Standardfehler-Rechner

SE = s / √n s = √( Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) ) s = √(p(1 − p)) × 100

SE

Der Standardfehler – die Standardabweichung des Schätzers selbst und das Hauptergebnis dieser Seite. Er beantwortet eine Frage über den Schätzer und nicht über die Daten: Wie weit liegt ein Stichprobenmittelwert typischerweise vom Mittelwert der Grundgesamtheit entfernt, wenn man die Stichprobe neu ziehen würde? Er ist die Zahl, auf der ein Konfidenzintervall aufgebaut wird, und die, durch die eine Prüfgröße teilt, deshalb lohnt er eine eigene Rechnung

s

Die Standardabweichung der Stichprobe, mit n − 1 im Nenner. Im Mittelwert-Modus wird der Standardfehler aus ihr abgeleitet, und die Seite druckt sie in einer eigenen Zeile, damit diese Division nachprüfbar bleibt. Der Nenner n − 1 statt n macht sie zu einer unverzerrten Schätzung der Streuung in der Grundgesamtheit – mit n würde die Variabilität etwas zu klein ausfallen, und am stärksten fällt das bei den kleinsten Stichproben ins Gewicht

n

Der Stichprobenumfang, also die Zeile Anzahl. Er steht unter der Wurzel, und das ist der Grund, warum der Standardfehler nur langsam kleiner wird: Zehnmal so viele Daten machen ihn nur etwa auf ein Drittel kleiner. Im Anteil-Modus stammt dieser Wert aus dem eigenen Feld und nicht aus dem Abzählen der Liste, weil ein Prozentwert keine Liste mitbringt

x̄

Der Stichprobenmittelwert, abgedruckt, damit die Rechnung zur Standardabweichung ein sichtbares Zentrum hat. In den Standardfehler geht er selbst nicht ein – der Standardfehler ist eine Eigenschaft der Streuung und des Umfangs und hängt nicht davon ab, wo die Daten liegen –, eine Verschiebung aller Werte um dieselbe Konstante ändert ihn also nicht

p

Der Anteil in der Stichprobe, in der Formel als Bruch und im Panel als Prozentzahl. Im Anteil-Modus ersetzt er die Standardabweichung vollständig: Die Streuung einer Ja-Nein-Frage ist eine Funktion ihres Prozentwerts, am größten bei der Halbierung und gegen 0 % oder 100 % hin verschwindend. Die Multiplikation mit 100 bringt das Ergebnis zurück in Prozentpunkte, damit es neben dem Prozentwert lesbar ist, aus dem es stammt

Wenn Daten vorliegen und der Standardfehler eines Schätzers gebraucht wird – für ein Konfidenzintervall von Hand, für die Gegenprobe zu einer Zahl in einem Bericht, oder um zu sehen, wie viel Breite in einem Ergebnis aus der Streuung der Daten stammt und wie viel aus dem Umfang. Standardabweichung und Anzahl stehen gerade deshalb mit im Panel: Ändern Sie die Zahlen, bewegt sich die Zeile mit der Standardabweichung; ändern Sie nur den Umfang, bewegt sich der Standardfehler und die Standardabweichung bleibt stehen. Zwei Modi gibt es, weil die beiden gebräuchlichsten Schätzer verschiedene Eingaben brauchen. Der Mittelwert braucht die Stichprobe, weil vorher nichts vorhersagt, wie weit diese Messungen streuen werden; ein Anteil braucht sie nicht, weil seine Streuung in seinem eigenen Wert steckt – und genau deshalb kann eine Umfrage allein aus dem Stichprobenumfang eine Fehlermarge nennen. Das s in den beiden Formeln sieht unterschiedlich aus, aber der Weg zum Standardfehler ist nur einer: die Streuung durch √n teilen; im Mittelwert-Modus wird die Streuung erst aus den Daten geschätzt, im Anteil-Modus ist sie durch den Prozentwert bereits gegeben. Keiner der beiden Modi beurteilt, ob die Stichprobe groß genug ist, damit der Schätzer annähernd normalverteilt ist. Das hängt davon ab, wie schief die zugrunde liegende Verteilung ist, und für den Anteil gibt es dafür eine Faustregel über n·p und n·(1 − p), die diese Seite nicht ausführt.

1. Der Vorgabefall: acht Zahlen mit einer Standardabweichung von rund 2,14

   1. Mittelwert: (2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9) / 8 = 40 / 8 = 5
   2. Abweichungsquadrate: 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32
   3. Standardabweichung: √(32 / 7) = √4,5714 = 2,1381
   4. Standardfehler: 2,1381 / √8 = 2,1381 / 2,8284 = 0,7559

   Die Zahlen streuen um die 5, ohne dass eine weit herausfällt, und das macht sie als Vorgabe nützlich: Der Mittelwert ist eine runde Zahl und die Standardabweichung nicht, sodass die letzten beiden Zeilen nicht verwechselt werden können. Das Panel von oben nach unten zu lesen ist der Punkt – 2,1381 ist eine Aussage über die Daten, 0,7559 eine über den Schätzer, und dazwischen steht nur die Division durch √8. Die Felder für Stichprobenumfang und Prozentwert stehen in diesem Modus ungenutzt daneben.

2. Neun Zahlen, die den Standardfehler genau auf 1 bringen

   1. Mittelwert: (3 + 3 + 3 + 3 − 3 − 3 − 3 − 3 + 0) / 9 = 0
   2. Abweichungsquadrate: achtmal 9 und einmal 0, also 72
   3. Standardabweichung: √(72 / 8) = √9 = 3
   4. Standardfehler: 3 / √9 = 3 / 3 = 1

   Neun Beobachtungen sind klein genug, dass der Nenner n − 1 sichtbar wirkt: Eine Division durch 9 statt durch 8 ergäbe eine Varianz von 8 und eine Standardabweichung von 2,8284, der Standardfehler läge dann bei 0,9428 statt bei 1. Das ist die Korrektur bei der Arbeit – bei einer kleinen Stichprobe unterschätzt die beobachtete Streuung die der Grundgesamtheit ein wenig, und die Division durch eins weniger als die Anzahl gleicht das aus. Das Paar n = 9 und s = 3 ist dasselbe, das die Seite zum Konfidenzintervall verwendet; dort kommt das Intervall auf genau ±2,306, weil der t-Wert bei 8 Freiheitsgraden 2,306 beträgt.

3. Ein Anteil braucht keine Datenliste

   1. Der Anteil von 60 % als Dezimalzahl ist 0,6, damit ist 1 − p = 0,4
   2. Standardabweichung: √(0,6 × 0,4) × 100 = √0,24 × 100 = 0,489898 × 100 = 48,9898
   3. Standardfehler: 48,9898 / √100 = 48,9898 / 10 = 4,899 Prozentpunkte

   Das Datenfeld steht weiterhin auf dem Bildschirm und enthält weiterhin eine Liste, und nichts an der Antwort verwendet sie: In diesem Modus stammt die Streuung aus dem Prozentwert, und der Stichprobenumfang kommt aus seinem eigenen Feld. Deshalb liest sich die Zeile mit der Standardabweichung als 48,99 – eine für eine Ja-Nein-Frage ungewohnt aussehende Zahl. Es ist die Standardabweichung einer mit 0 und 100 kodierten Ja-Nein-Variable, und ihr einziger Zweck ist hier, durch √n geteilt zu werden. Dieselbe Struktur steht auf der Seite zum Stichprobenumfang, wo mit dem ungünstigsten Fall p = 0,5 geplant wird, bevor ein Prozentwert bekannt ist.

4. Zwei Beobachtungen, wo der Nenner n − 1 am meisten leistet

   1. Mittelwert: (10 + 0) / 2 = 5
   2. Abweichungsquadrate: 25 + 25 = 50
   3. Standardabweichung: √(50 / 1) = √50 = 7,0711
   4. Standardfehler: 7,0711 / √2 = 5

   Bei zwei Beobachtungen ist die Standardabweichung einfach der halbe Abstand zwischen ihnen – der Nenner n − 1 lässt genau einen Freiheitsgrad übrig, und die Formel wird zu etwas, das man ansehen statt ausrechnen kann. Der Standardfehler ist dann die Standardabweichung geteilt durch √2, hier also 5. Das ist die kleinste Stichprobe, die die Seite im Mittelwert-Modus annimmt, und es lohnt sich, sie einmal auszuprobieren, um zu sehen, wie breit eine Schätzung aus zwei Zahlen tatsächlich ist: Der Standardfehler liegt hier bei der halben Spannweite der Daten.

Die Seite gibt den Standardfehler eines Schätzers aus und hält genau davor an, ihn in ein Intervall oder einen Test zu verwandeln. Diese Grenze ist beabsichtigt: Ein Intervall braucht einen kritischen Wert, und der hängt vom Konfidenzniveau ab und davon, ob die Streuung erst aus der Stichprobe geschätzt werden muss; ein Test braucht eine zweite Prüfgröße zum Vergleichen. Beides steht auf benachbarten Seiten, und die Arithmetik hier ist die Eingabe dafür und kein Ersatz dafür. Der Mittelwert-Modus setzt voraus, dass die Beobachtungen voneinander unabhängig sind, und diese Annahme gilt bei wiederholten Messungen am selben Objekt, bei gepaarten Daten und bei geklumpten Daten wie Schülern innerhalb einer Schule nicht; in allen drei Fällen ist der effektive Stichprobenumfang kleiner als die Anzahl, und der Standardfehler fällt zu klein aus. Er setzt außerdem voraus, dass die Liste jede Beobachtung enthält, die hineingehört – der Standardfehler wird aus genau den Zahlen gerechnet, die eingetippt wurden, und ein versehentlich weggelassener Ausreißer macht ihn schmaler. Der Anteil-Modus hat eine eigene Anmerkung: Seine Formel ist eine Großstichproben-Näherung und verhält sich schlecht, wenn die Zahl der Erfolge oder Misserfolge klein ist; bei einer kleinen Stichprobe und einem Prozentwert nahe 0 % oder 100 % gehört deshalb ein exaktes Intervall dorthin und nicht dieser Standardfehler. Keiner der beiden Modi beurteilt, ob der Schätzer verzerrt ist, und das kann kein Standardfehler feststellen.

Worin unterscheiden sich Standardabweichung und Standardfehler?

Die Standardabweichung sagt, wie weit einzelne Beobachtungen von ihrem Mittelwert entfernt liegen; der Standardfehler sagt, wie weit ein Stichprobenmittelwert vom Mittelwert der Grundgesamtheit entfernt liegt. Der zweite ist der erste geteilt durch √n, und diese Division ist die ganze Beziehung zwischen ihnen – deshalb stehen beide Zeilen im Panel. Die Standardabweichung ist eine Eigenschaft der Daten und ändert sich nicht, wenn man mehr Daten erhebt; der Standardfehler wird mit einer größeren Stichprobe immer kleiner. Eine nützliche Selbstkontrolle im Panel: Ändern Sie die Zahlen, bewegen sich beide Zeilen; ändern Sie nur die Anzahl, bleibt die Standardabweichung stehen und der Standardfehler sinkt.

Warum teilt die Seite durch n − 1 und nicht durch n?

Weil das Zentrum, um das herum die Streuung gemessen wird, der Mittelwert der Stichprobe selbst ist und dieser näher an den Daten liegt als der wahre Mittelwert der Grundgesamtheit; die direkt berechnete mittlere Abweichungsquadratsumme fällt dadurch systematisch etwas zu klein aus. Die Division durch eins weniger als die Anzahl gleicht das aus. Am größten ist dieser Effekt bei kleinen Stichproben: Bei zwei Beobachtungen verdoppelt er die Varianz, bei hundert Beobachtungen ist er eine Anpassung um 1 %. Eine Division durch n ist zur Beschreibung der vorliegenden Stichprobe nicht falsch; falsch wäre sie als Schätzung der Streuung in der Grundgesamtheit, aus der die Stichprobe stammt, und genau die braucht der Standardfehler.

Wie berechnet man den Standardfehler eines Anteils ohne Daten?

Ein Anteil bringt seine Streuung selbst mit, deshalb braucht es keine Liste – nur den Stichprobenumfang und den Prozentwert. Kodiert man die beiden Ausgänge als 0 und 100, ist die Standardabweichung √(p(1 − p)) × 100; sie ist bei hälftiger Teilung am größten und schrumpft gegen null, je weiter der Prozentwert an einen der beiden Ränder rückt. 60 % von 100 Personen ergeben √(0,6 × 0,4) × 100 = 48,9898, und die Division durch √100 liefert einen Standardfehler von 4,899 Prozentpunkten. Das sind dieselben beiden Eingaben wie auf der Seite zur Fehlermarge, nur dass dort der Standardfehler noch mit einem kritischen Wert multipliziert wird, um das Plusminus zu ergeben.

Wird der Standardfehler mit mehr Daten kleiner?

Ja, aber nur mit der Quadratwurzel des Stichprobenumfangs. Von 100 auf 400 Beobachtungen halbiert er sich; um ihn noch einmal zu halbieren, braucht es 1.600. Das ist der Grund, warum der Standardfehler die Größe ist, die man bei der Planung einer Untersuchung im Auge behalten sollte, und warum der Nutzen zusätzlicher Daten von einer großen auf eine sehr große Stichprobe am leichtesten überschätzt wird. Die Zeile mit der Standardabweichung bewegt sich dagegen kaum – mehr Daten machen die Grundgesamtheit nicht weniger streuend, sie machen nur die Schätzung ihres Zentrums genauer.

Was bedeutet ein Standardfehler von 0?

Entweder sind alle Beobachtungen der Stichprobe identisch, oder der Anteil beträgt 0 % oder 100 % – in beiden Fällen findet die Formel keine verwertbare Variabilität und gibt null zurück. Wörtlich gelesen behauptet ein Standardfehler von null, die Schätzung sei exakt, und diese Behauptung tragen die Daten nicht: Vier gleiche Messwerte zeigen nur, dass die Streuung klein ist, nicht dass sie null ist. Die Seite gibt die Null zurück, statt einen Fehler zu melden, weil die Arithmetik stimmt und der Grund in den anderen Zeilen sichtbar ist; ein Standardfehler von genau null sollte aber als Signal gelesen werden: Die Stichprobe ist zu klein oder zu gleichförmig, um über die Variabilität etwas auszusagen.

Ist das dasselbe wie der Rechner für den zentralen Grenzwertsatz?

Beide berechnen dieselbe Größe, nur mit verschiedenen Eingaben, und welchen man braucht, hängt davon ab, was vorliegt. Diese Seite nimmt die Stichprobe entgegen – eine Liste von Zahlen oder einen Prozentwert mit einem Stichprobenumfang – und wird verwendet, sobald die Daten da sind. Der Zentraler-Grenzwertsatz-Rechner nimmt die Standardabweichung der Grundgesamtheit und den Stichprobenumfang, also Werte, die es schon vor jeder Erhebung gibt, und passt deshalb zur Planung einer Untersuchung oder zur Frage, wie sich der Standardfehler mit n verändert. Der Unterschied zwischen beiden ist genau der Schätzungsschritt in der Mitte; sind Stichproben- und Grundgesamtheits-Standardabweichung identisch, liefern beide Seiten dasselbe Ergebnis.

• DA_Sitzung 03 – Streuung — Lehrmaterial zur Datenanalyse am Institut für Kommunikationswissenschaft und Medienforschung der LMU München: die Streuung einer Stichprobe, der Nenner n − 1 und der Schritt von der Streuung zum Standardfehler des Mittelwerts — Ludwig-Maximilians-Universität München, Institut für Kommunikationswissenschaft und Medienforschung
• 1.3.5.6. Measures of Scale — e-Handbook of Statistical Methods (englische Originalfassung; die Standardabweichung der Stichprobe und der Nenner n − 1, auf dem der Standardfehler aufbaut) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (englische Originalfassung; die Stichprobenverteilung einer Prüfgröße, deren Streuung der Standardfehler misst) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 1.3.5.1. Measures of Location — e-Handbook of Statistical Methods (englische Originalfassung; der Stichprobenmittelwert, der hier neben der Streuung abgedruckt wird, und warum beide zusammen berichtet werden) — National Institute of Standards and Technology (NIST)