Relatives-Risiko-Rechner

RR = (a / n₁) ÷ (c / n₂) OR = (a · d) / (b · c)

a

Die Zahl der Fälle in der exponierten Gruppe – also der Personen, die sowohl der Exposition ausgesetzt waren als auch das Ereignis hatten. Sie ist zugleich der Zähler des ersten Risikos und der Beitrag der exponierten Gruppe zum Odds Ratio; dieselben Zählwerte speisen also beide Antworten

n₁

Die Gesamtzahl der exponierten Personen, Fälle und Nichtfälle zusammen. Das Risiko ist dieser Zählwert geteilt durch diese Summe, dieselben dreißig Fälle bedeuten in hundert Personen also etwas völlig anderes als in zehntausend – das relative Risiko vergleicht Raten und nicht Zählwerte, und die beiden Gruppengrößen sind gerade das, was die Raten vergleichbar macht

c

Die Zahl der Fälle in der nicht exponierten Gruppe, also in der Kontrollgruppe. Mit a und c lassen sich beide Risiken unmittelbar hinschreiben, das Verhältnis ist danach nur noch ihr Quotient. Ist dieser Wert null, verweigert die Seite die Rechnung, und diese Absage ist beabsichtigt: Ohne einen einzigen Fall in der Kontrollgruppe ist das Risiko null, und die Division durch null ist nicht unendlich, sondern undefiniert

n₂

Die Gesamtzahl der nicht exponierten Personen. Die beiden Gruppen müssen nicht gleich groß sein und sind es in der Praxis oft nicht – in einer Kohortenstudie werden häufig weit mehr nicht exponierte als exponierte Personen nachbeobachtet –, und die Formel braucht dafür keinerlei Anpassung, weil jedes Risiko innerhalb seiner eigenen Gruppe gerechnet wird

b, d

Die Zahl der Nichtfälle in den beiden Gruppen; die Seite leitet sie ab, statt nach ihnen zu fragen. Sie treten nur im Odds Ratio auf, mit b = n₁ − a und d = n₂ − c. Sie abzuleiten ist gerade der Grund, aus dem sich die vier Eingaben nicht widersprechen können: Vier freie Zellen erlauben eine Tafel, in der mehr Fälle als Personen stehen

Wenn zwei Gruppen über die Zeit beobachtet wurden, die Zählwerte vorliegen und das Verhältnis ihrer Risiken gesucht ist – die Effektstärke, für deren Schätzung eine Kohortenstudie gebaut ist. Die beiden Ausgaben beantworten leicht verschiedene Fragen, und welche gilt, entscheidet meist das Design und nicht der Geschmack. Das relative Risiko ist das leichter lesbare Maß: 2 bedeutet, dass die exponierte Gruppe das doppelte Risiko trug, und dieser Satz braucht keine Erklärung. Das Odds Ratio ist das, was eine Fall-Kontroll-Studie liefern kann, denn dort wird der Anteil der Fälle von den Forschenden festgelegt und die Risiken sind gar nicht schätzbar – nur das Odds Ratio lässt sich zurückrechnen, und es ist auch das, was eine logistische Regression ausgibt. Bei einem seltenen Ereignis liegen beide nah genug beieinander, dass man das Odds Ratio ohne großen Schaden als relatives Risiko lesen kann, und das ist die übliche Rechtfertigung dafür. Bei einem häufigen Ereignis gehen sie auseinander, und zwar immer in dieselbe Richtung: Das Odds Ratio liegt weiter von 1 entfernt, ein schützender Zusammenhang erscheint also schützender und ein schädlicher schädlicher. Die Seite berechnet beide aus derselben Vierfeldertafel, damit diese Lücke sichtbar wird, statt stillschweigend angenommen zu werden. Lesen Sie sie mit dem Design im Kopf: Ein Zusammenhang ist keine Ursache, und nichts in diesen vier Zahlen unterscheidet eine Exposition, die das Ereignis verursacht hat, von einer, die nur mit ihm einhergegangen ist.

1. Der Vorgabefall: 30 von 100 exponierten, 20 von 100 nicht exponierten Personen

   1. Risiko der exponierten Gruppe: 30 / 100 = 0,30, also 30 %
   2. Risiko der Kontrollgruppe: 20 / 100 = 0,20, also 20 %
   3. Relatives Risiko: 0,30 / 0,20 = 1,5 – das Risiko der exponierten Gruppe ist anderthalbmal so groß
   4. Nichtfälle abgeleitet: b = 70 und d = 80, das Odds Ratio ist also (30 × 80) / (70 × 20) = 2.400 / 1.400 = 1,7143

   Bei einem so häufigen Ereignis liegen die beiden Antworten 14 % auseinander, und genau deshalb rechnet die Seite beide aus. Das relative Risiko sagt, das Risiko sei um 50 % höher; das Odds Ratio sagt, die Chance sei um 71 % höher. Beides ist richtig – es sind verschiedene Größen –, aber ein Bericht, der 1,71 als »Risiko um 71 % erhöht« wiedergibt, hat die beiden vertauscht, und das ist einer der häufigsten Fehler beim Lesen medizinischer und sozialwissenschaftlicher Ergebnisse. Zu beachten ist außerdem, dass gleich große Gruppen nicht nötig sind; sie sind hier nur gleich groß, damit die Prozentzahlen gut lesbar bleiben.

2. Bei stärkerem Zusammenhang geht der Abstand zwischen den beiden Maßen auf

   1. Risiko der exponierten Gruppe: 45 / 150 = 0,30
   2. Risiko der Kontrollgruppe: 15 / 150 = 0,10
   3. Relatives Risiko: 0,30 / 0,10 = 3 – dreifaches Risiko
   4. Odds Ratio: (45 × 135) / (105 × 15) = 6.075 / 1.575 = 3,8571

   Das relative Risiko steht bei 3, das Odds Ratio schon bei 3,86; der absolute Abstand ist von 0,21 im vorigen Beispiel auf fast eine ganze Einheit gewachsen. Dieses Muster ist systematisch und nicht zufällig: Das Odds Ratio liegt immer weiter von 1 entfernt, und der Abstand wächst mit der Stärke des Zusammenhangs und mit der Häufigkeit des Ereignisses. Das ist der Grund, warum die Faustregel vom seltenen Ereignis im Gedächtnis bleiben sollte – sie ist keine kleine technische Fußnote, sondern der Unterschied zwischen »Chance um 286 % erhöht« und »Risiko um 200 % erhöht«.

3. Eine Exposition, die mit geringerem Risiko einhergeht

   1. Risiko der exponierten Gruppe: 10 / 100 = 0,10
   2. Risiko der Kontrollgruppe: 25 / 100 = 0,25
   3. Relatives Risiko: 0,10 / 0,25 = 0,4 – das Risiko sinkt um 60 %
   4. Odds Ratio: (10 × 75) / (90 × 25) = 750 / 2.250 = 0,3333, die Chance sinkt um 67 %

   In die andere Richtung gilt dasselbe: Das Odds Ratio liegt weiter von 1 entfernt, der Zusammenhang erscheint also schützender, als er ist. In beiden Schreibweisen lohnt es sich, die Richtung sauber zu benennen. Ein relatives Risiko von 0,4 bedeutet, dass das Risiko um 60 % gesunken ist, und nicht, dass es auf 60 % gesunken ist – je weiter das Verhältnis von 1 entfernt liegt, desto schneller laufen diese beiden Lesarten auseinander, und ein Bericht, der sie verwechselt, kann einen kleinen Effekt groß klingen lassen oder umgekehrt.

4. Ein seltenes Ereignis, bei dem beide Maße fast zusammenfallen

   1. Risiko der exponierten Gruppe: 2.000 / 100.000 = 0,02, also 2 %
   2. Risiko der Kontrollgruppe: 1.000 / 100.000 = 0,01, also 1 %
   3. Relatives Risiko: 0,02 / 0,01 = 2
   4. Odds Ratio: (2.000 × 99.000) / (98.000 × 1.000) = 198.000.000 / 98.000.000 = 2,0204 – weniger als 1 % vom relativen Risiko entfernt

   Die Näherung für seltene Ereignisse ist hier eine sichtbare arithmetische Tatsache und keine Regel zum Auswendiglernen: Bei einem Risiko von 2 % sind die Nichtfälle erdrückend in der Überzahl, und ob man durch die Nichtfälle oder durch die Gruppengröße teilt, macht kaum einen Unterschied – das Odds Ratio fällt auf das relative Risiko zusammen. Die Größenordnung dieser beiden Gruppen ist zugleich die Gestalt, die eine echte Kohortenstudie hat – 100.000 Personen in der Nachbeobachtung, 2.000 beobachtete Ereignisse –, während die Beispiele davor kleine, runde Zahlen verwenden, damit die Prozentangaben lesbar bleiben.

Die Seite gibt ein Verhältnis zurück und behauptet nichts darüber, ob die Exposition das Ereignis verursacht hat. Ein relatives Risiko von 3 sagt, dass das Risiko der exponierten Gruppe dreimal so hoch war; es sagt nicht, dass die Exposition dieses Risiko erzeugt hat, und diese vier Zählwerte können auch nicht zwischen einer Ursache und einem Merkmal unterscheiden, das nur mitgelaufen ist – der klassische Fall ist eine dritte Größe, die sowohl mit der Exposition als auch mit dem Ereignis zusammenhängt. Die Seite setzt außerdem voraus, dass beide Gruppen gleich lange beobachtet wurden oder dass die Zählwerte auf denselben Zeitraum umgerechnet sind. Erkrankungen sammeln sich an, eine zwei Jahre lang beobachtete Gruppe hat also etwa doppelt so viele Fälle wie eine sonst gleiche Gruppe mit einem Jahr Beobachtung, und an den Eingaben ist nichts zu sehen, was das verraten würde. Die Absage an die Nullzelle ist eine bewusste Einschränkung und kein Versehen: Jeder Zelle eine kleine Konstante hinzuzuaddieren würde die Antwort von einer erfundenen halben Person abhängig machen, und die Seite hält lieber an, damit sichtbar wird, dass die Daten zu dünn sind. Daten aus einer Fall-Kontroll-Studie sind die letzte Grenze. In einem solchen Design entscheiden die Forschenden selbst, wie viele Fälle erhoben werden, der Anteil der Fälle innerhalb jeder Gruppe ist also ein Erzeugnis der Stichprobenziehung, und ein relatives Risiko aus diesen Zählwerten hat keine Bedeutung – das Odds Ratio überlebt, weil es symmetrisch ist, und genau deshalb berichten Fall-Kontroll-Studien das Odds Ratio und nicht das relative Risiko.

Worin unterscheiden sich relatives Risiko und Odds Ratio?

Das relative Risiko ist das Verhältnis zweier Wahrscheinlichkeiten, das Odds Ratio das Verhältnis zweier Chancen (Odds), und je häufiger das Ereignis, desto weiter gehen die beiden auseinander. Bei Risiken von 30 % und 20 % beträgt das relative Risiko 1,5 und das Odds Ratio 1,7143; bei 2 % und 1 % lauten sie 2 und 2,0204. Das Odds Ratio liegt immer weiter von 1 entfernt, ein schädlicher Zusammenhang erscheint also schädlicher und ein schützender schützender. Bei seltenen Ereignissen ist der Unterschied vernachlässigbar, und das ist die Grundlage der bekannten Vereinfachung, das Odds Ratio wie ein relatives Risiko zu lesen. Auf deutsch heißt das Odds Ratio auch Chancenverhältnis; gemeint ist dieselbe Zahl. Für eine Krankheit mit einem Fall auf tausend ist diese Vereinfachung unbedenklich, für ein Ereignis, das jede dritte Person trifft, ist sie es nicht.

Warum verweigert die Seite die Rechnung, wenn die Kontrollgruppe keinen Fall hat?

Weil das Risiko dieser Gruppe dann null ist und das relative Risiko durch dieses Risiko teilt. Manche Programme addieren in diesem Fall zu jeder Zelle eine kleine Zahl – die Haldane-Anscombe-Korrektur –, aber damit hängt die Antwort von einer erfundenen halben Person ab, und bei sehr kleinen Zählwerten bewegt sich das Ergebnis stark, und gerade bei kleinen Zählwerten tritt dieses Problem überhaupt erst auf. Die Seite meldet stattdessen einen Fehler, damit das darunterliegende Problem sichtbar wird: Ohne einen einzigen Fall in der Kontrollgruppe lassen die Daten keine Schranke für den Effekt von oben zu; jede endliche Zahl wäre ein Erzeugnis der Korrektur und keine Beobachtung. Die einzige echte Abhilfe ist, weiter Daten zu erheben.

Kann ich diese Seite auf die Daten einer Fall-Kontroll-Studie anwenden?

Auf das Odds Ratio ja, auf das relative Risiko nein. In einer Fall-Kontroll-Studie entscheiden die Forschenden, wie viele Fälle und wie viele Kontrollen erhoben werden, der Anteil der Fälle in jeder Gruppe ist also durch das Design festgelegt und nicht beobachtet. Damit verlieren beide Risiken ihre Bedeutung als Schätzer – das Odds Ratio bleibt davon unberührt, weil es symmetrisch zwischen Fällen und Kontrollen ist: Vertauscht man Zeilen und Spalten der Vierfeldertafel, ändert es sich nicht. Das ist der Grund, warum Fall-Kontroll-Studien das Odds Ratio berichten, und warum ein relatives Risiko aus ihren Zählwerten sich zwar ausrechnen lässt, aber nicht interpretiert werden kann.

Was bedeutet ein relatives Risiko von genau 1?

Es bedeutet, dass in dieser Stichprobe beide Gruppen dasselbe Risiko hatten, dass die Exposition und das Ereignis also keinen Zusammenhang erkennen lassen. Es bedeutet nicht, dass es in der Grundgesamtheit keinen Zusammenhang gibt – eine Stichprobe kann genau 1 ergeben (oder jeden anderen Wert), während das wahre relative Risiko davon verschieden ist. Das Konfidenzintervall um dieses Verhältnis ist genau dafür da, und deshalb ist eine Studie, die nur den Punktschätzer berichtet, unvollständig. Diese Seite bleibt bewusst beim Punktschätzer und seinem Begleitmaß: Ein Intervall bräuchte den Standardfehler des logarithmierten relativen Risikos, das ist ein weiterer Rechenschritt auf denselben vier Zählwerten und keine andere Lesart.

Heißt ein relatives Risiko von 3, dass sich mein Risiko verdreifacht?

Es heißt, dass das Risiko in der exponierten Gruppe dieser Studie dreimal so hoch war wie in der Kontrollgruppe. Ob dieser Faktor für das eigene Risiko viel bedeutet, hängt vom Ausgangsrisiko ab, und das Verhältnis selbst trägt ihn nicht mit sich. Ist das Risiko der nicht exponierten Gruppe eins zu 100.000, sind es nach der Verdreifachung drei zu 100.000, also immer noch sehr wenig; ist es 1 %, dann ist die Verdreifachung ein Unterschied, der zum Handeln Anlass gibt. Das ist der Unterschied zwischen relativem und absolutem Risiko, und der Grund, warum eine Studie ein eindrucksvoll klingendes Verhältnis berichten kann, während das zugehörige Ereignis selten bleibt. Verlangen Sie beim Lesen eines Verhältnisses immer die beiden Risiken dazu.

Warum sind die vier Eingaben Fälle und Gruppengrößen und nicht vier Zellen?

Weil vier freie Zellen eine unmögliche Tafel beschreiben können. Würde die Seite nach vier Zählwerten fragen, könnte nichts verhindern, dass jemand eine Tafel ausfüllt, in der dieselbe Gruppe 30 Fälle und zugleich 70 Nichtfälle bei 100 Personen hat – eine in sich widersprüchliche Tafel, die ohne Widerspruch durchgerechnet würde und eine bedeutungslose Zahl ergäbe. Fragt die Seite dagegen je Gruppe nach Fällen und Gruppengröße, sind die beiden anderen Zellen festgelegt, und die Nichtfälle, die ins Odds Ratio eingehen, passen dann immer zu dem Risiko, das ins relative Risiko eingeht. Der Preis ist ein Eingabefeld weniger; dafür ist eine widersprüchliche Tafel strukturell nicht ausdrückbar und nicht bloß unwahrscheinlich.

• Risiko — Glossar des Instituts für Qualität und Wirtschaftlichkeit im Gesundheitswesen: absolutes und relatives Risiko, die Skala von 0 bis 1 und die Lesart, dass ein relatives Risiko von 1 keinen Unterschied zwischen den Gruppen bedeutet (dort als Prozentzahl notiert, während diese Seite das Verhältnis als Zahl führt) — Institut für Qualität und Wirtschaftlichkeit im Gesundheitswesen (IQWiG)
• Odds Ratio — Glossar des Instituts für Qualität und Wirtschaftlichkeit im Gesundheitswesen: das Chancenverhältnis als Verhältnis zweier Odds, ausdrücklich nicht mit dem relativen Risiko gleichzusetzen, und der Hinweis, dass die Unterschiede bei kleinen Risiken vernachlässigbar werden – genau die Bedingung, unter der diese Seite beide Maße fast zusammenfallen lässt — Institut für Qualität und Wirtschaftlichkeit im Gesundheitswesen (IQWiG)
• 3.1 Terminology — Introductory Statistics 2e (englische Originalfassung; die Wahrscheinlichkeit als Langzeit-Häufigkeit, also genau das, was das Risiko einer Gruppe ist und was das Verhältnis zweier solcher Risiken überhaupt sinnvoll macht) — OpenStax (Rice University)
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (englische Originalfassung; eine Zählung geteilt durch eine Gruppengröße als geschätzte Wahrscheinlichkeit und die Stichprobenstreuung, die diese Schätzung mit sich trägt) — National Institute of Standards and Technology (NIST)