RLC-Impedanz-Rechner

X_L = 2πfL, X_C = 1/(2πfC), Z = √(R² + (X_L − X_C)²), φ = arctan((X_L − X_C)/R), f₀ = 1/(2π√(LC))

R

Der Widerstand in Ohm, und er ist der einzige Teil der Impedanz, der sich mit der Frequenz nicht ändert. Er setzt den Boden unter Z: Wie die Reaktanzen sich auch bewegen, die Impedanz kann nie unter R fallen, und bei Resonanz ist sie genau R. Seine zweite Aufgabe ist der Maßstab des Phasenwinkels — ein großer R neben einer kleinen Netto-Reaktanz bedeutet, dass sich der Kreis fast wie ein gewöhnlicher Widerstand verhält (Ω)

L

Die Induktivität, eingetragen in Millihenry, weil das auf dem Bauteil steht. Ihre Reaktanz steigt proportional zur Frequenz, eine Spule sperrt also hohe Frequenzen und lässt tiefe durch. Das Feld ist in Millihenry und nicht in Henry: Eine eingetragene 10 sind 10 mH und werden zu 0,01 H umgerechnet, bevor die Formel sie zu sehen bekommt (mH)

C

Die Kapazität, aus demselben Grund in Mikrofarad eingetragen. Ihre Reaktanz fällt mit steigender Frequenz, also entgegengesetzt zur Spule, ein Kondensator lässt hohe Frequenzen durch und sperrt tiefe. Auch sie wird vorher umgerechnet: Eine eingetragene 100 sind 100 µF und werden zu 0,0001 F. Die beiden Reaktanzen stehen immer gegeneinander, deshalb subtrahiert die Formel die eine von der anderen, statt sie zu addieren (µF)

f

Die Frequenz der anliegenden Spannung in Hertz. Sie ist die Eingabe, die diese Seite vom Ohmschen Gesetz unterscheidet: Sie kommt in der Rechnung zweimal vor, und die beiden Vorkommen drücken in entgegengesetzte Richtungen, die Impedanz fällt also zuerst und steigt dann wieder. Sie zu ändern ändert die Antwort, ohne dass ein Bauteil berührt wird, und es gibt keine Frequenz, bei der beide Reaktanzen null sind (Hz)

X_L − X_C

Die Netto-Reaktanz, und sie ist es, die den Phasenwinkel tatsächlich festlegt. Ist der induktive Anteil größer, eilt der Strom der Spannung nach und φ ist positiv; ist der kapazitive Anteil größer, eilt der Strom voraus und φ ist negativ; sind beide gleich, ist die Netto-Reaktanz null, φ ist null, und der Kreis ist in Resonanz. Keine der beiden Reaktanzen wird vom Widerstand abgezogen — sie werden im rechten Winkel zueinander zusammengesetzt, deshalb steht in der Formel eine Wurzel aus Quadraten und keine Summe (Ω)

f₀

Die Resonanzfrequenz, 1/(2π√(LC)), also die Frequenz, bei der sich die beiden Reaktanzen aufheben. Sie hängt nur von L und C ab — nicht von R und nicht von der gerade eingetragenen Frequenz —, sie hält also still, während sich der Rest der Seite bewegt, was den Anschein eines Fehlers erweckt. Bei f₀ bietet ein Reihenkreis seine kleinste Impedanz dar, und diese Impedanz ist genau R (Hz)

Nehmen Sie die Seite immer dann, wenn ein Kondensator oder eine Spule im Kreis liegt und die Spannung wechselt, denn dort hört das Ohmsche Gesetz auf zu gelten, statt nur ungenau zu werden. Sie beantwortet, wie ein Bauteil oder ein Zweig für eine bestimmte Frequenz aussieht: die Eingangsimpedanz eines Filters, die Reaktanz einer Drossel bei der Netzfrequenz, der Punkt, an dem ein LC-Paar in Resonanz geht. Der Phasenwinkel ist der Grund, sie auch dann zu benutzen, wenn die Größe schon bekannt ist, denn eine Last, die Strom außer Tritt zur Spannung zieht, ist nicht dieselbe Last wie ein Widerstand desselben Ohm-Werts. Greifen Sie stattdessen zum Ohmschen Gesetz, wenn die Last wirklich ohmsch ist — Heizwiderstände, Glühlampen, ein langes Stück Leitung —, und behandeln Sie diese Seite dort als überflüssig und nicht als genauere Fassung davon.

1. Die Voreinstellung: 50 Hz an 10 Ω, 10 mH und 100 µF

   1. Zuerst umrechnen: L = 10 mH = 0,01 H, C = 100 µF = 0,0001 F
   2. X_L = 2π × 50 × 0,01 = 3,142 Ω
   3. X_C = 1 / (2π × 50 × 0,0001) = 31,831 Ω
   4. Die Netto-Reaktanz ist 3,142 − 31,831 = −28,689 Ω, der Kreis ist also kapazitiv
   5. Z = √(10² + 28,689²) = 30,382 Ω, φ = arctan(−28,689 / 10) = −70,783°
   6. f₀ = 1 / (2π√(0,01 × 0,0001)) = 159,155 Hz

   Das dritte und das vierte Ergebnis muss man zusammen lesen: Die kapazitive Reaktanz ist mehr als zehnmal so groß wie die induktive, bei 50 Hz ist dieser Kreis also ein Kondensator, der zufällig einen Widerstand in Reihe hat, und der Strom eilt der Spannung um fast 71 Grad voraus. Beachten Sie außerdem, wie wenig die 10 Ω hier ausrichten — sie sind nur ein Drittel der Impedanz, und der Phasenwinkel liegt nahe bei −90°, was ein reiner Kondensator ergäbe.

2. Dieselben Bauteile bei 1 kHz angesteuert

   1. X_L = 2π × 1.000 × 0,01 = 62,832 Ω — das Zwanzigfache seines Werts bei 50 Hz
   2. X_C = 1 / (2π × 1.000 × 0,0001) = 1,592 Ω — ein Zwanzigstel seines Werts bei 50 Hz
   3. Die Netto-Reaktanz ist 62,832 − 1,592 = +61,240 Ω, der Kreis ist jetzt induktiv
   4. Z = √(10² + 61,240²) = 62,051 Ω, φ = arctan(61,240 / 10) = +80,726°
   5. f₀ ist weiterhin 159,155 Hz, unverändert

   Legen Sie das neben das erste Beispiel: Kein einziges Bauteil wurde berührt, und der Phasenwinkel ist von −70,783° auf +80,726° geschwungen. Der Kreis, der bei der Netzfrequenz wie ein Kondensator aussah, sieht bei 1 kHz wie eine Spule aus — das ist die wichtigste Aussage dieser Seite und genau das, was ein fester Widerstand nicht ausdrücken kann. Die Resonanzfrequenz in der letzten Zeile hat sich nicht bewegt, weil sie nie von der Frequenz abhängt, mit der man ansteuert; wenn sie sich zu ändern scheint, wurde etwas anderes verstellt.

3. In Resonanz, bei 159,155 Hz

   1. Tragen Sie die Resonanzfrequenz selbst ein: 159,155 Hz
   2. X_L = 2π × 159,155 × 0,01 = 10 Ω
   3. X_C = 1 / (2π × 159,155 × 0,0001) = 10 Ω
   4. Die beiden heben sich genau auf: Z = √(10² + 0²) = 10 Ω, also R selbst
   5. φ = arctan(0 / 10) = 0°, Spannung und Strom liegen in Phase

   Das ist die Zeile, die der Seite ihre Gestalt gibt: Bei Resonanz bietet ein Reihenkreis seine kleinste Impedanz dar, und dieses Minimum ist genau der Widerstand. Es ist zugleich die einzige Frequenz, bei der der Strom mit der Spannung im Gleichschritt ist. Ein Detail, das man kennen sollte, bevor man das von Hand nachrechnet: 159,155 ist f₀ auf drei Nachkommastellen gerundet, jede Reaktanz liegt also etwa vier Millionstel Ohm neben 10 (und die beiden unterscheiden sich voneinander um rund sieben Millionstel), was den Phasenwinkel bei 0,000041° statt exakt null lässt — die Anzeige rundet beides weg. Die exakte Resonanz liegt bei 159,1549431… Hz.

4. Ein Widerstand von 1 kΩ im selben Kreis

   1. Die Reaktanzen sind unverändert gegenüber dem ersten Beispiel: 3,142 Ω und 31,831 Ω
   2. Die Netto-Reaktanz ist weiterhin −28,689 Ω, aber R ist jetzt 1.000 Ω
   3. Z = √(1.000² + 28,689²) = 1.000,411 Ω
   4. φ = arctan(−28,689 / 1.000) = −1,643°
   5. f₀ ist weiterhin 159,155 Hz: R hat keinen Einfluss darauf

   Hier trifft die Seite auf das Ohmsche Gesetz. R von 10 Ω auf 1 kΩ zu erhöhen lässt die Reaktanzen unberührt — sie sind Eigenschaften von L, C und der Frequenz und nicht von R —, senkt aber den Phasenwinkel von −70,783° auf −1,643° und die Impedanz von 30,382 Ω auf 1.000,411 Ω, wovon 1.000 Ω schlicht R ist. Bei diesem Verhältnis ist der Kreis ein Widerstand mit einer kaum messbaren Spur Kapazität, und V = I × R ist eine gute Näherung und kein Fehler. Das ist die Grenze zwischen dieser Seite und der zum Ohmschen Gesetz, und sie ist fließend: Es gibt keine Schwelle, nur einen Fehler, der kleiner wird, je größer R ist.

Diese Seite modelliert ausschließlich einen Reihenkreis — einen Widerstand, eine Spule und einen Kondensator in einer einzigen Schleife. Es gibt bewusst keine Auswahl für eine Parallelschaltung, denn ein paralleles RLC-Netz ist nicht diese Formel mit umgelegtem Schalter: Es braucht einen anderen Ausdruck und verhält sich bei Resonanz genau entgegengesetzt, wo der Reihenkreis seine kleinste und der Parallelkreis seine größte Impedanz erreicht. Dieselben vier Zahlen dort einzutragen und eine andere Antwort zu bekommen hieße, eine Aussage über einen Kreis zu lesen, den man nicht beschrieben hat; diese Variante gehört deshalb auf ihre eigene Seite und nicht hinter einen Schalter hier. Durchweg werden außerdem ideale Bauteile angenommen: kein Wicklungswiderstand in der Spule, kein Ableitstrom und kein Serienwiderstand im Kondensator, und keine Frequenz, ab der die Bauteile aufhören, sich als konzentrierte Elemente zu verhalten. Die Eingangsfrequenz ist fest und wird nicht durchgefahren, die Seite liefert also einen Punkt der Impedanzkurve und die Resonanzfrequenz, nicht die Kurve selbst.

Warum kann ich dafür nicht einfach das Ohmsche Gesetz nehmen?

Weil das Verhältnis von Spannung zu Strom keine Konstante mehr ist, sobald eine Spule oder ein Kondensator im Kreis liegt — es hängt von der Frequenz ab, und der Strom bleibt nicht mehr im Gleichschritt mit der Spannung. Das Ohmsche Gesetz liefert hier eine Zahl, und die Zahl ist falsch, was schlimmer ist, als gar keine zu liefern. Die Seite zum Ohmschen Gesetz sagt das selbst und schickt Sie hierher; V = I × R bleibt nur so lange eine gute Näherung, wie der Widerstand groß ist gegenüber der Netto-Reaktanz, wie das vierte Beispiel zeigt, wo 1 kΩ neben 28,689 Ω den Phasenwinkel unter 2 Grad lässt.

Was ist mit einer Parallelschaltung?

Das ist eine andere Rechnung und eine andere Seite, deshalb gibt es hier keinen Umschalter dafür. Ein paralleles Netz braucht seinen eigenen Ausdruck, und bei Resonanz verhält es sich umgekehrt: Ein Reihenkreis erreicht dort seine kleinste Impedanz, ein Parallelkreis seine größte. Schlimmer noch, diese Seite würde dieselben vier Zahlen bereitwillig annehmen und einen Impedanzwert zurückgeben, der um einen großen Faktor falsch ist, ohne dass irgendetwas darauf hindeutet — genau die Art stiller Fehler, die ein Umschalter verhindern müsste statt zu verursachen.

Warum ändert sich die Resonanzfrequenz nicht, wenn ich die Frequenz ändere?

Weil die Resonanzfrequenz eine Eigenschaft der Spule und des Kondensators ist, während das Frequenzfeld die Frequenz ist, mit der Sie den Kreis ansteuern — zwei verschiedene Dinge, die zufällig denselben Namen tragen. In f₀ = 1/(2π√(LC)) kommen weder R noch f vor, sie bleibt also stehen, während Sie die Ansteuerfrequenz an ihr vorbeifahren. Sie bewegt sich nur, wenn Sie L oder C ändern. Diese Unabhängigkeit macht sie nützlich: Sie sagt Ihnen, wo der Kreis in Resonanz gehen wird, bevor Sie danach suchen.

Was bedeutet ein negativer Phasenwinkel?

Er bedeutet, dass der Strom der Spannung vorauseilt, was immer dann geschieht, wenn die kapazitive Reaktanz die größere der beiden ist. Positiv heißt, der Strom eilt nach, die Induktivität hat das Sagen, und null heißt, sie sind gleich groß und der Kreis ist in Resonanz. Das Vorzeichen ist damit die Zusammenfassung der ganzen Seite in einem Zeichen: −70,783° sagt, dass bei 50 Hz der Kondensator mit 100 µF diesen Kreis regiert, und +80,726° bei 1 kHz sagt, dass die Spule mit 10 mH übernommen hat.

Warum ist die Impedanz bei Resonanz nur 10 Ohm?

Weil sich die beiden Reaktanzen aufheben und nur der Widerstand übrig bleibt. X_L und X_C sind gleich groß und wirken entgegengesetzt, die Netto-Reaktanz ist also null und Z = √(R² + 0²) = R. Das ist die kleinste Impedanz eines Reihenkreises, und es ist zugleich die Frequenz, bei der der Strom am größten ist und mit der Spannung in Phase liegt. Deshalb verwendet man ein Reihen-LC-Paar zur Frequenzauswahl: Alles andere wird gedämpft, und das Ausgewählte kommt durch, wobei nur R im Weg steht.

Werden die Reaktanzen zum Widerstand addiert?

Nein, sie werden im rechten Winkel zueinander zusammengesetzt, deshalb steht in der Formel die Wurzel aus der Summe der Quadrate und keine bloße Summe. Bei den Voreinstellungen ist der Unterschied groß: Arithmetisch addiert ergäbe 10 + 3,142 + 31,831 = 44,973 Ohm, während die richtige Impedanz 30,382 Ohm beträgt. Der physikalische Grund ist die Phasenverschiebung — die Spannung über einer Reaktanz ist eine Viertelperiode gegenüber der Spannung über einem Widerstand versetzt, und Größen, die versetzt sind, addieren sich nicht einfach.

• NIST Guide for the Use of the International System of Units (SI), §6.5 — the hertz, the henry and the farad, and the derived unit for reactance — NIST
• Series RLC circuit — impedance as a vector sum of resistance and net reactance, the phase angle, and resonance as the point where the two reactances cancel — Wikipedia
• Electrical reactance — why an inductor and a capacitor react in opposite directions as frequency rises, and how each behaves at the two extremes — Wikipedia