Konfidenzintervall-Rechner

Mittelwert: x̄ ± t(α/2, n − 1) · s / √n Anteil: p̂ ± z(α/2) · √( p̂ (1 − p̂) / n )

x̄

Stichprobenmittelwert – der Wert, den Sie gemessen haben, in der Einheit der Daten. Um ihn herum wird der Bereich gebaut: Verschiebt er sich, verschiebt sich der ganze Bereich mit

s

Standardabweichung der Stichprobe, also die Streuung der Beobachtungen um ihren eigenen Mittelwert. Sie wird klein geschrieben, weil nur die Stichprobe vorliegt; erst die Division durch die Wurzel des Stichprobenumfangs macht daraus den Standardfehler

n

Zahl der Beobachtungen in der Stichprobe, mindestens 2. Sie geht zweimal in die Rechnung ein: einmal im Standardfehler, wo der Stichprobenumfang unter der Wurzel steht, einmal über die Freiheitsgrade n − 1 des t-Quantils

t(α/2, n − 1)

Kritischer Wert der Mittelwert-Variante: der Punkt der t-Verteilung mit n − 1 Freiheitsgraden, rechts und links davon liegt je α/2 der Fläche. Er ist immer etwas größer als der Wert der Normalverteilung, bei kleinen Stichproben deutlich – die t-Verteilung bezahlt damit, dass s geschätzt und nicht bekannt ist

p̂

Anteil in der Stichprobe, in Prozent eingetragen. Die ganze Anteilsformel bleibt in Prozentpunkten, Unter- und Obergrenze, Fehlermarge und Standardfehler liegen also in derselben Größenordnung wie Ihre Eingabe

z(α/2)

Kritischer Wert der Anteil-Variante: bei einem Konfidenzniveau von 95 % beträgt er 1,9600 und hängt nicht vom Stichprobenumfang ab, weil der Anteil über die Normalverteilung beurteilt wird und nicht über die t-Verteilung. In der Anteilszeile tritt er zweimal auf, einmal vor der Wurzel und einmal über p̂ unter der Wurzel

Wenn eine Stichprobe vorliegt und gesagt werden soll, wie genau diese Schätzung ist – das gilt für den Mittelwert einiger Messwerte genauso wie für den Anteil in einer Umfrage. Es ist die ehrliche Art, eine Zahl zu nennen: Ein Mittelwert von 50 aus 100 Beobachtungen ist eine andere Aussage als derselbe Mittelwert aus 5 Beobachtungen, und der Bereich ist genau dieser Unterschied, weil der Stichprobenumfang im Nenner des Standardfehlers steht. Zwei Entscheidungen legen den Rest fest: Geht es um eine Messgröße wie Länge, Dauer oder Punktzahl, ist es die Mittelwert-Variante; geht es um den Anteil von Fällen an einer Gesamtheit, ist es die Anteil-Variante, in Prozent eingetragen. Das Konfidenzniveau von 95 % ist Konvention, die drei Stufen im Panel decken die üblichen Angaben ab. Und was der Bereich nicht sagt: Er sagt nicht, wo der wahre Wert liegt, und nicht, wie viele künftige Beobachtungen hineinfallen – er ist eine Aussage über das Verfahren, nicht über die Daten.

1. Mittelwert aus 100 Messwerten

   1. Standardfehler: 12 / √100 = 12 / 10 = 1,2
   2. Freiheitsgrade n − 1 = 99, für das 95-%-Konfidenzniveau ergibt das den kritischen Wert 1,9842
   3. Fehlermarge: 1,9842 × 1,2 = 2,3811
   4. Unter- und Obergrenze: 50 − 2,3811 = 47,6189, 50 + 2,3811 = 52,3811

   Auffällig ist hier der kritische Wert 1,9842 und nicht die vertraute 1,96. Dieser kleine Unterschied ist der Preis, den die t-Verteilung dafür nimmt, dass auch die Streuung erst aus diesen 100 Beobachtungen geschätzt wurde; je größer die Stichprobe, desto kleiner wird er – bei n = 1.000 ist er praktisch verschwunden. Zu beachten ist außerdem, dass im Anteil-Feld noch die 60 steht, ohne etwas zu bewirken: Beide Eingabegruppen sind immer gleichzeitig sichtbar, welche gilt, entscheidet die Auswahl ganz oben.

2. Anteil in einer Umfrage mit 1.000 Befragten

   1. Der Stichprobenanteil von 50 % als Dezimalzahl ist 0,5, damit ist 1 − p̂ ebenfalls 0,5
   2. Standardfehler: √( 0,5 × 0,5 / 1.000 ) = 0,015811, also 1,5811 Prozentpunkte
   3. Kritischer Wert: bei 95 % Konfidenzniveau 1,96, unabhängig vom Stichprobenumfang
   4. Fehlermarge: 1,96 × 1,5811 = 3,099 Prozentpunkte, die Grenzen liegen also bei 46,901 % und 53,099 %

   Jede Zahl in diesem Kasten ist ein Prozentpunkt und kein Dezimalanteil: Der Standardfehler beträgt 1,58 Punkte und nicht 0,0158. Das ist die Schreibkonvention dieser Seite für Anteile, und sie erklärt auch, warum der Standardfehler hier größer aussieht als im ersten Kasten – er misst etwas anderes, nämlich einen Anteil und keine Messgröße. Dieselbe Rechnung steckt hinter dem Satz, dass eine Umfrage mit rund 1.000 Befragten auf etwa drei Punkte genau ist.

3. Dieselben 100 Beobachtungen, angegeben mit 99 % Konfidenzniveau

   1. Der Standardfehler bleibt 12 / √100 = 1,2 – an der Stichprobe hat sich nichts geändert
   2. Nur der kritische Wert bewegt sich: 2,6264 statt 1,9842
   3. Fehlermarge: 2,6264 × 1,2 = 3,1517
   4. Unter- und Obergrenze: 50 ± 3,1517, also 46,8483 bis 53,1517

   Neben den ersten Kasten gestellt wird deutlich, was das Konfidenzniveau tatsächlich kauft: dieselben Daten, derselbe Standardfehler, ein um 32 % breiterer Bereich. Ein höheres Konfidenzniveau bedeutet nicht mehr Wissen – an den Informationen in der Stichprobe ändert sich nichts, nur an der Aussage darüber. Deshalb ist 95 % Konvention, und ein 99-%-Intervall zu berichten, ohne das zu sagen, ist irreführend und nicht bloß vorsichtig.

Beide Wege setzen voraus, dass die Beobachtungen voneinander unabhängig sind. Wer an einem Gerät 500-mal hintereinander abliest oder aus 20 Schulklassen 500 Schülerinnen und Schüler zieht, hat weniger Information in der Hand, als die Rechnung annimmt – der Bereich wird dann schmaler, als er sein dürfte. Beide Wege setzen außerdem voraus, dass der Schätzer einigermaßen symmetrisch um den wahren Wert streut: Die Mittelwert-Variante verlässt sich darauf, dass die Stichprobe annähernd normalverteilt ist oder n so groß, dass die t-Verteilung nicht mehr darauf achtet; die Anteil-Variante ist empfindlicher – nahe 0 % oder 100 % ist diese Formel schlicht falsch, deshalb lehnt die Seite Eingaben an diesen beiden Rändern ab, statt trotzdem einen selbstsicheren und extrem schmalen Bereich auszugeben. Eine Korrektur für endliche Grundgesamtheiten findet hier nicht statt: Wenn die Stichprobe einen großen Teil einer kleinen Grundgesamtheit ausmacht, rechnet die Seite zum Stichprobenumfang mit der Endlichkeitskorrektur und kommt auf eine kleinere Personenzahl als diese hier.

Was bedeutet ein Konfidenzintervall genau?

Es ist ein Bereich, der nach einem Verfahren gebaut wird, das in 95 von 100 Stichproben den wahren Wert überdeckt – und nicht: dieser eine Bereich enthält den wahren Wert mit 95 % Wahrscheinlichkeit. Der Unterschied liegt darin, dass der wahre Wert fest und unbekannt ist: Er liegt entweder zwischen den beiden gerade berechneten Grenzen oder nicht, und darauf lässt sich keine Wahrscheinlichkeit kleben; die 95 % beschreiben die Verlässlichkeit des Verfahrens. In der Praxis liest man es deshalb anders: Werte nahe der Mitte des Bereichs sind glaubhafter als Werte nahe den Rändern, und Werte außerhalb stehen in einem gewissen Widerspruch zu den Daten – genau das ist die Brücke zum p-Wert.

Warum t beim Mittelwert und z beim Anteil?

Weil beim Mittelwert auch die Streuung geschätzt wird, beim Anteil nicht. Der Standardfehler des Mittelwerts ist s / √n, und s stammt aus derselben Stichprobe – der Bereich muss für diese zusätzliche Unsicherheit einen Aufschlag einrechnen, und genau das tut die t-Verteilung. Deshalb beträgt der kritische Wert bei n = 100 auch 1,9842 und nicht 1,96. Der Anteil hat keinen zweiten Schätzer: Seine Streuung steckt über p̂(1 − p̂) im Anteil selbst, also wird er bei jedem Stichprobenumfang über die Normalverteilung beurteilt. Beide Eingabegruppen stehen immer auf dem Bildschirm; welche gelesen wird, entscheidet die Auswahl ganz oben.

Worin unterscheiden sich Fehlermarge und Standardfehler?

Der Standardfehler ist die Unsicherheit pro Einheit, die Fehlermarge ist die Strecke, um die der Bereich nach außen geht. Die Fehlermarge ist der Standardfehler mal kritischer Wert, bei 95 % Konfidenzniveau und großer Stichprobe also rund das Doppelte (das 1,96-Fache), bei 99 % etwa das Zweieinhalbfache (das 2,5758-Fache). Beide Zeilen stehen gerade deshalb nebeneinander: Wer einen schmaleren Bereich will, muss am Standardfehler ansetzen, denn nur er reagiert auf mehr Daten; der kritische Wert bewegt sich nur, wenn sich das Konfidenzniveau ändert.

Kann der Bereich unter 0 % oder über 100 % landen?

Ja, und die Seite druckt das auch so, statt stillschweigend abzuschneiden. Bei einem Anteil von 50 % und einem Stichprobenumfang von 2 liegen die Grenzen bei −19,3 % und 119,3 %, und das ist kein Fehler: Zwei Beobachtungen liefern über einen Anteil fast keine Information, und ein Bereich, der das offen sagt, ist ehrlicher als einer, der auf den zulässigen Wertebereich zurückgebogen wird. Die Botschaft lautet: Diese Stichprobe trägt hier nichts Belastbares, also mehr Daten erheben. Abgelehnt wird dagegen ein Anteil von genau 0 % oder 100 %, weil die Formel dort durch eine Streuung der Breite null teilt und einen Bereich der Breite null zurückgibt – diese Sicherheit kann das Verfahren nicht liefern.

Wo ist die Tabelle der kritischen Werte?

Diese Seite hat keine, und das ist Absicht. Eine Tabelle hätte hier nichts mehr zu tun: Sie wählen ein Konfidenzniveau, und der eine Wert, der dazu gehört, steht bereits in einer eigenen Zeile. Jede Tabelle müsste zudem auf ein Konfidenzniveau festgelegt werden, sodass Leserinnen und Leser, die auf 99 % umschalten, vor einer Tabelle stünden, die dem Panel darüber widerspricht – eine Seite, die sich selbst widerspricht, ist deutlich schlechter als eine ohne Tabelle. Bei der t-Verteilung kommt hinzu, dass der kritische Wert von Freiheitsgraden und Konfidenzniveau zugleich abhängt: Das wäre kein Feld, sondern ein ganzes Raster. Für kritische Werte gibt es deshalb ein eigenes Werkzeug.

• Konfidenzintervall — Glossar des Instituts für Qualität und Wirtschaftlichkeit im Gesundheitswesen: die Definition des Vertrauensbereichs und die 95-%-Konvention, die diese Seite als Voreinstellung führt — Institut für Qualität und Wirtschaftlichkeit im Gesundheitswesen (IQWiG)
• Konfidenzintervalle — Lehrmaterial zur Datenanalyse am Institut für Kommunikationswissenschaft und Medienforschung der LMU München: die Trennung von t- und z-Intervall, an der sich die beiden Wege dieser Seite entscheiden — Ludwig-Maximilians-Universität München, Institut für Kommunikationswissenschaft und Medienforschung
• 1.3.6.7.1. Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (englische Originalfassung; die Quelle der kritischen Werte, die hier auf den Standardfehler multipliziert werden, samt den Tail-Flächen, die sie an beiden Seiten stehen lassen) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 3.1 Terminology — Introductory Statistics 2e (englische Originalfassung; die relative Häufigkeit als Schätzung der Wahrscheinlichkeit, also der Schritt, mit dem der Stichprobenanteil für den Anteil der Grundgesamtheit stehen darf) — OpenStax (Rice University)