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Zeitdilatation-Rechner

Bereich: 0 c (Lichtgeschwindigkeit) – 1 c (Lichtgeschwindigkeit)

Ergebnis

11 Stunden 28 Minuten 15 Sekunden

Dilatierte Zeit

Zeitdifferenz
6 Stunden 28 Minuten 15 Sekunden
Lorentz-Faktor
2,2942

Zeitdilatation-Rechner: wie viel Zeit zwischen zwei Ereignissen vergeht, je nachdem, wer die Uhr hält. Die Zeitdilatation ist der Faktor, um den die bewegte Uhr langsamer geht als die ruhende — Δt = γ × Δτ, mit dem Lorentz-Faktor γ = 1 ÷ √(1 − v²/c²). Die Geschwindigkeit wird als Bruchteil der Lichtgeschwindigkeit eingegeben; die Einheit, die im Feld steht, heißt c (Lichtgeschwindigkeit), und der Wert 0,9 bedeutet also 90 Prozent der Lichtgeschwindigkeit. Die Eigenzeit ist die Zeit, die auf der mitgeführten Uhr vergeht. Die Voreinstellung ist eine Stunde Eigenzeit bei halber Lichtgeschwindigkeit, und daraus werden 1,1547 Stunden — ein Effekt von gut neun Minuten, den jedes GPS-System herausrechnen muss. Die Tabelle führt sechs Geschwindigkeiten von 0,1 c bis 0,999999 c und zeigt, warum die Formel zwischen 0,9 c und 0,99 c mehr tut als zwischen 0,1 c und 0,5 c. Die Formel ist keine Näherung, sondern die spezielle Relativitätstheorie in einer Zeile.

Sechs Geschwindigkeiten und der Faktor, den jede mit sich bringt

GeschwindigkeitLorentz-FaktorWo das sichtbar wird
0,1 c1.005Rund 30.000 km/s, und der Faktor ist 1,005 — auf eine Stunde ein Unterschied von 18 Sekunden. So schnell ist kein von Menschen gebautes Objekt; die schnellste je erreichte Sonde kommt auf etwa ein Zweitausendstel davon.
0,5 c1.1547Die Hälfte der Lichtgeschwindigkeit, Faktor 1,1547 — aus einer Stunde werden 1 Stunde 9 Minuten. Der Bereich, den man in Gedankenexperimenten verwendet, weil die Rechnung hier noch im Kopf nachvollziehbar ist.
0,9 c2.2942Faktor 2,2942 — die bewegte Uhr geht weniger als halb so schnell. Myonen aus der kosmischen Strahlung erreichen diesen Bereich, und mit ihm wird die Lebensdauerverlängerung der Grund, warum sie überhaupt bis zum Boden kommen.
0,99 c7.0888Faktor 7,0888 — jeder Tag auf der mitgeführten Uhr entspricht einer Woche zu Hause. Zwischen 0,9 c und 0,99 c verdoppelt sich der Faktor also noch einmal, obwohl die Geschwindigkeit nur um 0,09 c zugenommen hat.
0,999 c22.3663Faktor 22,3663 — eine Stunde werden 22 Stunden. In dieser Größenordnung arbeiten Teilchenbeschleuniger, und hier fällt bereits auf, dass sich das letzte Zehntelprozent Lichtgeschwindigkeit nicht mit demselben Aufwand erkaufen lässt wie die ersten.
0,999999 c707.107Faktor 707,107 — eine Stunde werden 29,46 Tage. Das ist der Betriebsbereich der Myonen in der oberen Atmosphäre und der Grund, warum ihre mittlere Lebensdauer von 2,2 Mikrosekunden von der Erdoberfläche aus auf 1,6 Millisekunden anwächst.

Die mittlere Spalte ist der Lorentz-Faktor, und die Zeilen sind bewusst nicht gleichmäßig verteilt: von 0,1 c auf 0,5 c wächst er nur von 1,005 auf 1,1547, während er sich zwischen 0,9 c und 0,99 c mehr als verdreifacht und auf dem letzten Stück bis 0,999999 c auf 707,107 steigt. Das ist die Gestalt der Funktion und nicht der Auswahl: sie läuft gegen unendlich, je näher die Geschwindigkeit an die Lichtgeschwindigkeit kommt, weshalb die interessanten Werte alle im letzten Promille liegen. Die erste Spalte ist die eingegebene Geschwindigkeit als Bruchteil von c, die dritte nennt je einen Bereich, in dem die Zeile tatsächlich vorkommt — von der Satellitenbahn über die Teilchenbeschleuniger bis zur kosmischen Strahlung. Eine Anzeigeeinzelheit: Die Werte werden nicht auf gleiche Stellen aufgefüllt, sondern so ausgegeben, wie sie berechnet wurden — die erste Zeile zeigt 1.005 und nicht 1.0050, die letzte 707.107 und nicht 707.1070. Die Zahlen gibt der Rechner unverändert aus: Der Dezimaltrenner ist in der Tabelle der Punkt (1.005 statt 1,005), weil die Spaltenwerte aus der Berechnung kommen und nicht aus einer Textvorlage.

Formel

gedehnte Zeit = Lorentz-Faktor × Eigenzeit, wobei der Lorentz-Faktor 1 ÷ √(1 − v²/c²) ist

v
Die Geschwindigkeit als Bruchteil der Lichtgeschwindigkeit — 0,9 heißt 90 Prozent davon. Die Einheit im Feld heißt c (Lichtgeschwindigkeit); der Wert hat also keine Einheit wie km/h, sondern ist das Verhältnis v zu c. Das Feld nimmt alles von 0 bis unter 1 an, und der Rand bei 1 ist nicht aus Vorsicht gezogen: bei v = c steht unter der Wurzel null und der Faktor wäre unendlich, und ein massebehafteter Körper erreicht diesen Wert nicht
Δτ
Die Eigenzeit in Stunden — die Zeit, die auf der Uhr vergeht, die mit dem bewegten Objekt mitfliegt. Sie ist die kürzeste Zeit, die zwischen den beiden Ereignissen überhaupt möglich ist, und deshalb der Ausgangspunkt der Rechnung: alles andere ist diese Zeit mal einem Faktor, der nie unter 1 liegt
γ
Der Lorentz-Faktor, der Kern der ganzen Seite. Bei Geschwindigkeiten des Alltags liegt er so nahe bei 1, dass er in keiner Messung auffällt: bei 900 km/h beträgt er 1,0000000000004. Bei 0,5 c ist er 1,1547, bei 0,9 c schon 2,2942 und bei 0,999999 c 707,107. Er wächst nicht gleichmäßig, sondern läuft gegen unendlich, je näher die Geschwindigkeit an c kommt
Δt
Die gedehnte Zeit in Sekunden — dieselbe Spanne, gemessen von jemandem, der sich nicht mitbewegt. Sie ist immer länger als die Eigenzeit, und wenn beide Beobachter auf ihre eigene Uhr schauen, findet jeder, dass die des anderen langsamer geht. Das ist kein Widerspruch, solange klar bleibt, wer sich bewegt
Δt − Δτ
Der Unterschied der beiden Zeiten in Sekunden. Er ist in der Nähe von Alltagsgeschwindigkeiten null und nicht bloß klein, denn ein γ von 1,0000000000004 ergibt auf eine Stunde gut eine Nanosekunde Differenz. In der Tabelle oben wächst er von rund 36 Sekunden bei 0,5 c auf über 29 Tage bei 0,999999 c — die eine Spalte, in der der Effekt greifbar wird

Diese Seite ist die richtige, wenn gefragt ist, wie stark die Zeit bei einer gegebenen Geschwindigkeit gedehnt wird: die Uhr im Satelliten, die Myonen in der oberen Atmosphäre, ein Gedankenexperiment zum Zwillingsparadoxon, oder die Frage, was auf einer Reise mit halber Lichtgeschwindigkeit aus einem Jahr würde. Sie ist auch die Seite für den Fall, dass die Antwort überrascht — bei 0,5 c sind es nur 15 Prozent, bei 0,9 c schon mehr als das Doppelte, und bei 0,99 c steigt der Faktor auf über 7. Diese Form der Kurve ist der eigentliche Inhalt der Relativitätstheorie: der praktische Alltag liegt so dicht bei γ = 1, dass die Effekte bis in die Satellitennavigation hinein unsichtbar bleiben, und alles Interessante liegt im letzten Promille vor Lichtgeschwindigkeit. Wer nur den Kontraktionsfaktor für Längen braucht, nimmt denselben γ. Wer wissen will, ob die Bewegung selbst möglich ist — welche Energie eine Masse auf 0,9 c zu bringen verlangt —, braucht die Energie- und keine Zeitrechnung, und dafür gibt es die Seite zur kinetischen Energie.

Rechenbeispiele

  1. Fünf Stunden bei 0,9 c

    1. Geschwindigkeit 0,9 c, Eigenzeit 5 Stunden
    2. v²/c² = 0,81, also ist 1 − 0,81 = 0,19
    3. Lorentz-Faktor: γ = 1 ÷ √0,19 = 2,2942
    4. Gedehnte Zeit: 2,2942 × 5 h = 11,471 h, in Sekunden 41.295 s
    5. Unterschied: 41.295 − 18.000 = 23.295 s

    Der Sprung von der halben auf die neunfache Zehntel-Lichtgeschwindigkeit ist der Punkt dieser Seite: der Faktor geht von 1,1547 auf 2,2942, also auf das Doppelte, obwohl die Geschwindigkeit nur um 0,4 c gestiegen ist. Fünf Stunden auf der mitgeführten Uhr werden zu 11 Stunden 28 Minuten auf der Erde, und die 6 Stunden 28 Minuten dazwischen sind die Menge, um die es bei allem geht, was mit relativistischen Teilchen zu tun hat. Das nächste Beispiel rechnet dieselbe Stunde bei 0,5 c und kommt auf 557 Sekunden Unterschied statt auf 23.295 — pro Stunde also rund das Achtfache, und das bei weniger als der doppelten Geschwindigkeit.

  2. Eine Stunde Eigenzeit bei halber Lichtgeschwindigkeit

    1. Geschwindigkeit 0,5 c, Eigenzeit 1 Stunde
    2. v²/c² = 0,25, also ist 1 − 0,25 = 0,75
    3. Lorentz-Faktor: γ = 1 ÷ √0,75 = 1,1547
    4. Gedehnte Zeit: 1,1547 × 1 h = 1,1547 h, in Sekunden 4.157 s
    5. Unterschied: 4.157 − 3.600 = 557 s

    Der Faktor ist die ganze Antwort und die Rechnung daneben ist nur die Probe: bei halber Lichtgeschwindigkeit gehen die Uhren um 15 Prozent langsamer, aus einer Stunde werden also 1 Stunde 9 Minuten 17 Sekunden. Bemerkenswert ist, wie wenig das ist. Die halbe Lichtgeschwindigkeit klingt nach einer Reise ins Science-Fiction, und der beobachtete Effekt liegt in der Größenordnung eines verspäteten Busses. Das ist die Gestalt der Formel: der Faktor ist bis etwa 0,3 c von 1 nicht zu unterscheiden, und erst jenseits von 0,9 c wächst er in Größenordnungen. Wer den Unterschied greifbar haben will, rechnet jede Größenordnung auf dieser Seite nach, und die zweite Zeile der Tabelle steht daneben.

  3. Eine Stunde bei 0,999999 c

    1. Geschwindigkeit 0,999999 c, Eigenzeit 1 Stunde
    2. v²/c² = 0,999998000001, also ist 1 − v²/c² = 0,000001999999
    3. Quadratwurzel daraus: 0,0014142132
    4. Lorentz-Faktor: 1 ÷ 0,0014142132 = 707,107
    5. Gedehnte Zeit: 707,107 × 3.600 s = 2.545.585 s, also 29,46 Tage
    6. Unterschied: 2.545.585 − 3.600 = 2.541.985 s

    Sechs Neunen in der Geschwindigkeit, und eine Stunde wird zu knapp 29 Tagen — der Faktor liegt bei 707. Das ist mehr als eine Rechnung: es ist der Betriebszustand jedes Teilchenbeschleunigers. Ein Myon hat eine mittlere Lebensdauer von rund 2,2 Mikrosekunden; mit 0,999999 c kommt es damit rechnerisch nur etwa 660 Meter weit, und trotzdem werden Myonen aus der oberen Atmosphäre, die 10 Kilometer und mehr über dem Boden entstehen, massenhaft am Boden nachgewiesen. Der Grund ist genau diese Zeile: aus der Eigenzeit von 2,2 Mikrosekunden werden im Erdsystem rund 1,6 Millisekunden, und in denen ist die Strecke zurückzulegen.

  4. Der Kontrollfall: Geschwindigkeit null

    1. Geschwindigkeit 0 c, Eigenzeit 1 Stunde
    2. v²/c² = 0, also ist 1 − 0 = 1
    3. Lorentz-Faktor: γ = 1 ÷ √1 = 1
    4. Gedehnte Zeit: 1 × 3.600 s = 3.600 s, also genau 1 Stunde
    5. Unterschied: 0 s, und zwar exakt

    Ein Fall, der nichts tut, und deshalb der erste, den man rechnen sollte, weil er die Formel an der Stelle prüft, an der sie sich zu nichts vereinfachen muss. Der Lorentz-Faktor ist hier exakt 1 und nicht bloß auf viele Stellen 1, und der Unterschied ist exakt null: beide Uhren gehen gleich, und das ist die Aussage, dass die Relativitätstheorie den ruhenden Beobachter nicht verändert, sondern nur den bewegten. Es ist zugleich die Antwort auf die Frage, ob der Effekt am Ende eine Rundungssache ist: bei 0 c ist er null, und je größer die Geschwindigkeit wird, desto mehr verlässt er den Bereich, in dem man ihn einer Messgenauigkeit zuschreiben könnte.

Einschränkungen

Die Geschwindigkeit wird als geradlinige und gleichförmige Bewegung angenommen; die allgemeine Relativitätstheorie, in der auch Gravitation und Beschleunigung die Zeit beeinflussen, liegt außerhalb dieser Seite. Wer sich beschleunigt auf und davon begibt, muss für die Beschleunigungsphasen eine andere Rechnung führen, und für Satellitenuhren sind beide Effekte zusammenzunehmen: die Zeitdilatation aus der Geschwindigkeit allein beschreibt die Uhr im Orbit nicht vollständig. Die Formel setzt außerdem voraus, dass sich das mitgeführte Objekt geradlinig und mit konstanter Geschwindigkeit bewegt und nach der Messung zurückkommt oder verglichen wird, denn ohne einen Vergleich der beiden Uhren gibt es nichts zu vergleichen: die Aussage, dass die bewegte Uhr langsamer läuft, wird erst dadurch prüfbar, dass jemand zurückkommt. Die Symmetrie der beiden Beobachtungen — jeder sieht die Uhr des anderen langsamer gehen — wird dadurch aufgelöst und nicht durch die Rechnung selbst. Und der Faktor beschreibt eine Uhr in einem flachen Raum ohne Gravitation: nahe einem sehr massereichen Körper kommen die Effekte der allgemeinen Relativitätstheorie hinzu, die hier nicht enthalten sind.

Häufige Fragen

Wie lautet die Formel für die Zeitdilatation?
Δt = γ × Δτ, wobei γ der Lorentz-Faktor 1 ÷ √(1 − v²/c²) ist. Δτ ist die Eigenzeit, also die Zeit auf der Uhr, die mit dem bewegten Objekt mitfliegt, und Δt ist dieselbe Spanne, gemessen von jemandem, der sich nicht mitbewegt. Bei halber Lichtgeschwindigkeit ist γ = 1,1547, aus einer Stunde werden also 1,1547 Stunden. Der Faktor ist immer größer oder gleich 1, die bewegte Uhr geht also langsamer und niemals schneller.
Warum wird die Geschwindigkeit als Bruchteil der Lichtgeschwindigkeit eingegeben?
Weil in der Formel nur das Verhältnis v zu c vorkommt, und die Einheit im Feld heißt entsprechend c (Lichtgeschwindigkeit): der Wert 0,9 bedeutet 90 Prozent der Lichtgeschwindigkeit. Wer stattdessen mit km/h rechnen wollte, müsste erst durch 1.079.252.849 teilen, denn das sind 299.792.458 m/s in km/h — eine Umrechnung, die nichts zur Physik beiträgt und nur Stellen kostet. Der Rand bei 1 ist keine Einschränkung der Anzeige: bei v = c steht unter der Wurzel null und der Faktor wäre unendlich, und ein massebehafteter Körper erreicht diesen Wert nicht.
Wie stark ist die Zeitdilatation bei Alltagsgeschwindigkeiten?
Praktisch gar nicht. Bei 900 km/h, also 0,25 km/s, liegt der Lorentz-Faktor bei 1,0000000000004, was auf eine Stunde Flugzeit rund eine Nanosekunde Unterschied ergibt. Bei der Bahngeschwindigkeit der Internationalen Raumstation von 7,66 km/s sind es auf einen Tag etwa 27 Mikrosekunden — und dieser Betrag ist trotzdem unverzichtbar: ohne die Rechnung würde die Positionsbestimmung eines GPS-Empfängers schon nach wenigen Minuten um Kilometer wegdriften. Die Größenordnung wird erst interessant, wenn der Bruchteil einen nennenswerten Anteil an 1 erreicht.
Was bedeutet Eigenzeit?
Die Eigenzeit ist die Zeit, die auf der Uhr vergeht, die mit dem bewegten Objekt mitfliegt — also die kürzeste Zeit, die zwischen den beiden Ereignissen überhaupt möglich ist. In der Formel ist sie Δτ, die gedehnte Zeit Δt ist immer das γ-Fache davon. Für einen Reisenden mit 0,9 c ist eine Stunde Eigenzeit tatsächlich eine Stunde: er merkt nichts von der Dehnung, und nur der Vergleich mit der Uhr zu Hause zeigt, dass dort mehr Zeit vergangen ist. Genau darin liegt das Zwillingsparadoxon.
Ist die Zeitdilatation nur eine Rechengröße oder real?
Sie ist real und gemessen. Das bekannteste Beispiel sind Myonen, die in der oberen Atmosphäre entstehen: ihre mittlere Lebensdauer von 2,2 Mikrosekunden ließe sie nur etwa 660 Meter weit kommen, und trotzdem werden sie am Boden in großer Zahl nachgewiesen. Ihre Eigenzeit wird bei 0,999999 c um den Faktor 707 gedehnt, das sind im Erdsystem rund 1,6 Millisekunden — genug für die 10 Kilometer bis zum Boden. Der Effekt ist dieselbe Rechnung in beiden Blickrichtungen: im Myonensystem ist es die Strecke, die sich verkürzt, und beide Beschreibungen liefern dasselbe Ergebnis.

Quellen

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