290662…
    2. Endwert: 5.000 × 3,290662 = 16.453,31
    3. Barwert: 5.000 ÷ 3,290662 = 1.519,45
    4. Differenz: 16.453,31 − 1.519,45 = 14.933,86

    Eine längere Laufzeit bei höherem Zinssatz, und die Differenz beträgt jetzt fast das Dreifache des ursprünglichen Betrags. Auf dieses Verhältnis kommt es an und nicht auf die Endsummen: Über zwanzig Jahre bei 6 % liegt zwischen den beiden Lesarten derselben 5.000 ein Abstand von 14.933,86, also fast genau das Dreifache der Summe selbst. Den Horizont zu verdoppeln, verdoppelt den Effekt nicht nur, sondern mehr als das, weil im Exponenten gerechnet wird. Lesen Sie den Barwert hier als die Antwort auf eine echte Frage: Ein Anspruch auf 5.000 in zwanzig Jahren ist mit 6 % abgezinst heute rund 1.519 wert.

Einschränkungen

Vier Dinge tut diese Seite nicht. Sie rechnet einen einzelnen Betrag zwischen zwei Daten um; eine Zahlungsreihe kann sie nicht bewerten, Mieten, Gehälter, Darlehensraten und Ausschüttungen brauchen deshalb die Rentenrechner und nicht diesen. Der Zinssatz ist einer, den Sie liefern, und die Seite hat keine Meinung dazu — sie weiß nicht, wie hoch die Inflation sein wird, was eine vergleichbare Geldanlage abwirft oder wie hoch das Zahlungsrisiko ist, eine Umrechnung mit dem falschen Zinssatz ist also eine präzise Antwort auf die falsche Frage. Nichts ist um die Inflation bereinigt, die Zahlen stehen in den Einheiten, die Sie eingegeben haben, und ein Endwert, der groß aussieht, kauft womöglich weniger als der Barwert. Und die Häufigkeiten sind keine austauschbaren Konventionen für dieselbe Sache: Die stetige Verzinsung ist ein anderer Ausdruck, und jeder Vergleich zwischen einer hier erzeugten Zahl und einem anderswo genannten Zinssatz muss zuerst klären, mit welcher Konvention die andere Seite rechnet, bevor beide nebeneinander gestellt werden dürfen. Ein Hinweis zur Abgrenzung: Die Abkürzung TVM steht für Time Value of Money und stammt aus der englischen Praxis; gemeint ist genau die Rechnung dieser Seite. Und schließlich: An die Beträge ist kein Währungszeichen gehängt, sie sind also in der Währung richtig, die Sie eingegeben haben, und in jeder anderen falsch.

Häufige Fragen

Was ist der Zeitwert des Geldes?
Die Tatsache, dass eine Geldsumme an verschiedenen Daten verschieden viel wert ist, weshalb die Umrechnung zwischen Daten eine Rechnung ist und kein bloßes Umbenennen. Diese Seite misst ihn: 10.000 bei 5 % über zehn Jahre sind am fernen Ende 16.288,95 und am nahen 6.139,13, und die 10.149,82 dazwischen sind der Wert der Zeit selbst. In dieser Aussage wurde nichts verdient und nichts verloren — dieselben 10.000 wurden einfach an zwei Daten gelesen.
Warum gibt es zwei Ergebnisse, und welches brauche ich?
Es sind dieselbe Operation in entgegengesetzten Richtungen. Der Endwert verzinst nach vorn und beantwortet, was aus dem heutigen Geld wird; der Barwert zinst zurück und beantwortet, was ein künftiger Betrag heute wert ist. Nehmen Sie den Endwert, wenn Sie eine Summe fortschreiben, die Sie heute halten, und den Barwert, wenn Sie eine Zahlung bewerten, die Ihnen jemand zugesagt hat. Die dritte Zahl, die Differenz zwischen beiden, ist für den Fall, dass Sie die Größe des Effekts zeigen wollen statt den Zinssatz dahinter.
Wie stark wirkt die Verzinsungshäufigkeit?
Stärker, als die meisten am unteren Ende erwarten, und schwächer, als sie am oberen erwarten. Bei 10.000 zu 5 % über zehn Jahre: jährlich 16.288,95, vierteljährlich 16.436,19, monatlich 16.470,09, täglich 16.486,65, stetig 16.487,21. Der Schritt von jährlich auf monatlich bringt rund 181, der von täglich auf stetig weniger als eins. Der angegebene Zinssatz bleibt in jedem Fall gleich — geändert wird nur, wie oft die Zinsen selbst Zinsen bringen.
Was bedeutet die Differenz zwischen den beiden Zahlen?
Sie ist der Wert des Wartens, in Geld ausgedrückt statt als Zinssatz. Sie ist einfach der Endwert minus dem Barwert, in der Voreinstellung also 16.288,95 − 6.139,13 = 10.149,82. Sie ist keine Gebühr und kein Verlust; sie ist das, was die zehn Jahre bei diesem Betrag und diesem Zinssatz wert sind. Sie wächst schneller als die Laufzeit, weil im Exponenten verzinst wird: Den Horizont zu verdoppeln, verdoppelt die Differenz nicht nur, sondern mehr als das.
Ist die stetige Verzinsung nur eine sehr hohe Häufigkeit?
Sie ist der Grenzwert, dem die anderen Häufigkeiten zustreben, ohne ihn je zu erreichen, und sie wird mit einem anderen Ausdruck berechnet — Betrag × e^(Zinssatz × Jahre) statt einer Potenz von (1 + Zinssatz ÷ m). Der Unterschied ist praktisch und nicht philosophisch: Die tägliche Verzinsung liegt bei 10.000 zu 5 % über zehn Jahre nur noch 0,56 unter der stetigen Zahl, sie als bloß sechste Häufigkeit zu behandeln, wäre hier also praktisch folgenlos — der ganze Unterschied beträgt weniger als eins bei zehntausend. Zu einer wirklich anderen Konvention wird sie dort, wo Zinssätze stetig notiert werden — in der Bewertung von Derivaten ist das häufig der Fall —, und dann ist die Umrechnung in einen jährlich verzinsten Satz vor jedem Vergleich ein Pflichtschritt und keine Höflichkeit.
Berücksichtigt das die Inflation?
Nein. Jede Zahl steht in den Einheiten, die Sie eingegeben haben, ein Endwert von 16.288,95 bedeutet also 16.288,95 nominales Geld zu jenem Datum, und was man dafür kaufen kann, ist eine eigene Frage. Wollen Sie die reale statt der nominalen Lesart, tragen Sie entweder einen realen Zinssatz ein — einen, der die erwartete Inflation bereits abzieht — oder Sie deflationieren das Ergebnis anschließend mit einer Inflationsannahme. Die Seite hindert Sie nicht daran, einen nominalen Zinssatz einzugeben und die Ausgabe als real zu lesen, und genau das ist der häufigste Fehlgriff bei dieser Rechnung.

Quellen

Verwandte Rechner

Barwert-RechnerBarwert eines künftigen Betrags, abgezinst mit Zinssatz.Endwert-RechnerEndwert eines heutigen Betrags bei gegebenem Zinssatz.Zinseszins-RechnerZeigt, wie Ersparnisse mit Zinseszins über die Jahre wachsen.Geldanlage-RechnerWachstum regelmäßiger Einzahlungen über die Zeit.