E = mc²-Rechner

E = m × c² c = 299.792.458 m/s (exakt, per Definition) 1 Kilowattstunde = 3,6 × 10⁶ J 1 Kilotonne TNT = 4,184 × 10¹² J

m

Masse in Gramm — das Feld nimmt auch Kilogramm, Tonnen und Pfund, und Gramm ist die Voreinstellung, weil das eine Gramm der Fall ist, nach dem alle fragen

c

Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, exakt 299.792.458 m/s. Seit 1983 ist das ein festgelegter Wert und keine Messung: Das Meter ist als die Strecke definiert, die das Licht in 1/299.792.458 Sekunde zurücklegt, c hat also überhaupt keine Unsicherheit — und damit auch nichts, was daraus berechnet wird

E

Die freigesetzte Energie, angegeben in Terajoule, Joule, Kilowattstunden und Kilotonnen TNT. Die Joule sind die rohe Antwort; die anderen drei sind dieselbe Größe in Einheiten, unter denen man sich etwas vorstellen kann — eine Stromrechnung, ein Kraftwerk, eine Nachrichtensendung

Diese Seite ist dafür da, ein Gefühl für die Größenordnung der Masse-Energie zu bekommen: wie viel ein Gramm hergäbe, wenn es vollständig umgewandelt würde, welchen Bruchteil davon ein Kernreaktor oder eine chemische Reaktion tatsächlich herausholt, warum der Massendefekt bei der Kernspaltung klein, aber nicht vernachlässigbar ist, oder wie viel Brennstoff ein gegebener Energiebedarf wirklich bedeutet. Sie ist auch die Seite, um Streitigkeiten zu klären — die Gleichung wird ständig zitiert, fast immer mit falschen Einheiten oder mit dem Eindruck, ein Kilogramm beliebiger Materie setze im Kraftwerk 9 × 10¹⁶ Joule frei. Dieser Rechner liefert die theoretische Obergrenze; die interessante Frage ist in der Praxis immer, welchen Bruchteil davon ein realer Vorgang erreicht, und die Antwort reicht von einem Zehnmilliardstel beim Verbrennen von Benzin bis zu etwa einem Tausendstel bei der Kernspaltung. Zwei Gewohnheiten machen die Ausgabe brauchbar. Erstens: Lesen Sie die Kilotonnen-Zeile, wenn Sie an Explosionen denken, und die Kilowattstunden-Zeile, wenn Sie an Strom denken — die Joule sind zu groß, um ein Gefühl für sie zu haben. Zweitens: Die Masse ist hier die Masse, die verschwindet; bei einer realen Reaktion ist das die Differenz zwischen der Masse des Brennstoffs und der Masse alles Übrigen, nicht die Masse des Brennstoffs.

1. Ein Gramm Materie

   1. Masse: 1 g = 0,001 kg (gerechnet wird in SI-Einheiten)
   2. Energie: 0,001 × 299.792.458² = 8,9875517873681776 × 10¹³ J
   3. In der Haupteinheit: 89.875.517.873.682 J = 89,876 TJ
   4. Als Strom: 89.875.517.873.682 ÷ (3,6 × 10⁶) = 24.965.421,6 kWh, also 25 Gigawattstunden
   5. Als TNT: 89.875.517.873.682 ÷ (4,184 × 10¹²) = 21,481 Kilotonnen

   Das ist die Zahl, für die die Gleichung zitiert wird, und die TNT-Zeile ist die, die sie greifbar macht: 21,5 Kilotonnen gegen die 15 Kilotonnen der Hiroshima-Bombe, ein Gramm Materie ist also eine größere Explosion als die erste, die über einer Stadt gezündet wurde. Die Stromzeile sagt dasselbe in einer anderen Währung — 25 Gigawattstunden sind ungefähr das, was ein großes Kraftwerk an einem Tag erzeugt, und zwar aus einem Gramm. Lesen Sie auch die Joule: 89.875.517.873.682 sind vierzehn Stellen, und die Seite zeigt sie absichtlich alle, denn wer 9,0 × 10¹³ schreibt, versteckt genau das, wofür die Gleichung berühmt ist.

2. Ein Kilogramm, die üblicherweise zitierte Zahl

   1. Geändert hat sich nur die Masse: 1.000 g statt 1 g, also der Faktor tausend
   2. Energie: 89.875.517.873.682 × 1.000 = 8,987551787368176 × 10¹⁶ J
   3. In der Haupteinheit: 89.875,518 TJ
   4. Als Strom: 24.965.421.631,6 kWh, also 25 Terawattstunden
   5. Als TNT: 21.480,764 Kilotonnen, das sind 21,5 Megatonnen

   21,5 Megatonnen ist die Zahl, die in jedem Lehrbuch und in jeder schlechten Debatte über Kernwaffen auftaucht, und es lohnt sich, genau zu sein, was sie bedeutet. Es ist nicht das, was ein Kilogramm Uran in einem Reaktor tut — dabei werden etwa 8 × 10¹³ J frei, ein Tausendstel davon —, und es ist erst recht nicht das, was ein Kilogramm Benzin tut, das bei rund 4,6 × 10⁷ J liegt, also um den Faktor zwei Milliarden daneben. Es ist das, was herauskommt, wenn das ganze Kilogramm umgewandelt wird, und das geschieht in der Praxis nur, wenn Materie auf Antimaterie trifft. Vergleichen Sie diese Zeile mit der darüber, und Sie haben die ganze Gleichung: Die Masse wurde tausendmal größer und jede Energie wurde tausendmal größer, weil c² schlicht eine Konstante ist.

3. Ein Pfund, für Leser mit angloamerikanischen Einheiten

   1. 1 lb = 453,59237 g (das Feld nimmt Gramm entgegen, und das Pfund ist exakt über das Kilogramm definiert)
   2. Energie: 0,45359237 × 299.792.458² = 4,076684915730068 × 10¹⁶ J
   3. In der Haupteinheit: 40.766,849 TJ
   4. Als Strom: 11.324.124.765,9 kWh, also 11,3 Terawattstunden
   5. Als TNT: 9.743,511 Kilotonnen, also 9,7 Megatonnen

   Ein Pfund beliebiger Materie, vollständig umgewandelt, ergibt knapp zehn Megatonnen — etwas weniger als die Hälfte der Kilogramm-Zeile, was zu erwarten ist, wenn das Pfund etwas weniger als ein halbes Kilogramm ist. Die Zeile steht hier, weil das Pfund exakt über das Kilogramm definiert ist, diese Umrechnung also exakt und nicht gerundet ist, und weil sie der schnellste Weg ist, eine in angloamerikanischen Einheiten zitierte Zahl zu prüfen. Nichts davon hängt davon ab, aus welchem Stoff das Pfund besteht; die Gleichung enthält überhaupt keine Chemie.

Diese Seite rechnet die vollständige Umwandlung von Masse in Energie, und nichts in der gewöhnlichen Erfahrung tut das. Beim Verbrennen von Benzin wird etwa ein Zehnmilliardstel der Masse umgesetzt, bei der Kernspaltung rund ein Tausendstel, bei der Kernfusion in der Sonne etwa sieben Tausendstel. All das sind reale Vorgänge, und alle bleiben weit unter der Zahl, die diese Seite ausgibt; die ist eine Obergrenze und keine Vorhersage. Die TNT-Äquivalenz verwendet einen festgelegten Wert, 4,184 × 10⁹ Joule je Tonne, vereinbart 1948 mit der Fixierung der thermochemischen Kalorie — reale Sprengstoffe setzen je Tonne etwas weniger frei, weil nicht das gesamte Material reagiert und die Druckwelle Arbeit an der Luft verrichtet statt am Ziel. Die Kilowattstunden-Zeile ist eine Einheitenumrechnung und sonst nichts; sie bedeutet nicht, dass ein Kraftwerk so viel aus einem Gramm holen kann, sondern nur, dass diese vielen Joule dieser vielen Kilowattstunden entsprechen. Eine Anzeigegrenze ist erwähnenswert: Unterhalb von etwa 5,5 Mikrogramm rundet die Terajoule-Zeile auf 0,000, für winzige Massen liest man also besser die Joule-Zeile — die Energie ist noch da, sie ist nur unter die dritte Dezimalstelle einer Einheit gefallen, die für Gramm und Kilogramm gewählt wurde. Nichts hier ist in dem Sinn relativistisch, dass es vom Bezugssystem abhinge; c² ist eine Konstante und die Gleichung gilt in jedem System, aber die Bewegungsenergie eines fliegenden Körpers ist nicht diese Formel, und bei Geschwindigkeiten nahe c ist die Gesamtenergie eines Körpers um den Lorentz-Faktor größer als mc².

Was berechnet E = mc² eigentlich?

Die Energie, die einer Masse entspricht: Man multipliziert die Masse in Kilogramm mit dem Quadrat der Lichtgeschwindigkeit, 299.792.458 m/s. Ein Gramm ergibt 0,001 × 299.792.458² = 8,99 × 10¹³ Joule, das sind 89,9 Terajoule oder 21,5 Kilotonnen TNT. Es ist die gesamte in der Masse gebundene Energie und nicht die Energie, die ein bestimmter Vorgang freisetzt — dazu steht unten, welchen Bruchteil reale Reaktionen herausholen.

Warum wird die Lichtgeschwindigkeit quadriert?

Weil die Herleitung das so ergibt, und der Grund für die Größe ist, dass c selbst groß ist und das Quadrat es noch größer macht: 299.792.458² ist rund 9 × 10¹⁶. In der Originalarbeit von 1905 steht die Gleichung als m = E/c², was natürlicher zu lesen ist — die Trägheit eines Körpers ist seine Energie geteilt durch c², und da c² riesig ist, entspricht eine kleine Masse einer ungeheuren Energie.

Wie viel dieser Energie holt ein Kernreaktor tatsächlich heraus?

Etwa ein Tausendstel. Bei der Kernspaltung werden rund 0,1 Prozent der Brennstoffmasse in Energie umgesetzt, ein Kilogramm Uran setzt also etwa 8 × 10¹³ Joule frei statt der 9 × 10¹⁶, die diese Seite ausgibt — immer noch millionenfach mehr als das Verbrennen derselben Masse Kohle. Die Kernfusion ist besser, bei etwa 0,7 Prozent, und deshalb reicht der Brennstoff der Sonne so lange. Chemische Reaktionen liegen weit dahinter: Beim Verbrennen von Benzin wird etwa ein Zehnmilliardstel der Masse umgesetzt.

Warum Kilotonnen TNT und nicht Joule?

Weil niemand ein Gefühl für 9 × 10¹³ Joule hat. Eine Kilotonne TNT ist als 4,184 × 10¹² Joule definiert, die Umrechnung ist also exakt, und es ist zufällig die Einheit, die Nachrichtenmeldungen für Explosionen verwenden: Ein Gramm Materie ergibt 21,5 Kilotonnen, gegen rund 15 Kilotonnen bei der Hiroshima-Bombe. Die Joule-Zeile steht trotzdem da, in voller Länge, weil die Größe dieser Zahl der Punkt der Gleichung ist.

Ist die Masse in der Gleichung die Masse des Brennstoffs?

Bei einer realen Reaktion nicht — es ist die Masse, die verschwindet, also die Masse des Brennstoffs minus der Masse alles Übrigen. Bei der Kernspaltung beträgt diese Differenz etwa 0,1 Prozent des Brennstoffs, und dieser Bruchteil wird zu Energie. Diese Seite nimmt die eingetippte Masse als vollständig umgewandelt an, was die Obergrenze ist und nicht das, was ein Reaktor erreicht; wer die Energie eines echten Brennstoffs will, nimmt den Massendefekt und nicht die Brennstoffmasse.

Warum zeigt die Terajoule-Zeile bei sehr kleinen Massen 0,000?

Weil das Terajoule eine sehr große Einheit ist und die Zeile auf drei Dezimalstellen angezeigt wird. Unterhalb von etwa 5,5 Mikrogramm liegt das Ergebnis unter 0,0005 TJ und rundet auf null. Die Energie ist nicht verschwunden — lesen Sie stattdessen die Joule-Zeile, in der ein Mikrogramm mit 89,9 Millionen Joule noch deutlich sichtbar ist, ungefähr die Energie in zweieinhalb Litern Benzin.

• Mass–energy equivalence — the derivation, the mass defect in fission and fusion, and the fractions of rest mass that real processes actually convert — Wikipedia
• TNT equivalent — the 4.184 × 10⁹ J per tonne convention, its origin in the thermochemical calorie, and why real explosives fall short of it — Wikipedia
• NIST Guide to the SI — the metre as defined by the speed of light, and the exact kilogram, pound and joule factors used above — National Institute of Standards and Technology