Annuitäten-Endwert-Rechner

Endwert = Zahlung × [(1 + i)ⁿ − 1] ÷ i × (1 + i, wenn die Zahlungen am Anfang jeder Periode anfallen) (i = Jahreszinssatz ÷ Zahlungen pro Jahr; n = Jahre × Zahlungen pro Jahr)

Zahlung

Die regelmäßige Zahlung — der Betrag, der in jeder Periode eingezahlt wird, jedes Mal derselbe, und genau das macht aus einer Reihe beliebiger Einzahlungen eine Annuität

Jahreszinssatz

Der nominale Zinssatz eines Jahres, der vor allem anderen durch die Zahlungen pro Jahr geteilt wird — aus 7 % im Jahr werden im Ausgangsfall 0,5833… % im Monat

Jahre

Wie lange die Zahlungen laufen; mit den Zahlungen pro Jahr multipliziert ergibt das die Anzahl der Einzahlungen

i

Der Zinssatz je Periode — der Jahreszinssatz geteilt durch die Zahlungen pro Jahr, und der Satz, mit dem jede einzelne Einzahlung tatsächlich verzinst wird

n

Die Anzahl der Zahlungen und zugleich die Anzahl der Verzinsungsperioden

Nutzen Sie ihn, um zu beantworten, was ein regelmäßiger Sparplan am Ende wert ist, und vor allem, um die Trennung zwischen Ihren Einzahlungen und dem Zuwachs zu sehen — diese Trennung ist die ehrliche Art, jeden langfristigen Plan zu betrachten, weil sie zeigt, wie viel des Ergebnisses vom Satz abhängt und wie viel von Ihnen. Ebenso ist es das richtige Werkzeug für die umgekehrte Frage, was eine Reihe von Entnahmen übrig lässt, mit umgekehrtem Vorzeichen der Zahlung, und für den Vergleich zweier Pläne, die sich nur im Zeitpunkt unterscheiden: am Ersten des Monats einzuzahlen statt am Letzten ist bei den Ausgangswerten über zwanzig Jahre 1.519,37 wert, was nicht nichts ist und nichts kostet. Zwei Dinge sollten sitzen, bevor Sie der Antwort trauen. Der Satz ist ein nominaler Jahreszinssatz, den die Seite gleichmäßig über das Jahr verteilt; er trägt also über zwölf Monate monatlicher Verzinsung genau den angegebenen Ertrag, über zwölf Monate einer anderen Häufigkeit aber nicht — und er ist eine Konstante, ein Plan mit jährlich steigenden Einzahlungen ist diese Rechnung also nicht. Und der Zahlungszeitpunkt ist kein Beiwerk: Der Unterschied zwischen nachschüssiger und vorschüssiger Rente ist eine ganze Periode Zins auf jede Zahlung, und über zwanzig Jahre summiert sich das auf mehr als ein halbes Prozent des Endstands.

1. 500 im Monat über 20 Jahre bei 7 %, am Monatsende eingezahlt

   1. Der Satz je Periode: 7 % ÷ 12 = 0,5833… % im Monat
   2. Die Anzahl der Zahlungen: 20 × 12 = 240
   3. Eingezahlt insgesamt: 500 × 240 = 120.000
   4. Endwert: 500 × [(1,005833…)²⁴⁰ − 1] ÷ 0,005833… = 260.463,33
   5. Erträge: 260.463,33 − 120.000 = 140.463,33

   Die Erträge übersteigen die Einzahlungen, und dieser Schnittpunkt ist der ganze Sinn eines langfristigen Plans: 140.463,33 des Endstands hat das Konto selbst erwirtschaftet und nicht Sie eingezahlt. Beachten Sie außerdem, dass die erste Einzahlung 240 Perioden lang Zinsen verdient und die letzte nur eine einzige — deshalb ist der Endwert nicht einfach die Einzahlungssumme, die zwanzig Jahre lang mit 7 % gewachsen ist. Dieselben 500 am Anfang jedes Monats eingezahlt — das nächste Beispiel — bringen für jede dieser 240 Zahlungen eine weitere Periode Zins.

2. Derselbe Plan als vorschüssige Rente — 261.982,70

   1. Alles ist identisch, außer dass jede 500 am Monatsanfang statt am Monatsende eingeht
   2. Jede der 240 Zahlungen verdient damit einen Monat länger Zinsen
   3. Das ist die Antwort der nachschüssigen Rente mal (1 + 0,005833…): 260.463,33 × 1,005833… = 261.982,70
   4. Die Erträge steigen auf 261.982,70 − 120.000 = 141.982,70

   Die 1.519,37 Differenz sind ein Monat Zins auf den gesamten Stand, und sie lohnen sich: Sie kosten nichts außer dem Zeitpunkt der Überweisung. Dieselbe Lücke zeigt sich in jedem Plan, und sie fällt anteilig umso größer aus, je höher der Satz und je länger die Laufzeit ist; genau deshalb steht diese Einstellung auf der Seite und nicht in den Annahmen.

3. 5.000 im Monat über 10 Jahre bei −5 % — das Konto schrumpft

   1. Der Satz je Periode: −5 % ÷ 12 = −0,4166… % im Monat
   2. Die Anzahl der Zahlungen: 10 × 12 = 120, also 600.000 eingezahlt
   3. Endwert: 5.000 × [(0,995833…)¹²⁰ − 1] ÷ (−0,004166…) = 472.923,09
   4. Erträge: 472.923,09 − 600.000 = −127.076,91

   Es ist dieselbe Formel, und sie kommt ohne Sonderfall für einen negativen Satz aus — genau das soll dieses Beispiel zeigen: 600.000 über zehn Jahre eingezahlt enden bei 472.923,09, das Konto ist also 127.076,91 weniger wert als die Einzahlungen. Die Reihenfolge der Zahlungen wiegt hier schwerer als irgendwo sonst — die frühen Einzahlungen verlieren am meisten, weil sie am längsten Zeit zum Fallen hatten.

Der Satz ist über die gesamte Laufzeit eine einzige Konstante, und das ist die Annahme, die über einen langen Zeitraum am ehesten falsch ist: Ein Plan über zwanzig Jahre hat keinen Zwanzig-Jahres-Satz, und wer hier einen Durchschnittssatz einsetzt, bekommt eine Zahl, die keine tatsächliche Abfolge von Jahresrenditen je erzeugt hätte, weil ein schlechtes Jahr am Anfang mehr kostet als eines am Ende. Es ist ein nominaler Jahreszinssatz, gleichmäßig über das Jahr verteilt, bei monatlichen Zahlungen wird also monatlich verzinst, und derselbe Jahreszinssatz mit einer anderen Verzinsungshäufigkeit ergäbe eine andere Antwort — diese Seite rechnet nicht zwischen den Häufigkeiten um. Die Zahlungen sind gleich hoch und gleichmäßig verteilt, ein Plan mit inflationsbedingt steigender Rate, mit einem ausgesetzten Jahr oder mit einer zusätzlichen Einmalzahlung am Anfang liegt also außerhalb. Steuern fehlen vollständig: Einzahlungen in ein steuerbegünstigtes Konto, die Steuer auf den Zuwachs und der Unterschied zwischen Einzahlungen vor und nach Steuern ändern alle, was der Endstand für Sie wert ist, und keine davon kommt vor. Gebühren fehlen, und sie verzinsen sich gegen Sie, genau wie sich die Rendite für Sie verzinst. Die Inflation fehlt ebenfalls, die Endzahl steht also in der Währung der Einzahlungen und nicht in heutiger Kaufkraft: 260.463,33 in zwanzig Jahren sind nicht 260.463,33 heute. Es wird unterstellt, dass dem Konto nie Geld entnommen wird, weder durch eine Entnahme, noch durch eine Vorfälligkeitsstrafe, noch durch eine vorgeschriebene Mindestausschüttung. Und schließlich behandelt es alle Perioden als vollständig: Eine erste Zahlung, die mitten im Jahr eingeht, oder eine Laufzeit, die zwischen zwei Zahlungen endet, lässt sich nicht abbilden, und der tatsächliche Kalender wird nicht modelliert, sodass die an einem echten Konto zu einem bestimmten Datum gutgeschriebenen Zinsen leicht von diesem Ergebnis abweichen. Eine Herkunftsangabe noch: Die Konvention, Zahlungen am Periodenende anzusetzen, stammt aus der US-amerikanischen Verbraucherkreditregulierung (12 CFR Part 1026, Anhang J).

Was ist der Endwert einer Annuität?

Es ist das, was eine Reihe gleich hoher Zahlungen in festem Abstand am Ende der Laufzeit wert ist, wobei jede Zahlung so lange Zinsen verdient hat, wie sie auf dem Konto lag. Im Ausgangsfall kommt 500 im Monat über zwanzig Jahre bei 7 % auf 260.463,33, davon 120.000 an Einzahlungen und 140.463,33 an Zinsen. Die Zahlungen müssen gleich hoch und gleichmäßig verteilt sein — eine Reihe unregelmäßiger Einzahlungen ist eine andere Rechnung.

Wie berechne ich den Endwert einer Annuität?

Teilen Sie den Jahreszinssatz durch die Zahlungen pro Jahr, das ergibt den Satz je Periode; multiplizieren Sie die Jahre mit den Zahlungen pro Jahr, das ergibt die Anzahl der Zahlungen; rechnen Sie dann Zahlung × [(1 + i)ⁿ − 1] ÷ i. Mit den Ausgangswerten ist i 7 % ÷ 12 = 0,5833… % und n 240, also 500 × [(1,005833…)²⁴⁰ − 1] ÷ 0,005833… = 260.463,33. Kommen die Zahlungen am Anfang jeder Periode statt am Ende, multiplizieren Sie das Ergebnis mit (1 + i), und Sie haben die vorschüssige Rente.

Worin unterscheiden sich nachschüssige und vorschüssige Rente?

Darin, wo innerhalb der Periode die Zahlung landet. Die nachschüssige Rente zahlt am Ende, die vorschüssige am Anfang, und eine Zahlung am Anfang verdient mit jeder einzelnen Einzahlung eine Periode länger Zinsen. Im Ausgangsplan ist das der Unterschied zwischen 260.463,33 und 261.982,70, also 1.519,37 — genau ein Monat Zins auf den gesamten Stand. Miete und die meisten Darlehensraten sind nachschüssig; eine Einzahlung, die Sie am Ersten des Monats auf Ihr eigenes Konto leisten, ist vorschüssig, und diese Wahl kostet nichts.

Spielt es eine Rolle, wie oft ich einzahle?

Ja, in zweifacher Hinsicht, und beide Wirkungen lassen sich leicht falsch lesen. Der Jahreszinssatz wird durch die Zahlungen pro Jahr geteilt, monatliches Einzahlen verzinst sich also monatlich und bringt bei gleichem Jahreszinssatz etwas mehr als jährliches Einzahlen. Und die Häufigkeit ändert die Summe Ihrer Einzahlungen, wenn Sie die Höhe der einzelnen Zahlung festhalten statt des Jahresbetrags. Bei 1.000 je Zahlung über zehn Jahre und 5 %: jährliche Zahlungen ergeben 12.577,89 auf 10.000 eingezahlt, halbjährliche ergeben 25.544,66 auf 20.000 eingezahlt — der zweite Betrag ist größer, weil doppelt so viel Geld hineinging, und nicht, weil der Satz sich anders verhalten hätte.

Kann der Endwert niedriger sein als meine Einzahlungen?

Ja, immer wenn der Satz negativ ist, und der Rechner braucht dafür keinen Sonderfall. 5.000 im Monat über zehn Jahre bei −5 % bedeuten 600.000 an Einzahlungen, die bei 472.923,09 enden, das Konto ist also 127.076,91 weniger wert als das, was Sie hineingegeben haben. In diesem Fall zählt die Reihenfolge der Einzahlungen: Die frühesten haben am längsten Zeit zum Fallen und verlieren am meisten, dieselbe Gesamtsumme über dieselbe Laufzeit fällt also umso schlechter aus, je früher sie hineingeht.

Welchen Zinssatz soll ich für den Endwert ansetzen?

Den, den Sie tatsächlich erwarten können, und zwar konstant über die ganze Laufzeit — und es lohnt sich, vorsichtig zu sein, weil das Ergebnis stark auf ihn reagiert und die Empfindlichkeit mit der Laufzeit wächst. Setzen Sie einen nominalen Jahreszinssatz ein und lassen Sie die Seite ihn durch die Zahlungshäufigkeit teilen; rechnen Sie ihn nicht selbst vorher um. Wenn Sie gegen ein inflationsbereinigtes Ziel vergleichen, denken Sie daran, dass die Antwort in der Währung der Einzahlungen steht und nicht in heutiger Kaufkraft, ein gesunder nominaler Zinssatz kann also eine dünne reale Rendite sein.

Warum sind die Zinsen höher als meine Einzahlungen?

Weil jede Zahlung unterschiedlich lange liegen bleibt. Jede Einzahlung verdient Zinsen für eine andere Anzahl von Perioden — im Ausgangsplan die erste für volle 240, die letzte für eine einzige —, das Konto ist also nicht einfach Ihre Einzahlungssumme, die zwanzig Jahre lang mit 7 % gewachsen ist. Wenn die Laufzeit lang genug und der Zinssatz hoch genug ist, übersteigen die Erträge die Einzahlungen, und im Ausgangsfall tun sie das: 140.463,33 an Zinsen gegen 120.000 eingezahlt. Dieser Schnittpunkt ist eher eine Funktion der Zeit als des Zinssatzes, und deshalb ist früh anzufangen wichtiger, als mehr einzuzahlen.

• Appendix J to Part 1026 — Annual Percentage Rate Computations: the end-of-period contribution convention used for the ordinary annuity case here — Consumer Financial Protection Bureau regulation, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)
• Annuities — Investor.gov glossary (a series of payments made at fixed intervals, and the contract built on one) — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)
• Compound Interest Calculator — the SEC's own tool for a lump sum, useful as the contrast to a series of payments — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)
• Zinssätze und Renditen — die deutschen Zins- und Renditereihen, an denen ein Zinssatz für einen Sparplan zu messen ist — Deutsche Bundesbank