Folgen-Rechner

arithmetisch — a(n) = a(1) + (n − 1) * d S(n) = n * (a(1) + a(n)) / 2 geometrisch — a(n) = a(1) * r^(n − 1) S(n) = a(1) * (r^n − 1) / (r − 1) außer bei r = 1, dort S(n) = n * a(1)

n

Das wievielte Glied gefragt ist, gezählt ab 1. Es ist zugleich die Anzahl der Glieder in der Summe, und deshalb beantwortet ein einziges Feld beide Fragen. Das zehnte Glied wird als a(10) geschrieben, die Summe der ersten zehn als S(10). Die Ergebniszeile dafür heißt n-ter Term — gemeint ist dasselbe n-te Glied der Folge; die Eingabefelder sprechen ihrerseits von Gliedern.

a(1)

Das erste Glied, die eine Stelle, an der die Folge beginnt. Alles Weitere wird daraus hergeleitet, ein negatives erstes Glied dreht deshalb bei einer geometrischen Folge das Vorzeichen jedes geradzahligen Glieds um, und bei einer arithmetischen beginnt die Folge einfach weiter unten.

d

Die konstante Differenz, gebraucht bei arithmetischen Folgen: der Betrag, der in jedem Schritt addiert wird. Sie darf negativ sein, dann fällt die Folge, oder null, dann ist jedes Glied das erste — dieser letzte Fall ist der Grund, warum die gedruckte Formel zu etwas wie a(n) = 6 zusammenfällt.

r

Das konstante Verhältnis, gebraucht bei geometrischen Folgen: die Zahl, mit der jedes Glied multipliziert wird. Ein Verhältnis zwischen 0 und 1 lässt die Glieder gegen null schrumpfen, ein negatives lässt sie das Vorzeichen abwechseln, und ein Verhältnis von genau 1 macht jedes Glied gleich dem ersten.

S(n)

Die Summe der ersten n Glieder — dieser Folge und keiner weiteren. Bei einer arithmetischen Folge ist sie das Mittel aus erstem und letztem Glied mal n, also der Paartrick, den Gauß der Überlieferung nach auf 1 + 2 + … + 100 angewandt hat. Sie ist niemals die Summe einer unendlichen Reihe: Erhöht man n, wächst der Gesamtbetrag immer weiter.

Man nimmt die Seite, wenn eine Größe nach einer festen Regel wächst oder schrumpft und ein Wert weit hinten in der Liste gebraucht wird — der Kontostand nach dreißig Jahren gleichbleibender Einzahlung, die Höhe nach dem zwanzigsten Sprung, die insgesamt zurückgelegte Strecke, wenn jeder Schritt ein fester Bruchteil des vorigen ist. Die beiden Felder, die alles entscheiden, sind der Schritt und sein Vorzeichen; die nützliche Gewohnheit ist deshalb, die ersten drei Glieder mit der Hand auszurechnen und gegen die Referenztabelle unten zu halten.

1. 3, 7, 11, … — das zehnte Glied und die Summe der ersten zehn

   1. Der Schritt ist 4, die Glieder lauten also 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39
   2. Das zehnte Glied ist 3 + 9 × 4 = 39
   3. Die Glieder von außen nach innen paaren: 3 + 39 = 42, 7 + 35 = 42, 11 + 31 = 42 und so weiter
   4. Es gibt fünf solche Paare, jedes ergibt 42
   5. 5 × 42 = 210

   Das Paaren ist die ganze Summenformel: Bei n Gliedern ist das Mittel aus erstem und letztem (3 + 39) ÷ 2 = 21, und 21 × 10 ergibt dieselben 210. Die Formel neben der Antwort ist die Regel und nicht diese bestimmte Folge — a(n) = 3 + 4(n − 1) baut jedes Glied allein aus n wieder auf, n = 1 gibt also 3 zurück und n = 10 gibt 39, ohne dass etwas aufgezählt werden müsste.

2. 8, 4, 2, 1, 0,5 — eine geometrische Folge, die schrumpft

   1. Das Verhältnis ist 0,5, jedes Glied ist also halb so groß wie das vorige: 8, 4, 2, 1, 0,5
   2. Das fünfte Glied ist 8 × 0,5⁴ = 8 × 0,0625 = 0,5
   3. Addieren: 8 + 4 + 2 + 1 + 0,5 = 15,5

   Die Summe einer schrumpfenden geometrischen Folge nähert sich der 16, erreicht sie aber nie — 8 ÷ (1 − 0,5). Diese Seite liefert die Summe der fünf Glieder, nach denen gefragt wurde, also 15,5 und nicht jenen Grenzwert, und genau dieser Unterschied ist der Grund, warum die Anzahl der Glieder eine Eingabe ist.

3. 1 + 2 + … + 1000, wo die Formel dem Addieren überlegen ist

   1. Der Schritt ist 1, das tausendste Glied ist also 1 + 999 = 1.000
   2. Das erste mit dem letzten paaren: 1 + 1.000 = 1.001
   3. Es gibt 500 solche Paare, denn 1.000 Glieder ergeben 500 Paare
   4. 500 × 1.001 = 500.500

   Hier muss nichts mehr ausgeschrieben werden, und das ist der Sinn einer Summenformel — dieselben drei Felder beantworteten die Frage auch für eine Million Glieder, wenn n so weit reichte. Das ist die Rechnung, die Gauß der Überlieferung nach als Strafarbeit bekommen hat, und das Paaren oben ist das, was er stattdessen getan haben soll.

Nur zwei Arten von Folgen: die arithmetische, bei der der Schritt addiert wird, und die geometrische, bei der er multipliziert wird. Alles andere — Quadratzahlen, Kuben, Fibonacci, eine Folge, die durch ihre beiden eigenen Vorgänger festgelegt ist — hat hier keine Regel zum Eintragen und braucht ein eigenes Werkzeug. Die Anzahl der Glieder muss eine ganze Zahl von 1 bis 1.000 sein; eine gebrochene oder negative Anzahl wird abgewiesen und nicht gerundet, denn 2,5 Glieder sind keine Größe, für die es eine Antwort gäbe. Der Gesamtbetrag ist immer nur die Summe der ersten n Glieder und nie die einer unendlichen Reihe, bei einem Verhältnis unter 1 kriecht die laufende Summe also immer näher an ihren Grenzwert heran, ohne ihn zu erreichen. Antworten werden auf sechs Nachkommastellen gerundet, und eine geometrische Folge kann die Arithmetik lange vor dem oberen Ende von n überlaufen lassen — ein Verhältnis von 10 erreicht bei n = 300 bereits die Größenordnung 10 hoch 300, und ein paar hundert Glieder weiter geht die Rechnung über den größten Wert hinaus, den die Arithmetik halten kann; dieser Fall wird als fehlgeschlagene Rechnung gemeldet und nicht als unendlich. Die Seite beantwortet zwei der vier Fragen, die eine Folge aufwirft: wie das n-te Glied lautet und was die ersten n zusammen ergeben. Den umgekehrten Weg geht sie nicht — aus zwei Gliedern die Regel zurückgewinnen, aus einer Summe das n —, und Einheiten druckt sie keine, weil eine Folge eine Liste von Zahlen ist.

Worin unterscheiden sich das n-te Glied und die Summe?

Das n-te Glied ist eine einzige Zahl — die, die an der Stelle n steht; bei 3, 7, 11, … ist das für n = 10 die 39. Die Summe ist alles bis dorthin addiert, bei derselben Folge also 210. Sie stehen als zwei getrennte Zeilen da, weil sie zwei verschiedene Fragen beantworten und weil die Summe meistens die ist, die man haben will: ein Kontostand, eine Gesamtstrecke, ein aufgelaufener Zähler.

Woher kommt die Summenformel?

Vom Paaren der Glieder von außen nach innen. Bei 3, 7, 11, … addieren sich das erste und das letzte der ersten zehn Glieder zu 42, und jedes weitere solche Paar ebenfalls, zehn Glieder ergeben also fünf Paare zu 42 — 210. Allgemein geschrieben ist das n mal das Mittel aus erstem und letztem Glied, n * (a(1) + a(n)) / 2. Die geometrische Summe hat eine andere Herleitung und eine andere Gestalt, deshalb werden die beiden getrennt gedruckt.

Darf der Schritt negativ, null oder ein Bruch sein?

Alles drei. Eine negative konstante Differenz ergibt eine fallende Folge wie 100, 93, 86, …, ein negatives konstantes Verhältnis eine, die das Vorzeichen abwechselt, etwa 1, −1, 1, −1. Ein Verhältnis von 0,5 ergibt die schrumpfende Folge aus dem zweiten Beispiel. Die beiden Fälle, die einen zweiten Blick brauchen, sind die Differenz null und das Verhältnis eins: Dort ist jedes Glied gleich dem ersten, und die gedruckte Formel kürzt sich zu Recht auf etwas wie a(n) = 6.

Ist die Summe der Gesamtbetrag der ganzen unendlichen Folge?

Nein — sie ist die Summe der ersten n Glieder, wobei n die eingegebene Anzahl ist. Der Unterschied zeigt sich nur bei einer schrumpfenden geometrischen Folge, deren laufende Summe sich einem Grenzwert nähert (16 bei 8, 4, 2, 1, 0,5, …), ohne ihn je zu erreichen. Manchmal ist genau dieser Grenzwert gesucht, also die Summe einer unendlichen geometrischen Reihe — eine andere Rechnung mit einer anderen Formel.

Wie viele Glieder kann ich abfragen?

Jede ganze Zahl von 1 bis 1.000. Die Obergrenze ist nicht willkürlich: Eine geometrische Folge mit dem Verhältnis 10 erreicht bei n = 300 die Größenordnung 10 hoch 300, und ein paar hundert Glieder weiter ginge die Rechnung über den größten Wert hinaus, den die Arithmetik halten kann. Dieser Fall wird als fehlgeschlagene Rechnung gemeldet und nicht als unendlich, man bekommt also eine Meldung statt einer still falschen Antwort.

Warum druckt die Formel a(n) statt a mit einem Index?

Weil a(n) in jeder Sprache und jeder Schriftart gelesen werden kann, das Indexzeichen dagegen nicht — auf manchen Systemen erscheint es als leeres Kästchen. Der Rest der Schreibweise ist die übliche: ^ für eine Potenz, * für die Multiplikation und Klammern um ein negatives Verhältnis, die alternierende Folge liest sich also als a(n) = (-1)^(n − 1) und nicht als etwas, das wie −1 hoch n − 1 mit dem Minus außerhalb aussieht.

• Arithmetic progression — the rule, the nth-term formula and the sum used on this page — Wolfram MathWorld (United States)
• Geometric progression — the same three questions when the step is a multiplier rather than an addend — Wolfram MathWorld (United States)
• OEIS A000217, the triangular numbers — 1, 3, 6, 10, … the running totals of 1 + 2 + … + n, which is the third example on this page — OEIS Foundation (United States)
• Arithmetische Folgen — Differenz und Gliedformel, mit Beispielen und Aufgaben — Serlo
• Geometrische Folgen — das konstante Verhältnis und die Formel für das n-te Glied — Serlo