RMS-Spannungs-Rechner

V_rms = V_p × k_rms, V_avg = V_p × k_avg, Formfaktor = V_rms / V_avg, Scheitelfaktor = V_p / V_rms

V_p

Der Spitzenwert, gemessen von der Nulllinie bis zur Kuppe der Welle, in Volt. Er ist die Amplitude, und er ist es, dem die Spannungsfestigkeit eines Bauteils standhalten muss — die Isolierung einer Leitung, an der 230 Volt anliegen, muss 325 aushalten. Das Feld nimmt keine negative Zahl an, weil der negative Ausschlag einer symmetrischen Welle dieselbe Amplitude ist, nur über die Phase beschrieben, und keine zweite Größe (V)

k_rms

Der Formbeiwert für den Effektivwert: 1/√2 bei einer Sinuskurve, 1 beim Rechteck, 1/√3 beim Dreieck. Das ist der Koeffizient, der die Antwort von der Kurvenform abhängig macht statt von einer einzigen Zahl; 0,7071 ist also für eine Form richtig und für die anderen beiden falsch. Er stammt aus dem Integral des Quadrats der Welle über eine Periode, weshalb eine flach verlaufende Kurve mehr von ihrer Amplitude im Effektivwert behält und eine spitz zulaufende weniger

k_avg

Der Formbeiwert für den Mittelwert: 2/π bei einer Sinuskurve, 1 beim Rechteck, 1/2 beim Dreieck. Er gilt für die gleichgerichtete Kurve, also den Betrag der Welle, denn der schlichte Mittelwert eines symmetrischen Wechselsignals ist null. Auf diesem Beiwert sind die Messgeräte aufgebaut, die auf Sinuskurven kalibriert sind, und deshalb zeigt ein solches Gerät bei jeder spitzeren Form zu wenig an

FF

Der Formfaktor, Effektivwert geteilt durch den gleichgerichteten Mittelwert: 1,1107 bei einer Sinuskurve, 1 beim Rechteck, 1,1547 beim Dreieck. Er misst, wie weit die Form von einer flachen Linie abweicht, und er ist eine Konstante allein der Form — er trägt keine Einheit und ändert sich nicht, wenn man die Amplitude ändert. Er ist zugleich das Verhältnis, das ein preiswertes Messgerät stillschweigend annimmt, wenn es einen Mittelwert misst und einen Effektivwert anzeigt

CF

Der Scheitelfaktor, Spitzenwert geteilt durch Effektivwert: 1,4142 bei einer Sinuskurve — die Wurzel aus zwei, und die nützlichste Zahl dieser Seite —, 1 beim Rechteck und 1,7321 beim Dreieck. Dieses Verhältnis verrät, ob ein Messwert ein Spitzenwert oder ein Effektivwert ist, denn ein spitzenbewertendes Gerät zeigt an einer Sinuskurve genau das √2-fache dessen an, was ein echt-effektivwertmessendes am selben Signal anzeigt. Auch er ist eine Konstante der Form und von der Amplitude unabhängig

Nehmen Sie ihn, wenn Sie einen der vier Spannungswerte haben und einen anderen brauchen: einen Spitzenwert aus einem Datenblatt, einen Effektivwert, den ein Messgerät gemeldet hat, einen Spitze-Spitze-Wert aus einem Oszillogramm, einen Mittelwert von einem älteren Gerät. Am wichtigsten ist er dort, wo die Kurvenform keine Sinuskurve ist — ein Dimmer, ein Umrichter, ein Schaltnetzteil, ein Wechselrichter oder eine unterbrechungsfreie Stromversorgung liefern alle Formen, deren Spitze und Effektivwert weiter auseinanderliegen als √2, und dort wird ein Gerät falsch liegen, das eine Sinuskurve erwartet. Benutzen Sie ihn auch, wenn zwei Messgeräte über denselben Kreis uneinig sind, denn der Scheitelfaktor ist die Zahl, die den Streit entscheidet: Ist das Verhältnis zwischen ihnen nicht 1,4142, messen sie verschiedene Dinge, statt dass eines davon defekt wäre.

1. Die Voreinstellung: 325 V Spitzenwert, eine Sinuskurve

   1. Spitzenwert 325 V, Sinuskurve
   2. Der Effektivwert ist 325 / √2 = 229,810 V
   3. Spitze-Spitze ist 2 × 325 = 650 V
   4. Der gleichgerichtete Mittelwert ist 325 × 2/π = 206,901 V
   5. Der Formfaktor ist 229,810 / 206,901 = 1,1107, der Scheitelfaktor 325 / 229,810 = 1,4142

   Das ist eine Netzversorgung: Die 230 Volt an der Steckdose sind der Effektivwert, und 325 ist der Wert, den die Spannung tatsächlich erreicht, zweimal in jedem Zyklus und in beide Richtungen. Die letzte Zeile ist die, die man behalten sollte — 1,4142 ist die Wurzel aus zwei, und sie ist der Faktor zwischen dem, was ein spitzenbewertendes Gerät, und dem, was ein echt-effektivwertmessendes an derselben Kurvenform anzeigt. Eine Leitung, die für 230 Volt ausgelegt ist, muss 650 Volt Spitze-Spitze aushalten.

2. Dieselben 325 V Spitzenwert als Rechteck

   1. Spitzenwert 325 V, Rechteckspannung
   2. Die Welle hält sich die ganze Zeit auf voller Amplitude auf, der Effektivwert ist also 325 V
   3. Der gleichgerichtete Mittelwert ist ebenfalls 325 V — die Welle verlässt die Kuppe nie
   4. Formfaktor und Scheitelfaktor sind beide 1

   Ein Rechteck ist die Form, die bei gegebenem Spitzenwert die meiste Leistung überträgt, weil sie nie Zeit auf halber Höhe verbringt: Drei der fünf Ausgaben fallen auf dieselbe Zahl zusammen. Es zeigt außerdem, warum es keinen allgemeinen Faktor von der Spitze zum Effektivwert gibt — hier ist die Antwort 1 und beim Dreieck mit demselben Spitzenwert 0,577, ein Verhältnis von 1,73 zwischen zwei Kurvenformen, die beide 325 Volt erreichen. Beachten Sie, dass sich der Spitze-Spitze-Wert nicht geändert hat: Alle drei Formen dieser Seite sind symmetrisch zur Null, er ist also immer das Doppelte der Spitze.

3. Dieselben 325 V Spitzenwert als Dreieck

   1. Spitzenwert 325 V, Dreieck
   2. Der Effektivwert ist 325 / √3 = 187,639 V
   3. Spitze-Spitze ist weiterhin 650 V
   4. Der gleichgerichtete Mittelwert ist 325 / 2 = 162,5 V
   5. Der Formfaktor ist 1,1547, der Scheitelfaktor √3 = 1,7321

   Das andere Extrem: Ein Dreieck verbringt fast seine ganze Zeit abseits der Spitze und überträgt deshalb von den drei Formen die kleinste Leistung. Sein Scheitelfaktor von 1,7321 ist hier der höchste, und das ist der Wert, den ein echt-effektivwertmessendes Gerät verkraften muss — Messgeräte werden üblicherweise bis zu einem Höchstscheitelfaktor spezifiziert, und ein Messwert darüber ist schlicht nicht verlässlich, selbst an einem Gerät, das echte Effektivwerte verspricht.

4. Ein Signal mit 12 V Spitzenwert aus einem Netzteil

   1. Spitzenwert 12 V, Sinuskurve
   2. Der Effektivwert ist 12 / √2 = 8,485 V
   3. Spitze-Spitze ist 24 V
   4. Der gleichgerichtete Mittelwert ist 12 × 2/π = 7,639 V
   5. Die beiden Verhältnisse sind unverändert: 1,1107 und 1,4142

   Vergleichen Sie die letzte Zeile mit dem ersten Beispiel: Die Amplitude ist um den Faktor siebenundzwanzig gefallen, und beide Verhältnisse sind auf vier Nachkommastellen identisch, weil sie Eigenschaften der Kurvenform sind und nicht des Signals. Genau das macht sie als Prüfung brauchbar — ein Scheitelfaktor, der sich mit der Amplitude bewegt, heißt, dass sich die Form geändert hat, und nicht, dass das Signal größer geworden ist. Die 8,485 V Effektivwert sind das, was ein Messgerät an einer Sinuskurve mit 12 V Spitzenwert anzeigt, und es ist zugleich der Wert, der in eine Leistungsrechnung eingeht.

Der Mittelwert, den diese Seite ausgibt, ist der gleichgerichtete Mittelwert — das Mittel des Betrags der Welle. Der schlichte Mittelwert eines symmetrischen Wechselsignals ist null, weil sich die positive und die negative Halbwelle exakt aufheben, und das ist eine richtige und zugleich nutzlose Antwort; die technische Konvention lautet, zuerst gleichzurichten und dann zu mitteln, und genau das wird hier gerechnet. Alle Formen gelten als symmetrisch zur Null, was beim Rechteck am meisten ausmacht: Ein Rechteck, das zwischen null und einer positiven Spitze umschaltet statt zwischen einer negativen und einer positiven, hat bei gleichem Spitzenwert einen anderen Effektivwert und einen anderen Mittelwert, und es ist nicht modelliert. Die Kurvenformen sind die drei Idealfälle, ein reales Signal mit Überschwingern, flachen Kuppen oder Unsymmetrie wird also keinem davon exakt entsprechen — ein Scheitelfaktor, der nahe bei, aber nicht auf 1,4142 herauskommt, sagt, dass die Form einer Sinuskurve nahekommt, und nicht, dass die Rechnung gescheitert ist. Verzerrung, Gleichanteil und Rauschen sind nicht modelliert.

Wie rechne ich einen Spitzenwert in den Effektivwert um?

Mit dem Faktor 0,7071, also 1/√2 — aber nur, wenn die Kurvenform eine Sinuskurve ist, und diese Einschränkung ist das ganze Thema dieser Seite. Beim Rechteck ist der Faktor 1, beim Dreieck 0,5774, derselbe Spitzenwert von 325 Volt ergibt als Sinuskurve 229,81 Volt Effektivwert, als Rechteck 325 und als Dreieck 187,639. Es gibt keine Umrechnung von der Spitze zum Effektivwert, die nicht von der Kurvenform abhängt, und jede Tabelle, die Ihnen eine einzige Zahl nennt, unterstellt stillschweigend eine Sinuskurve.

Wie hoch ist der Spitzenwert der 230-Volt-Netzspannung?

325 Volt, und 650 Volt Spitze-Spitze. Die 230 sind bereits ein Effektivwert — definiert so, dass sie an einer ohmschen Last dieselbe Leistung ergeben wie 230 Volt Gleichspannung —, die Multiplikation mit √2 statt einer Division liefert also die Amplitude. Das ist für die Praxis das Nützlichste auf dieser Seite: Isolierung, Luft- und Kriechstrecken und die Spannungsfestigkeit von Bauteilen richten sich nach der Spitze und nach Spitze-Spitze und nicht nach der Zahl, die auf der Versorgung steht; deshalb genügt ein Bauteil mit 250 Volt Nennspannung für einen 230-Volt-Kreis nicht.

Warum ist der Mittelwert nicht null?

Weil er der gleichgerichtete Mittelwert ist: Die Welle wird vor der Mittelung auf ihren Betrag hochgeklappt. Der wahre Mittelwert einer symmetrischen Wechselwelle ist exakt null, denn die positive Halbwelle hebt die negative auf, und das anzugeben wäre ebenso richtig wie zwecklos. Die Konvention in der Elektrotechnik lautet, zuerst gleichzurichten und dann zu mitteln; das ergibt bei einer Sinuskurve 2/π der Spitze, also 206,901 Volt bei 325 Volt Spitzenwert. Messgeräte, die als mittelwertbildend bezeichnet werden, arbeiten mit dieser Größe, und daraus stammt der Fehler, um den es in der nächsten Frage geht.

Warum zeigt mein Messgerät weniger an, als hier steht?

Die meisten preiswerten Messgeräte bilden den Mittelwert: Sie messen den gleichgerichteten Mittelwert und multiplizieren ihn mit 1,1107, dem Formfaktor der Sinuskurve, um einen Effektivwert anzuzeigen. Diese Kalibrierung ist für eine Sinuskurve exakt richtig und für alles andere falsch, und sie zeigt bei einer spitzeren Kurvenform immer zu wenig an — bei einem Schaltnetzteil, einem Dimmer, einem Umrichter. Der Scheitelfaktor ist der Weg, das zu erkennen: An einer Sinuskurve kommt er auf 1,4142 heraus, und alles deutlich darüber heißt, dass die Form spitzer ist, als das Gerät annimmt. Ein Gerät, das als echt-effektivwertmessend spezifiziert ist, quadriert und mittelt richtig, aber nur bis zu einem angegebenen Höchstscheitelfaktor.

Funktioniert das auch für ein Rechteck?

Für ein bipolares Rechteck, das zwischen einer negativen und einer positiven Spitze mit gleicher Zeitanteil schwingt — und genau das rechnet diese Seite: Effektivwert und Mittelwert sind beide gleich dem Spitzenwert, die beiden Verhältnisse kommen beide auf 1. Ein Rechteck, das zwischen null und einer positiven Spitze umschaltet, ist ein anderes Signal mit derselben Amplitude, bei einem Tastverhältnis von 50 % ist sein Effektivwert 0,7071 der Spitze statt der Spitze selbst, sein Mittelwert die Hälfte der Spitze und sein Spitze-Spitze-Wert die Spitze statt das Doppelte. Diese Variante ist hier nicht modelliert, prüfen Sie also, welche Art Sie vor sich haben, bevor Sie die Ausgaben verwenden.

Warum gibt es keine Sägezahn-Option?

Weil ein Sägezahn und ein Dreieck dieselben fünf Zahlen ergeben. Sie unterscheiden sich nur darin, welche Flanke die Rampe ist — ein langsamer Anstieg mit schnellem Abfall oder umgekehrt —, und sowohl der Effektivwert als auch der Mittelwert hängen von der Form des Ausschlags ab und nicht von seiner Richtung in der Zeit. Sie aufzunehmen würde zwei Optionen in die Liste setzen, die sich nie widersprechen können, und eine vierte Zeile in die Tabelle, die mit der dritten identisch wäre. Für manches ist der Unterschied wichtig, für keine Größe auf dieser Seite.

• NIST Guide for the Use of the International System of Units (SI), §8.6 — root-mean-square values and the convention of quoting an alternating quantity by its RMS value — NIST
• Root mean square — the definition as the square root of the mean of the square, and the 1/√2, 1 and 1/√3 factors for the standard waveforms — Wikipedia
• Crest factor — why a meter calibrated to a sine reads low on peakier waveforms, and what the crest factor specification on a true-RMS instrument means — Wikipedia