PVIFA-Rechner

PVIFA = [1 − (1 + i)⁻ⁿ] ÷ i × (1 + i, wenn die Zahlungen am Anfang jeder Periode anfallen) (i = Jahreszins ÷ Zahlungen pro Jahr; n = Jahre × Zahlungen pro Jahr)

i

Der Abzinsungssatz je Periode — der Jahreszins geteilt durch die Zahlungen pro Jahr, also der Satz, mit dem jede Zahlung abgezinst wird

n

Die Anzahl der Perioden — Jahre mal Zahlungen pro Jahr, und zugleich der Exponent, der weit entfernte Zahlungen weniger zählen lässt

PVIFA

Der Rentenbarwertfaktor: was eine Einheit Währung, in jeder Periode über n Perioden gezahlt, heute wert ist — in dieser Zahl steckt überhaupt kein Geldbetrag

PVIFA bei Beginn jeder Periode

Derselbe Faktor, wenn jede Zahlung am Anfang ihrer Periode ankommt statt am Ende; er ist der gewöhnliche Faktor mal eins plus dem Periodenzinssatz

Verwenden Sie ihn, wenn Sie den Faktor brauchen und nicht einen Betrag: um einen Tabellenwert gegen ein veröffentlichtes Tabellenwerk zu prüfen, um eine Aufgabe zu lösen, in der die Zahlung nicht gegeben ist, um eine Tabellenkalkulation vorzubereiten, in der die Zahlung eine eigene Eingabe wird, oder um zu vergleichen, wie sich der Faktor mit Zinssatz und Laufzeit bewegt, ohne dass die Rechnung von einem Geldbetrag verdeckt wird. Der Faktor ist außerdem der ehrliche Weg, die Gestalt des Abzinsens zu sehen, weil er es isoliert: 6,71008 bei 8 % über zehn Jahre sagt, dass zehn jährliche Einheiten heute weniger als sieben wert sind, und derselbe Faktor bei 50 % ist 1,96532, was sagt, dass bei diesem Satz fast nichts jenseits der ersten beiden Jahre die Abzinsung übersteht. Zwei Dinge sollte man wissen, bevor man ein veröffentlichtes Tabellenwerk benutzt. Die Tabellen sind fast immer für Zahlungen am Ende jeder Periode gebaut, wer also eine vorschüssige Rente bewertet, braucht die zweite Spalte und nicht die erste. Und Periodenzinssatz und Periodenzahl müssen zur Zahlungsfrequenz passen: Eine zehnjährige monatliche Rente hat 120 Perioden zum Monatszins und nicht 10 Perioden zum Jahreszins, und wer in der Jahreszeile nachschlägt, überschätzt den Faktor um etwa das Zwölffache.

1. 8 % über 10 Jahre, jährlich gezahlt — die Zelle aus dem Lehrbuch

   1. Der Zinssatz je Periode: 8 % ÷ 1 = 8 % im Jahr
   2. Die Anzahl der Perioden: 10 × 1 = 10
   3. PVIFA: [1 − 1,08⁻¹⁰] ÷ 0,08 = 6,7100814…, ausgegeben als 6,71008
   4. Vorschüssig: 6,7100814… × 1,08 = 7,2468879…, ausgegeben als 7,24689

   Das ist das Standardbeispiel und der Grund, warum diese Seite mit einer jährlichen Zehnjahreseinstellung startet und nicht mit der monatlichen Zwanzigjahreseinstellung der anderen Rentenseiten. Schlägt man 8 % in irgendeinem gängigen Rentenbarwertfaktors-Tabellenwerk nach, liest die zehnte Spalte 6,71008, denn das ist keine Näherung dieser Zahl, es ist diese Zahl. Die Spalte daneben ist der vorschüssige Eintrag desselben Tabellenwerks, und die 8,0 % Abstand zwischen beiden sind genau eine Periode Zins.

2. 7 % über 20 Jahre, monatlich gezahlt — 128,98251

   1. Der Zinssatz je Periode: 7 % ÷ 12 = 0,5833… % im Monat
   2. Die Anzahl der Perioden: 20 × 12 = 240
   3. PVIFA: [1 − (1,005833…)⁻²⁴⁰] ÷ 0,005833… = 128,98250649…, ausgegeben als 128,98251

   Dieselben Eingaben verwendet die Seite zum Barwert einer Rente für ihr Standardbeispiel, wo eine Zahlung von 500 den Wert 64.491,25 ergibt. Multiplizieren Sie 128,98250649… mit 500, erhalten Sie genau das, und darin besteht die ganze Beziehung zwischen den beiden Seiten: Die eine gibt den Faktor aus, die andere multipliziert ihn mit einem Betrag. Beachten Sie, dass der ausgegebene Wert 128,98251 mal 500 den Wert 64.491,255 ergibt und auf 64.491,26 rundet — die fünf Nachkommastellen sind zum Lesen da und nicht, um damit weiterzurechnen.

3. 5 % über ein einziges Jahr, jährlich gezahlt — 0,95238, und der vorschüssige Faktor ist genau 1

   1. Eine Periode bei 5 %: PVIFA = 1 ÷ 1,05 = 0,952380…, ausgegeben als 0,95238
   2. Vorschüssig: die einzelne Zahlung rückt auf heute, wo der Abzinsungsfaktor (1,05)⁰ = 1 ist
   3. Der vorschüssige Faktor ist also genau 1, ganz ohne Rundung darin

   Die sauberste Grenze auf dieser Seite. Eine Zahlung, die erst in einem Jahr ankommt, ist bei 5 % den Faktor 0,95238 ihres Nennwerts wert; verschiebt man dieselbe Zahlung auf heute, ist der Faktor 1, weil nichts Zeit hatte, sie abzuzinsen. Der Abstand zwischen den beiden Spalten ist hier, gemessen am Faktor, am größten — etwa 5 % — und er verengt sich, je länger die Laufzeit wird, was der Erwartung der meisten zuwiderläuft.

Der Faktor ist nur so brauchbar wie der Zinssatz und die Periodenzahl dahinter, und beide müssen zur Zahlungsfrequenz passen. Ein veröffentlichtes Tabellenwerk ist fast immer jährlich aufgebaut, wer es für eine monatliche Rente benutzt, muss also den Zinssatz umrechnen und die Perioden multiplizieren, und das falsch zu machen ist der häufigste Weg, um eine Größenordnung danebenzuliegen. Der Faktor unterstellt, dass in jeder Periode derselbe Betrag über eine bekannte Anzahl von Perioden gezahlt wird; eine Zahlungsreihe, die wächst, in Stufen steigt oder über eine ungewisse Dauer läuft, fällt damit heraus. Er unterstellt, dass der Abzinsungssatz durchweg konstant ist, was kein realer Zinssatz ist. Und er ist ein Barwert und kein Preis: Er enthält keinen Spielraum für Kreditrisiko, Steuern, Gebühren oder die Möglichkeit, dass die Zahlungen aufhören. Wo ein amtliches Tabellenwerk geprüft wird, ist zu beachten, dass die amtlichen Zahlen anders zusammengesetzt werden. Nach 26 CFR 20.2031-7 liefert Tabelle B einen jährlichen Rentenfaktor — bei 2,6 % und fünfjähriger Laufzeit 4,6325 —, und Tabelle K multipliziert ihn anschließend mit einem Häufigkeitsanpassungsfaktor für Zahlungen am Ende jedes Intervalls, bei vierteljährlicher Zahlung und 2,6 % also 1,0097, sodass das eigene Rechenbeispiel der Verordnung aus einer jährlichen Rente von 10.000 mit vierteljährlicher Zahlung 46.774,35 erhält. Diese Seite erreicht denselben Barwert auf einem anderen Weg, indem sie den nominalen Zinssatz direkt hochzinst, und kommt auf 46.744,27 — etwa 30 weniger, das sind 0,06 %. Keines von beiden ist falsch; es sind zwei Konventionen, und eine Zahl, die zu einer eingereichten versicherungsmathematischen Bewertung passen muss, muss die der Verordnung verwenden. Zur Abgrenzung schließlich: Die Abkürzung PVIFA stammt aus der englischen Praxis und steht für present value interest factor of an annuity; im Deutschen heißt dieselbe Größe Rentenbarwertfaktor, es gibt dafür aber keine gebräuchliche deutsche Abkürzung.

Was ist PVIFA?

Die Abkürzung stammt aus der englischen Praxis und steht für present value interest factor of an annuity; im Deutschen heißt dieselbe Größe Rentenbarwertfaktor. Sie gibt an, was eine Einheit Währung, in jeder Periode über eine gegebene Anzahl von Perioden gezahlt, bei einem gegebenen Abzinsungssatz heute wert ist. Der Faktor enthält kein Geld, Sie multiplizieren ihn also mit Ihrer eigenen Zahlung, um einen Barwert zu erhalten. Bei 8 % über zehn jährliche Perioden beträgt er 6,71008, das heißt, zehn jährliche Zahlungen von eins sind heute 6,71008 wert.

Wie berechnet man den Rentenbarwertfaktor?

Mit [1 − (1 + i)⁻ⁿ] ÷ i, wobei i der Zinssatz je Periode und n die Anzahl der Perioden ist. Bei 8 % im Jahr über zehn Jahre sind das [1 − 1,08⁻¹⁰] ÷ 0,08 = 6,7100814…, ausgegeben als 6,71008. Für eine monatliche Rente teilen Sie zuerst den Jahreszins durch zwölf und multiplizieren die Jahre mit zwölf und verwenden dann dieselbe Formel — Zinssatz und Periodenzahl müssen beide pro Periode gelten.

Warum ist der vorschüssige Faktor größer?

Weil jede Zahlung eine Periode früher ankommt und daher jedes Mal eine Periode weniger abgezinst wird. Der Zusammenhang ist exakt: Der vorschüssige Faktor ist der gewöhnliche Faktor mal (1 + i). Bei 8 % über zehn Jahre sind das 6,71008 × 1,08 = 7,24689, rund 8 % mehr. Die Seite gibt beide aus, damit Sie nicht erst entscheiden müssen, welchen Sie brauchen, bevor Sie die Zahlen sehen.

Stimmt das Standardbeispiel mit einem veröffentlichten Tabellenwerk überein?

Ja, und das ist Absicht. Der Standardwert ist 8 % über zehn Jahre mit jährlicher Zahlung und ergibt 6,71008 — die Zahl in der 8-%-Zeile und zehnten Spalte eines gängigen Rentenbarwertfaktors-Tabellenwerks. Die Referenztabelle läuft bei unverändertem Zeitraum von 4 % bis 12 %, und die sechs Faktoren stimmen mit den veröffentlichten Tabellen Ziffer für Ziffer überein, sodass sich die Seite zum Nachschlagen eignet.

Was geschieht bei einem Zinssatz von null?

Der Faktor entartet zur Anzahl der Perioden, weil die Zahlungen ohne Abzinsung schlicht ihre Summe wert sind. Zehn jährliche Zahlungen ergeben bei 0 % den Faktor 10, zehn Jahre mit monatlicher Zahlung ergeben 120. Der vorschüssige Faktor ist bei 0 % identisch, weil eine Multiplikation mit (1 + 0) nichts ändert. Das ist eine brauchbare Probe darauf, was der Faktor bedeutet: Alles, was über die Periodenzahl hinausgeht, ist Abzinsung.

Ist der Rentenbarwertfaktor dasselbe wie der Barwert einer Rente?

Er ist einen Schritt davon entfernt. Der Barwert ist der Faktor multipliziert mit der Zahlung, der Faktor ist also das, was übrig bleibt, wenn die Zahlung unbekannt, unwichtig oder anderswo schon berücksichtigt ist. Auf dieser Website gibt die Seite zum Barwert einer Rente den Betrag aus und diese Seite den Faktor, aus denselben Eingaben — bei 7 % über zwanzig Jahre mit monatlicher Zahlung ist der Faktor 128,98250649…, und eine Zahlung von 500 ergibt daraus den Barwert 64.491,25.

• 26 CFR 20.2031-7(d)(6), Table B — the official annuity factor table for a term certain; at 2.6 percent for a five-year term the annuity factor is 4.6325, and the regulation's worked examples use it — Internal Revenue Service regulation, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)
• 26 CFR 20.2031-7(d)(2)(iv), Table K — adjustment factors for annuities payable at the end of each interval, used to convert an annual annuity factor to a more frequent payment schedule (Table J does the same for payments at the beginning of each interval) — Internal Revenue Service regulation, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)
• Annuities — Investor.gov glossary, for the stream of fixed-interval payments the factor is pricing — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)