Rautenfläche-Rechner

A = (d₁ × d₂) ÷ 2 A = s² × sin(θ)

d₁, d₂

Die beiden Diagonalen, in Zentimetern: die Verbindungslinien gegenüberliegender Ecken. Bei einer Raute kreuzen sie sich im rechten Winkel und halbieren einander, und genau das macht die erste Formel möglich. Im Quadrat sind beide gleich lang, dort zweimal dieselbe Zahl einzutragen ist also richtig und kein Fehler

s

Die Länge einer Seite, in Zentimetern. Alle vier sind gleich lang, eine Messung genügt also. Für sich allein legt sie die Fläche nicht fest — eine Raute der Seitenlänge 5 kann alles von fast nichts bis 25 bedecken —, weshalb dieser Weg zusätzlich einen Winkel braucht

θ

Einer der vier Winkel, in Grad, Bogenmaß oder Gon. Die Raute hat zwei gleich große Winkel und zwei ebenfalls gleich große, und die beiden Größen ergänzen sich zu 180 Grad; jeder der vier passt in die Formel, weil der Sinus eines Winkels so groß ist wie der Sinus des Winkels, der ihn zu 180 Grad ergänzt. Deshalb ist es gleichgültig, welchen der vier Sie messen

A

Die Fläche, in Quadratzentimetern: das halbe Produkt der Diagonalen oder die Seitenlänge zum Quadrat mal dem Sinus eines Winkels. Beide Ausdrücke liefern für dieselbe Raute dieselbe Zahl. Ausgegeben wird sie mit vier Nachkommastellen, derselben Breite wie auf den übrigen Flächenseiten dieser Unterkategorie

÷ 2

Die Halbierung in der Diagonalenformel. Sie steht dort, weil die beiden Diagonalen die Raute in vier rechtwinklige Dreiecke zerschneiden und das Produkt der Diagonalen das umgebende Rechteck doppelt zählt — die Raute ist die Hälfte des Rechtecks, dessen Seiten ihre Diagonalen sind, und das ist der anschaulichste Weg zu dieser Formel

sin(θ)

Der Sinus des Winkels, also der Faktor, der misst, wie weit die Raute gelehnt ist. Beim rechten Winkel ist er 1, weshalb das Quadrat unter allen Rauten dieser Seitenlänge die größte Fläche hat; beim Flachlegen geht er gegen 0, eine fast flachgelegte Raute hat also fast keine Fläche mehr. Sein größter Wert liegt bei 90 Grad, und die Kurve ist um diesen Wert symmetrisch, weshalb ein Winkel von 60 und einer von 120 dieselbe Fläche ergeben

Nehmen Sie den Weg über die Diagonalen, wenn die Raute durch ihre Diagonalen festgelegt ist — der übliche Fall bei allem, was auf dem Boden liegt oder aus einer Platte geschnitten wird: eine Gehwegplatte, ein Drachen, eine Zierplatte, eine schräg eingesetzte Glasscheibe. Die Diagonalen sind das, was man an einer fertigen Raute messt, weil sie die beiden Abstände quer durch die Figur sind, und ihr halbes Produkt ist die Fläche — im Fall 6 mal 8 also 24 Quadratzentimeter. Nehmen Sie den Weg über Seite und Winkel, wenn die Figur durch ihre Kanten und Ecken festgelegt ist, was bei allem der übliche Fall ist, das vorher ausgeschrieben wird: eine Fliese, die mit 5 Zentimetern und 60 Grad angeboten wird, ein Rautenmuster in einem Boden, eine nach Zeichnung geschnittene Platte. Aus diesen beiden Zahlen lässt sich außerdem die Fläche für jede andere Lehne berechnen, und nur dieser Weg beantwortet damit die Frage, die der andere nicht beantworten kann: Bei einer Seitenlänge von 5 bedeckt eine Raute mit 60 Grad noch 21,6506, eine mit 90 Grad 25 — das weitere Lehnen kostet also rund dreizehn Prozent der Fläche, und noch weiteres kostet mehr. Zwei Figuren lohnen den Versuch. Tragen Sie zweimal dieselbe Diagonale ein, haben Sie ein Quadrat — 10 und 10 ergibt 50 bei einer Seitenlänge von 7,0711 —, und das ist die größte Fläche, die eine Raute mit dieser Diagonale haben kann, ein brauchbarer Vergleichswert also. Und tragen Sie einen sehr kleinen Winkel ein, läuft die Fläche gegen null: Eine auf 10 Grad gelehnte Raute hat dieselbe Seitenlänge wie zuvor und fast keine Fläche mehr, was der deutlichste Beleg dafür ist, dass die Seite allein die Fläche nicht festlegt. Wenn Sie diese Seite mit dem Parallelogramm-Rechner vergleichen: Jener nimmt eine Grundseite und eine senkrechte Höhe entgegen, was für eine Raute ebenfalls funktioniert — die Höhe ist die Seite mal dem Sinus des Winkels —, verlangt aber einen Abstand, den Sie erst ausrechnen müssten, statt eines solchen, den Sie messen können. Und wenn Sie den Umfang brauchen: Er ist das Vierfache der Seite und damit der einzige Rautenwert, der ohne jeden Winkel auskommt.

1. Diagonalen von 6 und 8

   1. Produkt der Diagonalen: 6 × 8 = 48
   2. Halbieren: 48 ÷ 2 = 24

   Die Eingabe, mit der die Seite startet, und die Raute, um die sich hier alles dreht, weil bei ihr beide Wege von Hand nachzurechnen sind. Ihre Diagonalen von 6 und 8 erzwingen eine Seitenlänge von 5 — die Hälfte jeder Diagonale ist 3 und 4, und das Dreieck mit diesen Katheten hat die Hypotenuse 5 —, und der Winkel, der zu dieser Seite gehört, ist 73,74 Grad. Der andere Weg, eine Seite von 5 mit einem Winkel von 73,74, ergibt dieselben 24, und die Tabelle unten führt genau diese Zeile. Deutlicher als hier lässt sich kaum zeigen, dass die beiden Formeln eine Figur beschreiben und nicht zwei.

2. Eine Seite von 5 und ein Winkel von 60 Grad

   1. Sinus des Winkels: sin 60° = 0,866025…
   2. Seitenlänge zum Quadrat: 5 × 5 = 25
   3. Fläche: 25 × 0,866025… = 21,650635…, gerundet 21,6506

   Der Weg über Seite und Winkel, und die Zeile, die zeigt, was das Lehnen kostet. Ein Quadrat der Seitenlänge 5 bedeckt 25 Quadratzentimeter; auf 60 Grad gelehnt, umschließen dieselben vier Seiten noch 21,6506, also gut dreizehn Prozent weniger. Die 0,866 ist der Sinus von 60 Grad, die halbe Wurzel aus drei, und es ist dieselbe Zahl, die in der Fläche eines gleichseitigen Dreiecks auftaucht — beide Male ist es dieselbe Geometrie, nur aus einer anderen Richtung betrachtet.

3. Eine Seite von 5 und ein rechter Winkel

   1. Sinus des Winkels: sin 90° = 1
   2. Seitenlänge zum Quadrat: 5 × 5 = 25
   3. Fläche: 25 × 1 = 25

   Ein Quadrat, also eine Raute, deren Winkel überhaupt nicht gelehnt sind. Der Sinus eines rechten Winkels ist 1, damit fällt die zweite Formel auf die Seitenlänge zum Quadrat zusammen und liefert die größte Fläche, die eine Raute der Seitenlänge 5 haben kann. Jeder andere Winkel ergibt weniger: bei 45 Grad wären es 17,6777, bei 30 Grad 12,5 und bei 10 Grad 4,3412. Dass das Quadrat das Maximum ist, lohnt sich zu wissen, bevor man für eine Platte oder eine Fliese einen Winkel wählt, denn die Figur, die mit einer gegebenen Kante am meisten Boden bedeckt, ist die am wenigsten gelehnte.

4. Diagonalen von 5 und 12

   1. Produkt der Diagonalen: 5 × 12 = 60
   2. Halbieren: 60 ÷ 2 = 30

   Eine lange schmale Raute, und eine Zeile, die sich leicht gegen ihre Seitenlänge prüfen lässt: Die Hälfte von 5 ist 2,5 und die Hälfte von 12 ist 6, die Seite ist also die Hypotenuse eines Dreiecks mit den Katheten 2,5 und 6 und damit 6,5 lang. Das passt zur Seitenspalte der Tabelle. Die Fläche von 30 ist außerdem eine brauchbare Erinnerung daran, dass die beiden Wege nicht gleich bequem sind: Der Umfang dieser Figur ist 26, die Fläche 30, und dass beide hier dicht beieinanderliegen, ist ein Zufall dieser Zahlen und keine Regel.

5. Diagonalen von 1 und 1

   1. Produkt der Diagonalen: 1 × 1 = 1
   2. Halbieren: 1 ÷ 2 = 0,5

   Das kleinste quadratische Exemplar, und die Zeile, an der die Halbierung am klarsten zu sehen ist: Zwei Diagonalen von 1 ergeben eine Fläche von einem Halben, weil die Raute die Hälfte des Einheitsquadrats ist, dessen Seiten ihre Diagonalen sind. Ihre Seitenlänge ist 0,7071, also die Wurzel aus zwei geteilt durch zwei — dasselbe Verhältnis wie zwischen Diagonale und Seite eines Quadrats, nur andersherum gelesen. Und: Zweimal eine Null einzutragen ergibt eine Fläche von null und keine leere Antwort; eine Raute ohne Größe ist ein zulässiges Ergebnis.

Diese Seite berechnet die Fläche einer Raute und sonst nichts: Sie gibt weder den Umfang noch die Höhe, die Diagonalen oder die Winkel aus, und der Grund dafür ist, dass diese Werte alle aus denselben zwei Messungen folgen, die Sie ohnehin haben. Der Umfang ist das Vierfache der Seite und lässt sich bei der Eingabe über Seite und Winkel direkt an Ihren eigenen Zahlen ablesen. Die Seite braucht entweder beide Diagonalen oder eine Seite zusammen mit einem Winkel und meldet einen Fehler, wenn kein Weg vollständig ist, statt zu raten: Eine einzelne Diagonale oder eine Seite ohne Winkel legt die Figur nicht fest. Mehr als einen Weg auszufüllen ist erlaubt, solange keiner dem anderen widerspricht — eine eingetragene Seite wird gegen die beiden Diagonalen geprüft —, aber eine Raute, deren Diagonalen eine Seite von 5 erzwingen, während im Seitenfeld 7 steht, wird als Widerspruch gemeldet und nicht stillschweigend aufgelöst; welche Ihrer Zahlen die falsche ist, sagt die Seite dabei nicht. Das Winkelfeld nimmt Grad, Bogenmaß und Gon entgegen, und die Seite setzt einen Winkel zwischen 0 und 180 Grad voraus; ein Winkel von 0 oder 180 Grad ergibt eine Fläche von null, was für eine flachgelegte Figur die ehrliche Antwort ist, während ein Winkel in einer anderen als der gewählten Einheit keine Fehlermeldung, sondern ein falsches Ergebnis liefert. Die Ausgabe steht in Quadratzentimetern, unabhängig davon, worauf die Längenauswahlfelder gestellt sind; eine in Zoll eingegebene Seite kommt also als Quadratzentimeterwert zurück, den Sie selbst umrechnen müssen. Vier Nachkommastellen sind eine Anzeigebreite und keine Aussage über die Genauigkeit, und für mit dem Maßband genommene Maße sind sie großzügig. Die Seite prüft nicht, ob die Figur wirklich eine Raute ist: Vier gleich lange Seiten und beliebige Winkel genügen ihr, und eine Figur, die wie eine Raute aussieht, deren Seiten aber leicht voneinander abweichen, wird so beantwortet, als wäre sie eine, und zwar über den Weg, den Sie eingetragen haben. Und schließlich kennt sie weder den Weg über die Höhe noch den Rückweg von einer Fläche zu den Maßen, die sie erzeugen — also genau die Frage, die sich stellt, wenn eine Platte auf eine feste Fläche zugeschnitten werden soll.

Welche zwei Wege führen zur Fläche einer Raute?

Der eine geht über die Diagonalen, der andere über eine Seite und einen Winkel, und jeder für sich genügt. Über die Diagonalen ist die Fläche das halbe Produkt: eine Raute von 6 und 8 bedeckt 24 Quadratzentimeter. Über Seite und Winkel ist es die Seitenlänge zum Quadrat mal dem Sinus des Winkels: eine Seite von 5 bei 60 Grad ergibt 21,6506. Den ersten Weg nehmen Sie, wenn die Diagonalen gemessen sind, den zweiten, wenn die Figur über Kante und Ecke festgelegt wurde. Für dieselbe Raute liefern beide dieselbe Zahl, was die Tabelle auf dieser Seite Zeile für Zeile zeigt.

Warum wird bei der Diagonalenformel halbiert?

Weil die Raute die Hälfte des Rechtecks ist, dessen Seiten ihre Diagonalen sind. Die beiden Diagonalen kreuzen sich im rechten Winkel und halbieren einander, sie zerteilen die Raute also in vier rechtwinklige Dreiecke, und zeichnet man das Rechteck mit den Diagonalen als Seiten, füllt die Raute genau die Hälfte davon aus. Dieses Rechteck hat die Fläche der beiden Diagonalen miteinander multipliziert, die Raute ist also das halbe Produkt.

Ist eine Raute dasselbe wie ein Diamant?

Es ist in aller Regel das, was mit Diamant gemeint ist. Eine Rautenfliese, ein Karo im Kartenspiel, ein Drachenviereck — alles Rauten, also Vierecke mit vier gleich langen Seiten. Das Wort Raute wird in der Mathematik gebraucht, weil es eindeutig ist, und das Wort Diamant auf dem Bau, weil es kurz ist; gemeint ist beide Male dieselbe Figur, und diese Seite rechnet beide Male dasselbe.

Kann ich die Diagonalen und zusätzlich Seite und Winkel eintragen?

Ja, solange die Zahlen zueinander passen. Eine Seite neben zwei Diagonalen ist eine Probe und kein Widerspruch, weil die Diagonalen die Seite festlegen und die Seite nachrechnen kann, ob die Zahlen zusammengehören. Was die Seite nicht tut, ist sich für eine der beiden Angaben zu entscheiden: Eine Raute, deren Diagonalen eine Seite von 5 erzwingen, während im Seitenfeld 7 steht, wird als Widerspruch gemeldet statt stillschweigend nach einer der beiden beantwortet, denn keine der Zahlen ist erkennbar die verlässlichere.

Wie komme ich von den Diagonalen auf die Seitenlänge?

Indem Sie jede Diagonale halbieren und die beiden Hälften als Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks verwenden; die Seite ist dessen Hypotenuse. Bei Diagonalen von 6 und 8 sind die Hälften 3 und 4, die Seite ist also 5. Bei 5 und 12 sind es 2,5 und 6, was eine Seite von 6,5 ergibt. Das funktioniert, weil sich die Diagonalen einer Raute im rechten Winkel kreuzen und gegenseitig halbieren — genau der Umstand, auf dem auch die Flächenformel aufbaut.

Was passiert bei einer Raute ohne Größe?

Sie bekommen eine Fläche von null statt einer leeren Antwort. Zwei Diagonalen von 0 ergeben 0, und ein Winkel von 0 oder 180 Grad ergibt ebenfalls 0, während eine Seitenlänge von 5 bestehen bleibt — das ist die ehrliche Antwort für eine Figur, die zu einer Linie flachgelegt wurde oder gar nicht vorhanden ist. Ein Winkel außerhalb des Bereichs von 0 bis 180 Grad wird dagegen als Fehler gemeldet, da die Seite voraussetzt, dass die eingetragene Zahl der Innenwinkel ist.

• Rhombus — the four-sided figure with equal sides whose area this page computes, including the half-the-product-of-the-diagonals result and the relations between the sides, the diagonals and the angles — Wolfram MathWorld (United States)
• Parallelogram — the wider family a rhombus belongs to, with the base-times-height formula that also applies to a rhombus once the height has been worked out from the side and the angle — Wolfram MathWorld (United States)
• Quadrilateral — the general four-sided figure, and the place to check that the diagonal formula used here is the special case of a rule that holds for every quadrilateral whose diagonals cross at right angles — Wolfram MathWorld (United States)
• Parallelogramm, Raute, Drachenviereck und Trapez — die vier Vierecksarten im Vergleich, mit den Eigenschaften, die eine Raute mit ihren Nachbarn teilt, und mit dem Drachenviereck als der Figur, die im Alltag Diamant heißt — Serlo Education e. V. (Deutschland)