Annuitäten-Barwert-Rechner

Barwert = Zahlung × [1 − (1 + i)⁻ⁿ] ÷ i × (1 + i, wenn die Zahlungen am Anfang jeder Periode anfallen) (i = Jahreszinssatz ÷ Zahlungen pro Jahr; n = Jahre × Zahlungen pro Jahr)

Zahlung

Die regelmäßige Zahlung — jeder gleich hohe Betrag dieser Zahlungsreihe, ob Sie ihn erhalten oder selbst zahlen

Jahreszinssatz

Der nominale Jahreszinssatz, der als Abzinsungssatz dient und vor seiner Anwendung durch die Zahlungen pro Jahr geteilt wird — aus 7 % im Jahr werden im Ausgangsfall 0,5833… % im Monat

Jahre

Wie lange die Zahlungen laufen; mit den Zahlungen pro Jahr multipliziert ergibt das die Anzahl der abgezinsten Zahlungen

i

Der Abzinsungssatz je Periode — der Divisor jeder einzelnen Zahlung, einmal für jede Periode, die sie von heute entfernt liegt

n

Die Anzahl der Zahlungen und zugleich die Anzahl der Abzinsungsschritte

Nutzen Sie ihn, wenn eine Reihe gleich hoher Zahlungen bereits existiert und Sie wissen wollen, was sie heute wert ist und nicht am Ende. Am deutlichsten wird das, wenn jemand eine solche Reihe kaufen oder verkaufen will: der Ausstieg aus einer betrieblichen Altersversorgung, ein in Raten abgefundener Schadensersatz, ein Rentenvertrag, ein Leasingvertrag mit gleich bleibenden Raten oder der Kuponstrom einer Anleihe. Auch die Umkehrung des Sparens gehört hierher — heben Sie monatlich einen festen Betrag aus einem Vermögen ab, sagt Ihnen diese Seite, wie groß dieses Vermögen heute sein muss, damit es trägt; das ist dieselbe Rechnung mit umgekehrter Zahlungsrichtung. Der Faktor, den die Seite dabei bildet, ist der Rentenbarwertfaktor: Er steht in jeder Formelsammlung als reine Zahl, und diese Seite multipliziert ihn mit der Zahlung und liefert den Wert selbst. Zwei Dinge sollten sitzen. Der Abzinsungssatz ist der Satz, den Sie mit dem Geld sonst erzielen könnten, also ein Urteil, und die Antwort wandert mit ihm: Ein höherer Satz macht jede künftige Reihe heute weniger wert. Und der Zahlungszeitpunkt ist kein Detail — ob jede Rate am Anfang oder am Ende ihrer Periode ankommt, ist eine ganze Periode Zins auf die gesamte Reihe wert, im Ausgangsfall 376,20.

1. 500 im Monat über 20 Jahre bei 7 %, am Monatsende gezahlt

   1. Der Satz je Periode: 7 % ÷ 12 = 0,5833… % im Monat
   2. Die Anzahl der Zahlungen: 20 × 12 = 240
   3. Der Rentenbarwertfaktor: [1 − (1,005833…)⁻²⁴⁰] ÷ 0,005833… = 128,98250649…
   4. Barwert: 500 × 128,98250649… = 64.491,25
   5. Zahlungen insgesamt 500 × 240 = 120.000, der Abzinsungsbetrag ist also 120.000 − 64.491,25 = 55.508,75

   Das ist das Spiegelbild der Endwert-Seite, die mit denselben fünf Eingaben auf 260.463,33 kommt. Die beiden Antworten sind dieselbe Rechnung in entgegengesetzter Richtung und gehen genau ineinander auf: 64.491,2532… mit 0,5833… % im Monat über 240 Monate verzinst ergibt 260.463,3299…. Wissenswert, damit Sie es nicht abkürzen wollen: Der ausgedruckte Faktor 128,98251 mit 500 multipliziert ergibt 64.491,255, gerundet 64.491,26 statt der richtigen 64.491,25 — der fünfstellige Faktor ist zum Lesen da, nicht zum Multiplizieren.

2. Dieselbe Reihe als vorschüssige Rente — 64.867,45

   1. Alles bleibt gleich, außer dass jede 500 am Monatsanfang statt am Monatsende ankommt
   2. Damit liegt jede Zahlung eine Periode näher an heute und wird einmal weniger abgezinst
   3. Das ist die Antwort der nachschüssigen Rente mal (1 + 0,005833…): 64.491,25 × 1,005833… = 64.867,45
   4. Der Abzinsungsbetrag fällt auf 120.000 − 64.867,45 = 55.132,55

   376,20 mehr als im nachschüssigen Fall, bei denselben 120.000 an Zahlungen — genau ein Monat Zins auf die gesamte Reihe. Früher an das Geld zu kommen ist so viel wert, und es ist umso mehr wert, je höher der Satz und je länger die Laufzeit ist; genau deshalb steht diese Einstellung auf der Seite und nicht in den Annahmen.

3. 500 im Monat über 20 Jahre bei −5 % — aus dem Abzug wird ein Aufschlag

   1. Der Satz je Periode: −5 % ÷ 12 = −0,4166… % im Monat
   2. Der Rentenbarwertfaktor übersteigt bei negativem Satz die Zahl der Perioden: Er kommt auf 413,752…
   3. Barwert: 500 × 413,752… = 206.876
   4. Der Abzinsungsbetrag ist 120.000 − 206.876 = −86.876, also negativ

   Ein negativer Satz bedeutet, dass dasselbe Geld später mehr wert ist als heute; die Reihe ist damit mehr wert als die Summe ihrer Zahlungen, und die dritte Zahl wird negativ. Das ist die Arithmetik, die sich treu bleibt, und keine kaputte Ausgabe — die negative Zahl ist der Aufschlag, den Sie heute dafür zahlen würden, 120.000 über zwanzig Jahre zu erhalten, in einer Welt, in der Geld an Wert verliert. Negative reale Sätze sind selten, aber nicht unbekannt, und das ist ihre Wirkung auf eine Reihe gleich bleibender Zahlungen.

Der Abzinsungssatz ist über die ganze Laufzeit eine einzige Konstante, und er ist die Eingabe, auf die die Antwort am stärksten reagiert — was ein Problem ist, weil er zugleich die einzige Eingabe ist, die niemand im Voraus messen kann. Er ist ein nominaler Satz ohne Inflationsbereinigung, die Antwort steht also in der Währung der Zahlungen und nicht in heutiger Kaufkraft; über zwanzig Jahre ist das ein großer Unterschied. Die Zahlungen müssen gleich hoch und gleichmäßig verteilt sein, eine mit der Inflation wachsende, nach einem Plan gestufte oder eine Periode aussetzende Reihe liegt außerhalb dieser Seite; eine wachsende Reihe braucht eine andere Formel und nicht eine andere Eingabe. Es wird unterstellt, dass die Reihe sicher, vollständig und pünktlich gezahlt wird. Echte Renten und Vergleiche tragen das Kreditrisiko dessen, der sie schuldet, und eine betriebliche Altersversorgung hängt an einem Träger, den es in zwanzig Jahren vielleicht nicht mehr gibt — eine riskante Reihe mit dem Zinssatz einer Staatsanleihe abzuzinsen, überzeichnet ihren Wert, und genau deshalb liegt ein Abfindungsangebot meist über dem risikofreien Barwert. Steuern bleiben außen vor, und die steuerliche Behandlung einer Rente kann von der der dahinterliegenden Anlage abweichen. Gebühren und die Kosten einer Verwaltung dieser Konstruktion bleiben ebenfalls außen vor. Ist die Reihe ein Darlehen, das Sie abzahlen, und kein Einkommen, das Sie beziehen, dann ist dieselbe Zahl der Betrag, den Sie dagegen aufnehmen könnten, und nicht der Betrag, den Sie tatsächlich zahlen werden. Der Fall mit dem negativen Satz schließlich ist arithmetisch richtig, aber ungewöhnlich genug, um ihn klar zu benennen: Geld, das zwanzig Jahre lang konstant 5 % an Wert verliert, ist kein Szenario, mit dem jemand planen sollte, und die Ausgabe steht auf der Seite, um zu zeigen, was die Formel tut, und nicht, um eine Prognose zu modellieren. Zur Einordnung noch eine Herkunftsangabe: Die amtliche Faktorentabelle, auf die diese Seite verweist, ist die der Vereinigten Staaten (26 CFR 20.2031-7, Tabelle B); gerechnet wird hier mit demselben Rentenbarwertfaktor, den deutsche Formelsammlungen unter diesem Namen führen.

Was ist der Barwert einer Annuität?

Es ist das, was eine Reihe gleich hoher Zahlungen heute wert ist, nachdem jede einzelne von ihrem Zahlungstermin auf heute abgezinst wurde. Die Reihe ist nicht ihre Summe wert, weil Geld, das in zwanzig Jahren ankommt, weniger kauft als Geld, das im nächsten Monat ankommt. Im Ausgangsfall ergeben 500 im Monat über zwanzig Jahre zusammen 120.000, bei 7 % sind sie heute aber 64.491,25 wert — 55.508,75 des Nennbetrags sind also der Abzug, den niemand erhebt, sondern den die Zeit bewirkt.

Wie berechne ich den Barwert einer Annuität?

Teilen Sie den Jahreszinssatz durch die Zahlungen pro Jahr, das ergibt den Satz je Periode; multiplizieren Sie die Jahre mit den Zahlungen pro Jahr, das ergibt die Anzahl der Zahlungen; rechnen Sie dann Zahlung × [1 − (1 + i)⁻ⁿ] ÷ i. Im Ausgangsfall ist i 0,5833… % und n 240, der Rentenbarwertfaktor kommt also auf 128,98250649…, und 500 mal das ergibt 64.491,25. Kommen die Zahlungen am Anfang jeder Periode statt am Ende, multiplizieren Sie noch einmal mit (1 + i), und Sie haben die vorschüssige Rente.

Worin unterscheiden sich nachschüssige und vorschüssige Rente?

Darin, wo innerhalb ihrer Periode jede Zahlung landet. Die nachschüssige Rente zahlt am Ende, die vorschüssige am Anfang, und eine Zahlung am Anfang liegt eine Periode näher an heute und wird einmal weniger abgezinst. Bei derselben Reihe ist das der Unterschied zwischen 64.491,25 und 64.867,45, also 376,20 — ein Monat Zins auf die gesamte Reihe. Miete und die meisten Darlehensraten sind nachschüssig; eine im Voraus gezahlte Miete oder eine Versicherungsprämie zu Jahresbeginn ist vorschüssig.

Mit welchem Satz soll ich abzinsen?

Mit dem Satz, den Sie mit dem Geld erzielen könnten, wenn Sie sich nicht binden, denn genau das kostet Sie der spätere Empfang — derselbe Abzinsungssatz wie überall sonst, manchmal auch Hürdensatz genannt. Er ist ein Urteil und keine Messung, und die Antwort reagiert stark auf ihn: Ein höherer Satz macht jede künftige Reihe heute weniger wert. Er sollte das Risiko ebenso abbilden wie die Zeit, deshalb überzeichnet es den Wert, eine Reihe, die vielleicht gar nicht gezahlt wird, mit dem Zinssatz einer Staatsanleihe abzuzinsen.

Kann der Barwert höher sein als die Summe der Zahlungen?

Ja, immer wenn der Satz negativ ist. Bei −5 % sind dieselben 500 im Monat über zwanzig Jahre 206.876 wert gegen 120.000 an Zahlungen, und die dritte Zahl zeigt −86.876, also einen Aufschlag statt eines Abschlags. Das ist die Formel, die auf einem Satz, bei dem Geld später mehr wert ist als heute, korrekt arbeitet, und keine kaputte Ausgabe. Negative Sätze sind selten, und ein konstantes −5 % über zwanzig Jahre ist keine Prognose; der Fall steht trotzdem auf der Seite, weil eine Formel, die ihn stillschweigend als Sonderfall behandelte, eine Annahme verbergen würde.

Spielt die Zahlungshäufigkeit eine Rolle?

Sie ändert zwei Dinge zugleich. Der Jahreszinssatz wird durch die Zahlungen pro Jahr geteilt, monatliches Zahlen zinst also mit einem anderen Satz je Periode ab als jährliches, und die Anzahl der abgezinsten Zahlungen ändert sich mit. Bei 1.000 im Jahr über zehn Jahre und 6 % ist der Barwert 7.360,09; derselbe Jahresbetrag, aufgeteilt in zweimal 500, ist geringfügig mehr wert, weil jede Hälfte früher ankommt und weniger abgezinst wird. Halten Sie dagegen die Höhe der einzelnen Zahlung fest statt des Jahresbetrags, fällt der Unterschied viel größer aus, weil Sie dann verschiedene Geldbeträge vergleichen.

Ist das dasselbe wie der Endwert einer Annuität?

Es ist dieselbe Rechnung in die andere Richtung. Beide benutzen denselben Rentenbarwertfaktor; diese Seite multipliziert ihn mit der Zahlung und erhält, was die Reihe heute wert ist, die Endwert-Seite multipliziert ihn mit einem Aufzinsungsfaktor und erhält, was am Ende auf dem Konto steht. Mit den Ausgangswerten gehen beide Antworten genau ineinander auf: 64.491,2532… mit 0,5833 % im Monat über 240 Monate verzinst ergibt 260.463,33. Nehmen Sie diese Seite, wenn Sie eine Reihe bewerten, die es heute schon gibt, und die andere, wenn Sie eine Reihe hochrechnen, in die Sie erst einzahlen werden.

• 26 CFR 20.2031-7(d)(6), Table B — the United States government's own published annuity factor table, the official present-value-of-an-annuity figures used for valuing annuities in estates — Internal Revenue Service regulation, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)
• Annuities — Investor.gov glossary (a series of payments made at fixed intervals, and the contract built on one), the definition this page discounts — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)
• Interest — Investor.gov glossary, for the rate each payment in the stream is discounted at — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)
• Zinssätze und Renditen — die deutschen Renditereihen, an denen ein Abzinsungssatz für eine Zahlungsreihe zu messen ist — Deutsche Bundesbank