Fakultäts-Rechner

n! = 1 × 2 × … × n Stellen = ⌊log₁₀(n!)⌋ + 1 abschließende Nullen = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + …

n

Die Zahl, deren Fakultät gesucht ist: eine ganze Zahl von 0 bis 170. Sie ist zugleich die Anzahl der Faktoren, denn das Produkt läuft von 1 bis n. Die Obergrenze ist keine Anzeigefrage — 171 Fakultät übersteigt den größten Wert, den ein double darstellen kann, für alles oberhalb von 170 gibt es also keine Antwort.

n!

Die Fakultät selbst, das Produkt aller ganzen Zahlen von 1 bis n. Sie wächst schneller als exponentiell: Die Fakultät von 5 ist 120, die von 10 schon 3.628.800. Sobald der Wert eine Million überschreitet, wird die Antwort in wissenschaftlicher Schreibweise gedruckt, weil das den Betrag lesbar hält, ohne hundert Ziffern auszuschreiben.

Stellen

Wie viele Dezimalstellen die Fakultät hat. Sie wird durch das Addieren von Logarithmen berechnet und nicht durch das Abzählen der Zeichen eines gedruckten Wertes, sie bleibt deshalb auch am oberen Ende des Bereichs richtig, wo der gedruckte Wert nur sieben signifikante Ziffern trägt.

abschließende Nullen

Wie viele Nullen am Ende der Fakultät stehen. Jede abschließende Null braucht einen Faktor 10, und der braucht eine 2 und eine 5; Zweien kommen in einer Fakultät weit häufiger vor als Fünfen, die Anzahl wird also allein von den Fünfen entschieden — jede Zahl, die ein Vielfaches von 5, von 25, von 125 und so weiter ist, steuert eine weitere bei.

Greifen Sie hier zu, wenn der Wert selbst die Antwort ist: die Anzahl der Anordnungen einer ganzen Menge, ein Glied einer Folge oder die Größe eines Produkts. Um r aus n auszuwählen, teilen die Rechner für Kombinationen und Permutationen eine Fakultät durch eine andere, statt zu multiplizieren.

1. Die Fakultät von 5

   1. Aufwärts multiplizieren: 1 × 2 = 2
   2. 2 × 3 = 6
   3. 6 × 4 = 24
   4. 24 × 5 = 120
   5. 120 hat drei Zeichen und endet auf eine Null, die beiden Angaben lauten also 3 und 1

   Der kleinste Fall, in dem sich alle drei Angaben mit dem Auge prüfen lassen. Das Produkt ist kurz genug, um es vollständig zu lesen, und die Anzahl der Stellen wie die abschließenden Nullen sind beide daran abzulesen — genau deshalb öffnet die Seite mit diesem Wert.

2. Wo die Anzeige in die wissenschaftliche Schreibweise kippt

   1. Von 1 bis 20 durchmultiplizieren, das ergibt exakt 2.432.902.008.176.640.000
   2. Das sind neunzehn Stellen, die Stellenangabe lautet also 19
   3. Vier dieser Stellen sind Nullen am Ende, dafür sorgen die Fünfen in 5, 10, 15 und 20
   4. Die Anzeige druckt das Produkt als 2,432902 × 10¹⁸ und nicht als vollständige neunzehnstellige Zahl

   Der Punkt, an dem der gedruckte Wert aufhört, der exakte Wert zu sein. Die gezeigten Ziffern sind die führenden sieben signifikanten Stellen derselben Zahl, die die beiden anderen Angaben beschreiben — die drei Ausgaben stimmen also überein, obwohl nur eine von ihnen kurz genug zum Drucken ist. Solange der Wert unter einer Million bleibt, druckt die Anzeige dagegen die vollständige Zahl.

3. In wie vielen Nullen die Fakultät von 100 endet

   1. Die Vielfachen von 5 bis 100 zählen: 20 Stück
   2. Die Vielfachen von 25 dazu, die eine zweite Fünf mitbringen: 4 Stück
   3. Die Vielfachen von 125 dazu — keine, denn 125 liegt über 100
   4. 20 + 4 = 24 abschließende Nullen
   5. Die Fakultät selbst ist 158 Stellen lang, gedruckt als 9,332622 × 10¹⁵⁷

   Die Anzahl der Nullen ist hier die lesbare Tatsache, und sie wird allein aus den Fünfen hergeleitet und nicht aus der Zahl. Die Fakultät von 100 hat 158 Stellen; ihr Ende ließe sich auch dann nicht mit dem Auge prüfen, wenn alle davon gedruckt würden.

Angenommen werden nur ganze Zahlen von 0 bis 170. Negative Eingaben werden abgewiesen, weil die Fakultät für sie nicht definiert ist — die Gammafunktion, die die Fakultät auf andere Zahlen fortsetzt, hat an jeder negativen ganzen Zahl einen Pol. Brüche werden aus demselben Grund abgewiesen. Oberhalb von 170 läuft das Produkt in einem double über und käme als unendlich zurück, die Eingabe wird deshalb namentlich zurückgewiesen. Ab der 10 ist der gedruckte Wert eine Näherung in wissenschaftlicher Schreibweise und nicht mehr die vollständige ganze Zahl; die Anzahl der Stellen und die abschließenden Nullen bleiben davon unberührt exakt, und gemeinsam beschreiben sie die Größe einer Zahl, deren Ziffern nicht alle gezeigt werden. Diese Seite berechnet keine Binomialkoeffizienten und keine Permutationen direkt — sie liefert die Fakultät, auf der jene Seiten aufbauen.

Was ist eine Fakultät?

Das Produkt aller ganzen Zahlen von 1 bis zu der Zahl, die Sie angeben. Die Fakultät von 5 ist 1 × 2 × 3 × 4 × 5, also 120. Sie zählt, auf wie viele Arten sich eine Menge aus so vielen verschiedenen Dingen anordnen lässt, und taucht deshalb in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und in Abzählaufgaben auf und nicht beim Messen.

Warum ist die Fakultät von 0 gleich 1?

Weil sie ein leeres Produkt ist — es gibt nichts zu multiplizieren, und der Wert, der ein Produkt unverändert lässt, ist die 1. Die Festlegung ist nicht willkürlich: Sie ist es, die die Deutung als Anzahl der Anordnungen aufgehen lässt (es gibt genau eine Art, nichts anzuordnen) und die die Rekursion n! = n × (n−1)! an der Stelle n gleich 1 richtig hält.

Warum hört der Rechner bei 170 auf?

Weil 171 Fakultät größer ist als die größte Zahl, die eine Gleitkommazahl doppelter Genauigkeit darstellen kann, die Berechnung also unendlich zurückgibt. Die Grenze ist keine Frage der Anzeige: Für jede Eingabe über 170 gibt es keinen darstellbaren Wert. Die Fakultät von 170 ist selbst etwa 7,26 × 10³⁰⁶, eine Zahl mit 307 Stellen.

Wie werden die abschließenden Nullen gezählt?

Indem die Fünfen in der Fakultät gezählt werden. Eine abschließende Null braucht eine 10, und eine 10 braucht eine 2 und eine 5; Zweien gibt es reichlich, die Fünfen entscheiden es also. Jedes Vielfache von 5 steuert eine bei, jedes Vielfache von 25 eine zweite, jedes Vielfache von 125 eine dritte und so weiter. Für die Fakultät von 100 sind das 20 + 4 = 24 Nullen.

Warum wird die Fakultät in wissenschaftlicher Schreibweise gedruckt?

Weil der Wert ab der 10 mehr Stellen hat, als eine Ergebnisanzeige sinnvoll zeigen kann — die Fakultät von 100 hat deren 158. Die wissenschaftliche Schreibweise hält den Betrag lesbar. Die exakte ganze Zahl ist trotzdem das, was die beiden anderen Angaben beschreiben: Die Anzahl der Stellen sagt, wie lang sie ist, und die abschließenden Nullen sagen, wie sie endet.

Wie viele Stellen haben große Fakultäten?

Die Stellenangabe beantwortet das exakt, bei jeder Eingabe, die die Seite annimmt. Sie kommt aus dem Addieren von Logarithmen und nicht aus dem Messen einer gedruckten Zeichenkette, sie verliert also keine Genauigkeit, wenn der gedruckte Wert nur eine Näherung ist. Die Anzahl ist immer mindestens um eins größer als die Anzahl der abschließenden Nullen. Eine Fakultät lässt sich damit auch dann noch beschreiben, wenn niemand ihre Ziffern ausschreiben kann: Die Stellenangabe lässt sich aus n direkt berechnen, ohne die Fakultät je auszurechnen.

• Factorial — the definition, the empty product convention that makes 0! equal 1, and the rate at which the value grows — Wolfram MathWorld (United States)
• A000142 — the factorial numbers 1, 1, 2, 6, 24, 120 … as a catalogued sequence, with exact values far beyond the range a double can hold — OEIS Foundation (United States)
• Combination — the binomial coefficient, written as one factorial divided by two others, which is where factorials are most often needed — Wolfram MathWorld (United States)
• Fakultät — Bedeutung und Verwendung des Begriffs in der deutschen Fachsprache, samt der Herkunft aus dem lateinischen factor — DWDS – Digitales Wörterbuch der deutschen Sprache
• Fakultät (Mathematik) — die Definition, das leere Produkt und die Herleitung der abschließenden Nullen aus den Fünfen — Rhetos Lexikon (Deutschland)