Zentraler-Grenzwertsatz-Rechner

E[X̄] = μ Var(X̄) = σ² / n SE = σ / √n

μ

Der Mittelwert der Grundgesamtheit — die Mitte der Verteilung, aus der die Stichproben gezogen werden. Er wird unverändert zum Mittelwert der Stichprobenverteilung, also zum ersten der drei Ergebnisse, und zwar bei jedem Stichprobenumfang

σ

Die Standardabweichung der Grundgesamtheit. Sie trägt die Einheit der Daten, der Standardfehler ebenso, deshalb lassen sich σ und SE direkt nebeneinanderstellen — ein Standardfehler von 2,5 neben σ = 15 sagt etwas über den Stichprobenumfang aus und nichts über die Daten

n

Die Anzahl der Beobachtungen in einer Stichprobe — die Größe eines einzelnen Zugs, nicht die Anzahl der Züge. Es steht einmal unter der Wurzel und einmal allein im Nenner, und dieser Unterschied ist die ganze praktische Information: Die Varianz sinkt proportional zu n, der Standardfehler nur mit der Wurzel daraus

X̄

Der Stichprobenmittelwert, hier als Zufallsgröße behandelt und nicht als einzelne Zahl. Eine Ziehung liefert einen Wert von X̄; wiederholt man die Ziehung, entsteht die Verteilung von X̄, und die drei Ausgaben beschreiben diese Verteilung und nicht eine bestimmte Stichprobe

SE

Der Standardfehler — die Standardabweichung des Stichprobenmittelwerts und das Hauptergebnis dieser Seite. Konfidenzintervalle werden damit gebaut, Prüfgrößen dadurch geteilt, deshalb ist er die Zahl, die man liest, und nicht ihr Quadrat (die Varianz)

Gebraucht wird er, wenn man wissen will, wie stark ein Stichprobenmittelwert zwischen verschiedenen Stichproben schwankt: bei der Planung einer Untersuchung, beim Lesen eines Standardfehlers in einem Bericht, oder um die eigene Intuition zum Stichprobenumfang zu prüfen. Die Intuition, die dabei meist korrigiert werden muss, lautet „doppelt so große Stichprobe, doppelt so genaue Schätzung“ — das stimmt nicht, weil der Standardfehler mit der Wurzel fällt. Von 100 auf 400 Beobachtungen halbiert sich die Streuung der Schätzung; um sie noch einmal zu halbieren, braucht es 1600. Die beiden Aussagen ganz oben gelten für jede Form der Grundgesamtheit, man kann sie also auch ohne jede Verteilungsannahme verwenden. Was diese Seite nicht liefert, ist die Antwort auf die Frage, ob ein bestimmtes n groß genug ist, damit der Stichprobenmittelwert annähernd normalverteilt ist — das hängt davon ab, wie schief die Ausgangsverteilung ist, und ist eine Einschätzung, keine Rechnung.

1. Standardfall: eine Grundgesamtheit mit Mittelwert 100 und Standardabweichung 15, Stichproben zu je 36 Werten

   1. Varianz der Stichprobenmittel: σ² ÷ n = 225 ÷ 36 = 6,25
   2. Standardfehler: √6,25 = 2,5
   3. Mittelwert der Stichprobenmittel: 100, also gleich dem Mittelwert der Grundgesamtheit — unverändert
   4. Vergleich mit σ = 15: Eine Stichprobe von 36 Werten drückt die Streuung auf ein Sechstel, und 6 ist gerade √36

   Die 15 und die 36 sind gewählt, damit sich die Rechnung im Kopf nachvollziehen lässt — 225 geteilt durch 36 ergibt 6,25, und daraus wird mit der Wurzel die glatte 2,5. Die dritte Zeile verdient einen zweiten Blick, gerade weil dort scheinbar nichts passiert: Der Mittelwert aller Stichprobenmittel ist der Mittelwert der Grundgesamtheit, bei jedem Stichprobenumfang, und das ist eine Aussage über den Erwartungswert und keine Näherung. Dass dort 100 = 100 steht, ist der ganze Inhalt dieser Zeile, deshalb wird sie ausgegeben, auch wenn sie nur eine Eingabe zurückgibt.

2. Dieselbe Grundgesamtheit, aber nur 9 Werte pro Stichprobe

   1. Die Stichprobe schrumpft auf ein Viertel, die Varianz wird deshalb viermal so groß: 225 ÷ 9 = 25
   2. Standardfehler: √25 = 5
   3. Der Mittelwert bleibt 100 — eine kleinere Stichprobe ändert die Streuung und sonst nichts
   4. Vergleich mit dem ersten Fall: n fällt auf ein Viertel, der Standardfehler verdoppelt sich nur

   Dieses Paar macht das Wurzelgesetz sichtbar: Stichprobe durch vier, Standardfehler nur mal zwei, weil sich die Varianz proportional zu n ändert. Andersherum gelesen ist es der Grund, warum Genauigkeit teuer ist — die vierfache Stichprobe kauft die doppelte Verbesserung, und für eine weitere Verdopplung wären sechzehnmal so viele Werte nötig. Jede Entscheidung über einen Stichprobenumfang ist dieser Handel, und die Tabelle weiter unten legt das Gesetz über einen breiteren Bereich von n aus.

3. Nur eine Beobachtung pro Stichprobe — die Streuung bleibt unangetastet

   1. Bei n = 1 ist der Stichprobenmittelwert die eine Beobachtung selbst, die Stichprobenverteilung also die Grundgesamtheit
   2. Varianz: 225 ÷ 1 = 225, also σ²
   3. Standardfehler: √225 = 15, also σ
   4. Der Mittelwert der Stichprobenmittel bleibt 100

   Der Endpunkt n = 1 lohnt einen Blick, weil das Ganze dort verankert ist: Eine Stichprobe aus einem einzigen Wert ist ein einzelner Zug aus der Grundgesamtheit, nichts wird gemittelt, und damit ist der Standardfehler die Standardabweichung der Grundgesamtheit selbst. Jeder andere Stichprobenumfang ist dieser Ausgangspunkt geteilt durch √n. Dass der Rechner n = 1 zulässt und nicht mindestens zwei Werte verlangt, ist Absicht: Es ist eine gültige und aufschlussreiche Eingabe — die Stichprobenverteilung ist dann eben noch nicht durch die Stichprobe eingeengt.

Die beiden Identitäten ganz oben gelten für jede Grundgesamtheit und jedes n, aber sie beschreiben nur die ersten beiden Momente der Stichprobenverteilung. Die dritte Aussage des Satzes — die Annäherung an die Normalverteilung — ist diejenige, auf der die meisten praktischen Anwendungen beruhen, und genau sie kann diese Seite nicht prüfen, weil die nötige Größe von n davon abhängt, wie schief die Ausgangsverteilung ist: Bei einer einigermaßen symmetrischen Grundgesamtheit reichen oft 10 Werte, bei langschwänzigen Verteilungen kann es mehrere hundert Beobachtungen brauchen, bis der Stichprobenmittelwert stabil wird. Die viel zitierte 30 sollte man als Faustregel lesen und nicht als Ergebnis. Die Formeln setzen außerdem Unabhängigkeit zwischen den Beobachtungen voraus; zieht man ohne Zurücklegen aus einer kleinen Grundgesamtheit, ist das verletzt — die Seite zum Stichprobenumfang rechnet diese Korrektur ein und kommt auf eine kleinere Zahl. Geschätzt wird hier nichts: Beide Eingaben sind Werte der Grundgesamtheit. Wer nur die Standardabweichung einer Stichprobe zur Hand hat, gehört auf die Seite zum Konfidenzintervall, die den Unterschied kennt.

Worin unterscheidet sich die Standardabweichung vom Standardfehler?

Die Standardabweichung beschreibt, wie weit ein einzelner Wert vom Mittelwert entfernt liegt; der Standardfehler beschreibt, wie weit ein Stichprobenmittelwert vom Mittelwert der Grundgesamtheit entfernt liegt. Der zweite ist der erste geteilt durch √n, und diese Division ist der ganze Unterschied: Eine Grundgesamtheit mit σ = 15 streut gleich stark, ob Sie 9 oder 900 Werte ziehen; der Mittelwert aus 900 Werten liegt aber nur ein Drittel so weit vom wahren Wert entfernt wie der aus 100. σ trägt deshalb die Einheit der Daten, während der Standardfehler mit dem Umfang der Untersuchung schrumpft — und genau deshalb ist es der Standardfehler, der in ein Konfidenzintervall oder in eine Prüfgröße eingeht.

Ändert sich der Mittelwert der Stichprobenmittel, wenn die Stichprobe größer wird?

Nein, und das ist die Aussage, die am schwersten zu glauben ist. Der Mittelwert der Stichprobenverteilung ist bei jedem Stichprobenumfang gleich dem Mittelwert der Grundgesamtheit, schon ab n = 1, denn Mitteln schiebt eine Schätzung in keine Richtung — es macht sie nur weniger sprunghaft. Die Verteilung der Stichprobenmittel wird um denselben Schwerpunkt herum schmaler und höher. Ein größerer Stichprobenumfang kauft also Genauigkeit und niemals Treffsicherheit: Er verkleinert die Streuung der Schätzung, verschiebt aber nicht ihr Zentrum. Ein verzerrtes Auswahlverfahren verschiebt dagegen das Zentrum, und keine noch so große Stichprobe holt das zurück — deshalb lohnt es sich, diese beiden Arten des Scheiterns getrennt zu betrachten.

Wie groß muss eine Stichprobe sein, damit der Grenzwertsatz gilt?

Das hängt von der Form der Grundgesamtheit ab, und es gibt keine Schwelle, die für alle Verteilungen passt. Symmetrische Grundgesamtheiten verhalten sich schon bei n = 10 gut, stark schiefe können mehrere hundert Beobachtungen brauchen, bis der Stichprobenmittelwert annähernd normalverteilt ist. Die vertraute 30 stammt aus Simulationsstudien zu leicht schiefen Daten und ist ein brauchbarer Vorgabewert, kein Satz. Was diese Seite ohne jede Formannahme liefert, sind Zentrum und Breite — Mittelwert und Standardfehler sind bei jedem n exakt. Nur die Normalverteilungsnäherung braucht eine große Stichprobe, und nur Konfidenzintervalle und p-Werte, die auf ihr aufbauen, erben diese Anforderung.

Warum ist die Varianz der Stichprobenmittel so viel kleiner als die Varianz der Daten?

Weil das Mitteln die voneinander unabhängigen Fehler der einzelnen Beobachtungen gegenseitig aufhebt, und zwar proportional zum Stichprobenumfang — während der Standardfehler, mit dem man üblicherweise vergleicht, nur mit der Wurzel des Stichprobenumfangs schrumpft. Bei σ = 15 und n = 36 fällt die Varianz von 225 auf 6,25, also auf ein Sechsunddreißigstel; die Standardabweichung fällt von 15 auf 2,5, also nur auf ein Sechstel. Beide Zeilen werden gerade deshalb mit ausgegeben. Der Satz wird üblicherweise über die Varianz formuliert, verwendet wird aber die Form mit dem Standardfehler, und der Abstand zwischen den beiden Faktoren ist diese Wurzel.

Ist diese Seite dasselbe wie der Standardfehler-Rechner?

Beide berechnen dieselbe Größe aus unterschiedlichen Eingaben, und welche Sie brauchen, hängt davon ab, was Sie zur Hand haben. Diese Seite nimmt die Standardabweichung der Grundgesamtheit und den Stichprobenumfang — zwei Werte, die es schon vor jeder Datenerhebung gibt — und ist damit das Werkzeug für die Planung einer Untersuchung oder für die Frage, wie n die Genauigkeit steuert. Der Standardfehler-Rechner nimmt die Stichprobe selbst und rechnet die Standardabweichung aus ihr heraus; er ist das Werkzeug, wenn die Daten schon vorliegen und die Werte der Grundgesamtheit unbekannt sind. Der Unterschied zwischen beiden ist genau der Schätzungsschritt in der Mitte, und erst auf der Seite zum Konfidenzintervall hat dieser Unterschied Folgen.

• Konfidenzintervall und Normalverteilung — Datenanalyse, Sitzung 4 — der zentrale Grenzwertsatz, der Standardfehler σ/√n und die 1,96 aus dem 95-%-Intervall in einer Vorlesungseinheit — Ludwig-Maximilians-Universität München, Institut für Kommunikationswissenschaft und Medienforschung
• Deskriptive, univariate Analyse (Verteilungen) — Methodenberatung der Universität Zürich — wie sich Stichprobenkennwerte mit wachsendem Stichprobenumfang verhalten — Universität Zürich, Methodenberatung
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods — a sample statistic is itself a quantity with a distribution, and that distribution is what this page describes — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 1.3.6.7.1. Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods — the curve a sampling distribution approaches as the sample grows, and the table that is normally consulted for it — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 3.1 Terminology — Introductory Statistics 2e — the law of large numbers: as the sample grows the sample mean moves toward the population mean, which is exactly the behaviour stated by the mean-of-sample-means row — OpenStax (Rice University)